2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市某中學(xué)高一年級(jí)下冊(cè)7月期末考試數(shù)學(xué)試題+答案解析

2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一下學(xué)期7月期

末考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.樣本數(shù)據(jù)5,7,4,6,12,10,11,9的第70百分位數(shù)為（）

A.7B.9C.9.5D.10

2.已知向量匚不，其中同=核，囪=2,且則向量為與日的夾角是（）

7T7T7T7T

A-6K4C-2D-3

3.從一批產(chǎn)品（既有正品也有次品）中隨機(jī)抽取三件產(chǎn)品，設(shè)事件4=”三件產(chǎn)品全不是次品”，事件

B="三件產(chǎn)品全是次品"，事件。="三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品”，則下列結(jié)論中不亞旗的是（）

A./與C互斥B.B與?；コ釩./、3、C兩兩互斥D./與2對(duì)立

4.已知a,b是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）

A.若叱/a,a_Lb,則b_La

B.若a_La,a±6，則b//a

C.若aUa,6Ua,a〃仇b//0,貝a〃0

D.若aCb=A,a//a,b//a,a///3,b//（3,則a〃/3

5.已知正四棱臺(tái)43。。—的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2,且則該棱臺(tái)的體積為（）

AMB”C/c7

D，2

266

6.在△48。中，角46。的對(duì)邊分別為Q,b,c,已知三個(gè)向量市=（a,cos］）,

歷=（acos；）尸=C

c,cos2共線，則△48。的形狀為（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形

7T

C.有一個(gè)角是髀直角三角形D.等腰直角三角形

第1頁(yè)，共18頁(yè)

7.一個(gè)電路如圖所示，/、B、C、D、E、F為6個(gè)開(kāi)關(guān)，其閉合的概率均為，且是相互獨(dú)立的，則燈亮

A.—B.-C.—D.—

6486416

8.尻殿（圖1）是中國(guó)古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，多用于宮殿、壇廟、重要門(mén)樓等高級(jí)建筑上，尻殿

的基本結(jié)構(gòu)包括四個(gè)坡面，坡面相交處形成5根屋脊，故又稱(chēng)“四阿殿”或“五脊殿”.圖2是根據(jù)虎殿

頂構(gòu)造的多面體模型，底面/BCD是矩形，且四個(gè)側(cè)面與底面的夾角均相等，貝M）.

圖1

A.AB=BC+EFB.AB^—+EF

EF

C.AB=BC+—D.AB=2BC-EF

2

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分,

部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.設(shè)Z1,Z2,23為復(fù)數(shù)，下列命題正確的是（）

B.|^i|2=z：

A.\zi-z2\=區(qū)卜\z2\

C.若+?2e則z\—3為純虛數(shù)D.若為=為，且21#0，則

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10.某企業(yè)對(duì)目前銷(xiāo)售的4,B,C,。四種產(chǎn)品進(jìn)行改造升級(jí)，經(jīng)過(guò)改造升級(jí)后，企業(yè)營(yíng)收實(shí)現(xiàn)翻番，現(xiàn)統(tǒng)

計(jì)了該企業(yè)升級(jí)前后四種產(chǎn)品的營(yíng)收占比，得到如下餅圖：

產(chǎn)品升級(jí)前營(yíng)收占比產(chǎn)品升級(jí)后營(yíng)收占比

下列說(shuō)法正確的是()

A.產(chǎn)品升級(jí)后，產(chǎn)品/的營(yíng)收是升級(jí)前的4倍

B.產(chǎn)品升級(jí)后，產(chǎn)品8的營(yíng)收是升級(jí)前的2倍

C.產(chǎn)品升級(jí)后，產(chǎn)品C的營(yíng)收減少

D.產(chǎn)品升級(jí)后，產(chǎn)品B、。營(yíng)收的總和占總營(yíng)收的比例不變

11.如圖，在社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，李明同學(xué)設(shè)計(jì)了一款很“萌”的圓臺(tái)形臺(tái)燈，臺(tái)燈內(nèi)裝有兩個(gè)相切且球心均

在圓臺(tái)的軸上的球形燈泡，上、下兩燈泡的球面分別與圓臺(tái)的上、下底面相切，且都與圓臺(tái)的側(cè)面相切，

若上、下兩球形燈泡的半徑分別為1和9,貝1()

7T

A.圓臺(tái)形臺(tái)燈的母線所在直線與下底面所成角的大小為可

B.圓臺(tái)形臺(tái)燈的母線長(zhǎng)為竽

C.圓臺(tái)形的上、下底面半徑之積為9

D.圓臺(tái)形臺(tái)燈的側(cè)面積大于2800

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若一組數(shù)據(jù)4的，4X2,???,4的2的中位數(shù)為16,方差為64,則另一組數(shù)據(jù)2i—1,x2-l,■■■,x12-l

的中位數(shù)為,方差為.

