函數(shù)與方程【8類題型】-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)突破（新高考專用）

熱點(diǎn)專題2-7函數(shù)與方程

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

2024年天津卷第15題，5分從近幾年鬲考命題來看，高考

(1)理解函數(shù)的零點(diǎn)與方

年全國甲卷，第題分對(duì)函數(shù)與方程也經(jīng)常以不同的

202416,5程的解的聯(lián)系.

方式進(jìn)行考查，比如：函數(shù)零

年天津卷第題，分(2)理解函數(shù)零點(diǎn)存在定

2023155點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題、位置問題、近

理，并能簡單應(yīng)用.

似解問題，以選擇題、填空題、

(3)了解用二分法求方程

2021年北京卷第15題，5分解答題等形式出現(xiàn)在試卷中的

的近似解.

不同位置，且考查得較為靈活

模塊一、熱點(diǎn)題型解讀(目錄)

【題型1】求函數(shù)的零點(diǎn)

【題型2】求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間

【題型3】二分法求近似解

【題型4】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)

【題型5】利用函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍

【題型6】已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

【題型7】比較零點(diǎn)的大小

【題型8］求零點(diǎn)的和

模塊二核心題型?舉一反三

【題型1］求函數(shù)的零點(diǎn)

基礎(chǔ)知識(shí)

函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于一般函數(shù)y=/(X),我們把使/(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(X)的

零點(diǎn).即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為零的自變量的值.

【要點(diǎn)辨析】

（1）函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；

（2）函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)y=/（%）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（3）函數(shù)y=/（X）的零點(diǎn)就是方程/（x）=0的實(shí)數(shù)根.

2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系

函數(shù)y=/（X）的零點(diǎn)就是方程/'（無）=0的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y=/（X）的圖象與x軸的公共點(diǎn)的

橫坐標(biāo).所以方程/（尤）=0有實(shí)數(shù)根0函數(shù),=/（X）的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/（x）有

零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)/（%）在區(qū)間可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且/那么，函數(shù)

y=/（x）在區(qū)間（a.5）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在cw（a。），使得/'（c）=。，這個(gè)c也就是方程

/（x）=0的解.

1.函數(shù)的零點(diǎn)為（）

A.（0,0）B.（1,1）C.0D.1

【答案】C

【解析】令/（x）=3*-1=0,解得x=0,故選:C.

【鞏固練習(xí)1］函數(shù)〃x）=l-lg（3*+2）的零點(diǎn)為＜）

A.log38B.2C.log37D.log25

【答案】A

【解析】令/'（尤）=1一3（3*+2）=0,得3'+2=10,則x=log38.故選：A

【鞏固練習(xí)2】

【鞏固練習(xí)3】已知定義在（。,+/）上的/'（X）是單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意）恒有

f〃x）+logi尤=4,則函數(shù)的零點(diǎn)為（）

I3）

A.—B.—C.9D.27

279

【答案】A

［解析］設(shè)〃x)+log/=a,即/'(x)=TogiX+a,

3'3

/、

因?yàn)?f(x)+log［X=4,可得〃a)=4,

I37

所以T°g/+a=4,解得〃=3,所以〃x)=Tog/+3,

33

令〃同=。，可得T°g/+3=°,即bg/=3,解得尤=」_.故選：A.

\/3327

【題型2】求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間

基礎(chǔ)知識(shí)

判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的步驟

第一步：將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求函數(shù)的值；

第二步：將所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷；

第三步：若符號(hào)為正切在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn);

若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個(gè)零點(diǎn)。

2.函數(shù)/（x）=2'+x-4的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,3）

【答案】C

【解析】因?yàn)閥=2"和y=x-4均是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)〃了）=2工+了-4是R上的增函數(shù),

又/⑴=-1<0,〃2）=2>0,/（1）./（2）<0,

所以函數(shù)“X）的零點(diǎn)所在區(qū)間為（1,2）.故選：C.

【鞏固練習(xí)1］函數(shù)〃x）=ln（2尤）-g的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】因?yàn)?（力的定義域?yàn)椋?,+8）,且y=ln（2x）,y=-0在（0,+動(dòng)內(nèi)單調(diào)遞增,

可知在（0,+e）內(nèi)單調(diào)遞增，

JL/（l）=ln2-l<0,/（2）=ln4-1>0,

所以函數(shù)/（%）的唯一一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（1,2）.

【鞏固練習(xí)2］函數(shù)〃尤）=ln（2尤）的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?,+功，且y=ln（2x）,y=-,在（0,+<?）內(nèi)單調(diào)遞增,

可知/（X）在（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，

JL/（l）=ln2-l<0,/（2）=ln4-1>0,

所以函數(shù)〃尤）的唯一一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（1,2）.

【題型3】二分法求近似解

基礎(chǔ)知識(shí)

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.

求方程“X）=0的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.

3.（2024.廣東梅州.二模）用二分法求方程log’》-1=。近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是（）

2x

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】令y（%）=iog4x-2,

因?yàn)楹瘮?shù)y=log4元,y=--1在（0,+<?）上都是增函數(shù)，

2x

所以函數(shù)/（%）=log4%--L在（。,+8）上是增函數(shù)，

2x

/⑴=_:<。,/（2）=1。842mq>o,

所以函數(shù)/⑺=log,x-上在區(qū)間&2）上有唯一零點(diǎn)，

所以用二分法求方程1Og8X-=0近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是(1,2).

3x

【鞏固練習(xí)1]一塊電路板的線段之間有60個(gè)串聯(lián)的焊接點(diǎn)，知道電路不通的原因是焊口脫落

造成的，要想用二分法的思想檢測(cè)出哪處焊口脫落，至少需要檢測(cè)()

A.4次B.6次

C.8次D.30次

【答案】B

【解析】利用二分法檢測(cè)，每次取中點(diǎn)，焊接點(diǎn)數(shù)減半，不妨設(shè)需要"次檢測(cè)，則

即2"260,因?yàn)?5<60<26,故”的最小值為6,即至少需要檢測(cè)6次.

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/(元)=log2AL在區(qū)間(L2)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，在利用二分法求函數(shù)Ax)近

X

似解的過程中，第二次求得的區(qū)間中點(diǎn)值為.

【答案】47

【分析】根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合零點(diǎn)二分法，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(%)=log2%-工為單調(diào)遞增函數(shù)，且在(1,2)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，

X

又由/(1)=—1,/