13.在矩形48CD中，AB=1,4D=，點(diǎn)M在對(duì)角線/C上，點(diǎn)N在邊CD上，且布？=；就，

麗=:虎,則M.前=_________.

O

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14.非直角△40。的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為Q,6,C,若sin2A+sin2B=3sin2C，則

tanAtanC+tanBtanC

tanAtanB

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形/BCD中，點(diǎn)E,9分別為43,6。的中點(diǎn).將△/ERABERZSOCF分別沿

折起，使4,R,。三點(diǎn)重合于點(diǎn)P.

OE。

(1)求證：PDLEF；

(2)求三棱錐P-EF。的體積;

(3)求二面角P-EF-D的余弦值.

16.(本小題15分)

如圖，在平面四邊形中，48=40=4,BC=6.

-----------------------'C

(I)若4=^,C=3,求sinNB。。的值；

(11)若。。=2,cos4=3cos。，求四邊形48CD的面積.

17.(本小題15分)

第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，而亞運(yùn)會(huì)志愿者的服務(wù)工作是舉辦一屆成功

的亞運(yùn)會(huì)的重要保障.為配合亞運(yùn)會(huì)志愿者選拔，某高校舉行了志愿者選拔面試，面試成績(jī)滿(mǎn)分100分，現(xiàn)

隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績(jī)，繪制成如下頻率分布直方圖.

第4頁(yè)，共18頁(yè)

八頻率

組距

0.045------------------------------

0.025---------------------

0.020---------------------------------------

a|

0^45556575859‘5分?jǐn)?分

(1)求。的值，并估計(jì)這80名候選者面試成績(jī)平均值了，中位數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作

代表，中位數(shù)精確到0.1)

(2)乒乓球項(xiàng)目場(chǎng)地志愿服務(wù)需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通過(guò)該項(xiàng)志愿服務(wù)選拔，需要通過(guò)抽

簽的方式?jīng)Q定最終的人選，現(xiàn)將3張寫(xiě)有“中簽”和2張寫(xiě)有“未中簽”字樣的字條隨機(jī)分配給每一位候

選人，求中簽者中男生比女生多的概率.

18.(本小題17分)

如圖，四棱錐C—/OP兄與三棱錐Q—48。構(gòu)成了一個(gè)組合體，其中。在線段RC上，且P、。、B三點(diǎn)

共線.四邊形/BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PR〃4D且PR=2,PB=2遍.O為棱C。中點(diǎn)，且。Q，平

面PBC

⑴證明：OQ〃平面40尸及；

⑵證明：?。，平面/3。。；

(3)求平面ADPR與平面ADQ所成角的大小.

19.(本小題17分)

為了建設(shè)書(shū)香校園，營(yíng)造良好的讀書(shū)氛圍，學(xué)校開(kāi)展“送書(shū)券”活動(dòng).該活動(dòng)由三個(gè)游戲組成，每個(gè)游戲各

玩一次且結(jié)果互不影響.連勝兩個(gè)游戲可以獲得一張書(shū)券，連勝三個(gè)游戲可以獲得兩張書(shū)券.游戲規(guī)則如

下表：

第5頁(yè)，共18頁(yè)

游戲一游戲二游戲三

箱子中球的大小質(zhì)地完全相同的紅球3個(gè)，白球2個(gè)

顏色和數(shù)量(紅球編號(hào)為“1,2,3”，白球編號(hào)為“4,5”)

取球規(guī)則取出一個(gè)球有放回地依次取出兩個(gè)球不放回地依次取出兩個(gè)球

獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個(gè)白球獲勝編號(hào)之和為m獲勝

(1)分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；

(2)一名同學(xué)先玩了游戲一，試問(wèn)〃7為何值時(shí)，接下來(lái)先玩游戲三比先玩游戲二獲得書(shū)券的概率更大.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查百分位數(shù)計(jì)算，屬于容易題.

【解答】

解：?「8x70%=5.6，數(shù)據(jù)4,5,6,7,9,10,11,12的第70百分位數(shù)為10,

故選D

2.【答案】B

【解析】【分析】由垂直關(guān)系結(jié)合數(shù)量積公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)椋ㄓ幸欢?，萬(wàn)，所以（日一辦1=潦—萬(wàn).不=0，即2—20COS（年弓=0,

儂（其曰=彳，因?yàn)橄蛄繛榕c3的夾角范圍為［0,司，所以向量］與用勺夾角是孑

故選：B

3.【答案】D

【解析】【分析】隨機(jī)抽取三件產(chǎn)品，得出總事件，再分別得出事件/,事件3,事件。包含的事件，再由

互斥事件及對(duì)立事件的定義即可判斷出結(jié)果.

【詳解】隨機(jī)抽取三件產(chǎn)品，總事件中包含“0件次品，3件正品”，“1件次品，2件正品”，“2件次品,

1件正品”，“3件次品，0件正品”

事件4="三件產(chǎn)品全不是次品”即“0件次品，3件正品”，

事件3=”三件產(chǎn)品全是次品”即“3件次品，0件正品”，

事件。=”三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品”即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品”

由互斥事件的定義知：/、B、C兩兩互斥，故正確；

由互斥事件的定義知：/與8互斥，但是/與2的和事件不是總事件，故/與2對(duì)立不是對(duì)立事件，故。

錯(cuò)誤.

故選：D.

4.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)空間中線面、面面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】由a,b是兩條不同的直線，a,口是兩個(gè)不同的平面，

則b與a可能相交、平行或beQ,/錯(cuò)；

第7頁(yè)，共18頁(yè)

若a_La,a_Lb,則〃/a或bUa，B錯(cuò);

若aUa,bUa,a〃0,〃/0,則a〃?；騛,0相交，C錯(cuò);

若anb=A,則a,b確定一個(gè)平面，設(shè)為），

又a//a,6//a,a〃0,b//0,所以7〃叫）〃。，

則由面面平行的判定定理得a〃/3,。正確.

故選：D

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查棱臺(tái)的體積，屬于基礎(chǔ)題.

利用棱臺(tái)的體積公式即可求解.

【解答】

解：連接DB,

分別取》81、中點(diǎn)。，H,連接。〃、DiH,如下圖所示:

因?yàn)锳BCD-44。山1為正四棱臺(tái)，

則四邊形43。山1均為正方形，且?！ù怪庇谏舷碌酌?，DDi=BBi，

易知場(chǎng)〃BH,DB=BH=&,

故四邊形01田"為平行四邊形，

則BBJ/D1H,且

因?yàn)?/p>

則。0」0詛，

又DDi=BBi=D^H,且DH=5DB=A/2,

由DiD2+01H2=DH2,即2DW=2,

解得。出=1,

由08_1_面A^B^CiDi,D\0C面A\B\C\D\,

則OHS。，

第8頁(yè)，共18頁(yè)

2

則OH=—=

2

則四棱臺(tái)的高為配.

2

又正方形AxBiCiDi的面積為1,正方形ABCD的面積為4,

故正四棱臺(tái)ABCO-4耳6。1的體積

V=|(l+4+"1x4)x彳=等

故選：B.

6.【答案】A

RA

【解析】【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得acos,=bcosq,利用正弦定理化邊為角，再展開(kāi)二倍角公

AR

式整理可得sin?=s嗚，結(jié)合角的范圍求得幺=小同理可得3=。，則答案可求.

AR.?.acosf^cos^,

【詳解】,.響量1=(Q,cos—),n=(6,COS7)共線,

BA

由正弦定理得：sinAcos—=sinBcos—,

-44B°.BBAA「B

2sm—cos—cos--=2sm—cos—cos—,叫sm—sm

乙乙乙乙乙乙乙—y

A7TBTVABRn._

NN//

同理可得8=C.

△ABC形狀為等邊三角形.

故選：A.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率與它的對(duì)立事件的概率之間的關(guān)系，屬于

基礎(chǔ)題.

先由條件求得燈不亮的概率，再用1減去此概率，即得所求.

【解答】

解：開(kāi)關(guān)C斷開(kāi)的概率為:，開(kāi)關(guān)。斷開(kāi)的概率為上，開(kāi)關(guān)/、2至少一個(gè)斷開(kāi)的概率為l—="

22224

113

開(kāi)關(guān)￡、尸至少一個(gè)斷開(kāi)的概率為1—彳*力=：,

224

1133Q

故燈不亮的概率為

224464

第9頁(yè)，共18頁(yè)

Q55

故燈亮的概率為1-與=3

6464

故選：C.

8.【答案】A

【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)￡在底面/BCD上的射影為G,作GM_LBC，GNLAB，垂足分別為M,N,設(shè)四

個(gè)側(cè)面與底面的夾角為仇即可得到NEMG=NENG=。，根據(jù)三角形全等得到方程，整理即可.

【詳解】如圖所示，設(shè)點(diǎn)￡在底面45CD上的射影為G,作GWLBC,GN1AB,垂足分別為M,N.

則/EMG為側(cè)面EBC與底面ABCD的夾角，NENG為側(cè)面EBAF與底面ABCD的夾角,

設(shè)四個(gè)側(cè)面與底面的夾角為仇則在和中，AEMG=AENG=Q,

AD_尸尸

又GE為公共邊，所以GN=GM,即一=—=寸，整理得AB=BC+EF.

故選：A

9【答案】AD

【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)判斷N，取特殊值判斷8C，根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)、共輾復(fù)數(shù)模的性質(zhì)判

斷。.

【詳解】由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)知區(qū)?？2|=閡?區(qū)|，故/正確;

取Z=K則閡2=屏/=—1,故3錯(cuò)誤；

取力=1,3=0，則21+06H,々-22=1為實(shí)數(shù)，故。錯(cuò)誤；

因?yàn)棰?1藥|=肉|,㈤舛，所以芻=抖=%=附，故。正確.

Z1⑶㈤Z1

故選：AD

10.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查扇形圖，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖由產(chǎn)品升級(jí)前的營(yíng)收為a,升級(jí)后的營(yíng)收為2a,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【解答】

第10頁(yè)，共18頁(yè)

解：設(shè)產(chǎn)品升級(jí)前的營(yíng)收為。，升級(jí)后的營(yíng)收為2a.

對(duì)于產(chǎn)品/,產(chǎn)品升級(jí)前的營(yíng)收為0.1a,升級(jí)后的營(yíng)收為2ax0.2=0.4a,故升級(jí)后的產(chǎn)品/的營(yíng)收是

升級(jí)前的4倍，/正確；

對(duì)于產(chǎn)品2,產(chǎn)品升級(jí)前的營(yíng)收為0.2a,升級(jí)后的營(yíng)收為2ax0.2=0.4a,故升級(jí)后的產(chǎn)品3的營(yíng)收是

升級(jí)前的2倍，8正確；

對(duì)于產(chǎn)品C,產(chǎn)品升級(jí)前的營(yíng)收為0.5a，升級(jí)后的營(yíng)收為2ax0.4=0.8a,故升級(jí)后的產(chǎn)品C的營(yíng)收增

加，C錯(cuò)誤；

產(chǎn)品升級(jí)后，產(chǎn)品用。營(yíng)收的總和占總營(yíng)收的比例不變，。正確.

故選：ABD

11.【答案】BCD

【解析】【分析】對(duì)小作輔助線，求出。28，5。2,結(jié)合邊角關(guān)系得出圓臺(tái)形臺(tái)燈的母線所在直線與下

底面所成角；對(duì)2,由sinNNaE=sin(7r-NNO2F)=sin/Oi。2H結(jié)合邊角關(guān)系得出母線長(zhǎng)；對(duì)C,求

出tan/OzAR，進(jìn)而由邊角關(guān)系得出從￡。后；對(duì)。，由側(cè)面積計(jì)算得出圓臺(tái)形臺(tái)燈的側(cè)面積.

解決本題關(guān)鍵在于將三維圖形轉(zhuǎn)化為二維平面圖形，從而利用平面幾何知識(shí)處理問(wèn)題.

【詳解】對(duì)于/：如下圖所示，點(diǎn)刊,為球面與圓臺(tái)的切點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)Oi作O1HLNO2,垂足為〃，設(shè)小球半徑為入大球半徑為五，

易知圓臺(tái)形臺(tái)燈的母線所在直線與下底面所成角為/NAF,

NH=OiM=r=1,02H=R-NH=8,

HO>84

cosNNAF=COS(7T—Z.NO2F)=cos/O1O2H==—=-,

7F

故NNAFra，幺錯(cuò)誤;

o

3

對(duì)于B：因?yàn)閟inANAF=sin(7r-ANO2F)=sinNOQ2H=一,

5

sin-ANAF1—cosANAF

對(duì)于C：tanZ.O2AF=tan-ZTVAF2

1+cosANAF

cos-Z.NAF

2

AF-——____---27801

"tanZO2AF一1一"，DE=AF-DA-cosANAF=27--=-,

—66

第n頁(yè)，共18頁(yè)

則圓臺(tái)形的上、下底面半徑之積為27x：=9,故C正確；

O

對(duì)于Z)：S=TT(AF+DE)AD=萬(wàn)義(27+()x='，。萬(wàn)>2800,故D正確;

13/39

故選：BCD

12.【答案】3；4

【解析】【分析】

本題考查統(tǒng)計(jì)中的中位數(shù)與方差，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用中位數(shù)與方差的定義計(jì)算即可.

【解答】

解：因?yàn)閿?shù)據(jù)4為，4x2,???,4的2的中位數(shù)為16,方差為64,所以數(shù)據(jù)①1,①2,?一，的2的中位數(shù)為

4,方差為豫=4,所以數(shù)據(jù)3—1,x2-l,■■■,叫2—1的中位數(shù)為4—1=3,方差為4.

故答案分別為：3；4

7

13.【答案】-

o

【解析】【分析】

本題考查平面向量的線性運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算，屬于中檔題.

以｛幅,加｝為基底向量表示言，而，再根據(jù)垂直關(guān)系結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求解.

【解答】

解：以｛溷，:W｝為基底向量，則前=加+而,

第12頁(yè)，共18頁(yè)

=就+C^=|前-|方=|（加+砌-+

因?yàn)?3=1，AD=V3'且ABJ.AD，

則瓦標(biāo)=0，

所以示.前二（\15+：口卜（血+前）=,幅2+|前2=]

故答案為：（7

o

14.【答案】1

【解析】【分析】由正弦定理角化邊得Q2+M=3C2,再由三角恒等變換結(jié)合邊角互化得出答案.

【詳解】因?yàn)?加24+s加2石=3,加2。，所以解+匕2=3。2,

tanAtanC+tanBtanC(cosBcosA

------------------------==tanC?^-―-+-------

tanAtanB-----------------\smBsinA

sinC(cosBsinA+sinBcosA

cosC\sinBsinA

sinCsin(A+B)sinCsinC

cosCsinAsinBcosCsinAsinB

_c2_2c2_2c2_

a2+62—c2a2+62—c22c2

-----------ab

2ab

故答案為：1

15.【答案】解：（1）證明：因?yàn)樵谡叫?5CQ中4D，/E,CD，CF,

折疊后即有PD1PE.PDLPF,

又PECPF=P,PE,PFC平面尸￡凡

所以PDL平面?跖，而EFC平面尸跖，

故PD1EF；

（2）由題意知PE=PF=2,PE1PF,故SAPEF=\xPExPF=2,

118

故Vp—EFD=W義S叢PEFXPD=-x2x4=-；

ooo

（3）取線段M的中點(diǎn)G,連接PG,0G,

第13頁(yè)，共18頁(yè)

因?yàn)镻E=PF,DE=DF,

所以有PG_LEF,0G_LEF,PGc￥ffiP￡F,DGCnDEF,

所以NPGD即為二面角P-EF-D的平面角,

又由(1)得PD1平面PEF,PGc平面PEF,

故PDLPG,而后尸=2四,。3=；七P=四,DG=VPD2+PG2=J42+(a)2=3\/2，

PG_\/2_1

故cos/PGO麗=初=3

即二面角P-EF-。的余弦值為。.

O

【解析】(1)先證明平面尸跖，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論;

(2)根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案；

(3)作出二面角P—ER—。的平面角，解直角三角形即可求得答案.

27r

16.【答案】解：(I)在△48。中，?.?AB=4D=4,4=—,

BD=y/AB2+AD2-2AB-AD-cosA=

BCBD

在△BCO中，由正弦定理得

sinABDCsin。'

6xsin-

BCsinC3.

sin/BDC=______3=一,

BD4

(n)在△AB。、△06。中，由余弦定理得,

BD2=AB2+AD2-2ABxADcosA=42+42-2x4x4xcosA=32-32cosA，

BD2=CB2+CD2-2CBxCDcosC=62+22-2x6x2xcosC=40-24cosC，

則4cosA—3cosC=—1,

又因?yàn)閏os4=3cosC,所以cosA——cos。=一1

39

第14頁(yè)，共18頁(yè)

所以皿4="，sin°=^

1,.2421「八4,58^5+16A/2

故四邊形ABCD的面積為S^ABD+S^BCD=-x4x4x-------P-x6x2x------=

23293

【解析】本題主要考查利用正、余弦定理解三角形，三角形的面積公式，以及由一個(gè)三角函數(shù)值求其他三

角函數(shù)值，屬于中檔題.

(I)根據(jù)已知及正、余弦定理，求出sin/BO。的值；

(H)根據(jù)已知及余弦定理，求得sin4=a2,sin。=生狗，即可利用三角形的面積求解.

39

17.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可知10(2Q+0.025+0.045+0.020)=1,

解得a=0.005,

?=50x10x0.005+60x10x0.025+70x10x0.045

+80x10x0.020+90x10x0.005

=69.5,

眾數(shù)為70,

因?yàn)榍?組的頻率和為10x0.005+10x0.025=0.3<0.5,

前3組的頻率和為10x0.005+10x0.025+10x0.045=0.75>0,5,

所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為如

則0.3+0.045(rzi-65)=0.5,解得mQ69.4,

所以中位數(shù)為69.4.

(2)記3名男生分別為N,B,C,記2名女生分別為a,b,

則所有抽簽的情況有：

未中簽N5,中簽Cab；未中簽/C,中簽及仍；未中簽/a,中簽8c6；

未中簽/b,中簽BCa；未中簽BC,中簽Na6；未中簽及z,中簽/Cb；

未中簽8"中簽NCa；未中簽Ca,中簽/劭；未中簽C6,中簽/&；

未中簽中簽4BC,共有10種情況，

其中中簽者中男生比女生多的有：未中簽/a,中簽3c6；未中簽中簽8Ca；

未中簽Ba,中簽NCb；未中簽26,中簽/Ca；未中簽Ca,中簽48b；

未中簽C6,中簽/&；未中簽中簽/8C,共7種，

所以中簽者中男生比女生多的概率為，.

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【解析】本題主要考查頻率分布直方圖，古典概型概率的計(jì)算公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

(1)由頻率和為1列方程可求出a的值，根據(jù)平均數(shù)的定義可求出小由眾數(shù)的定義可求得眾數(shù)，先判斷中

位數(shù)的位置，再列方程求解即可；

(2)利用列舉法結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式求解即可.

18.【答案】解：(1)連接RD,■.■PR//AD,PR=AD=2,

AD//BC,AD=BC=2,

：,PR//BC,PR=BC,

即四邊形尸RBC為平行四邊形，則點(diǎn)0為RC的中點(diǎn)，

又。為DC中點(diǎn)，

Q。，平面ADPR,ROU平面ADPR,

」.0Q〃平面ADPR.

⑵平面P2C,(2。,3。＜2平面尸3。，

：,DQ1BC,DQLQC

又BC1DC，OC,OQU平面RO),DCHDQ=D,

RCD,QOU平面RCD,

BC1QO.

又RCU平面AC。，BCLRC.

在Rt/\QBC中，QC=\/6—4=y/2,

DQ—\/4-2=A/2,DQ=QC,QO-LDC

■：DCCBC=C,DC,BCC平面ABCD,

QOmABCD.

(3)由。QrBC,BC7/a。，可得0QL/0,

又BC_L平面RC，平面RCB,

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DRLBC,DRLAD,

則平面ADPR與平面ADQ所成角為ARDQ,

又點(diǎn)0為RC中點(diǎn)，DQ±RC,

：,RD=DC=2,

在RtZXQR。中，RQ=QC=V2=DQ，

則tanARDQ=第=1,ARDQ=45°,

則平面ADPR與平面40。所成角為45°.

【解析】(1)由平行傳遞性證明四邊形P73C為平行四邊形，得出點(diǎn)。為RC的中點(diǎn)，再由中位線定理證明

Q0//RD,進(jìn)而由線面平行判定證明0Q〃平面4DPR

(2)由。Q,平面P8C結(jié)合證明3。，平面RCA,進(jìn)而得出BCLQ。，再證明△OQC為等腰三角

形，從而得出Q。，。。，最后由判定證明即可；

(3)由。RL4。，。。，/。結(jié)合定義確定平面/。網(wǎng)與平面4。。所成角為/h。<3，再由邊角關(guān)系求解即

可.

19.【答案】解：(1)設(shè)事件4="游戲一獲勝”，B="游戲二獲勝"，C="游戲三獲勝”，

游戲一中取出一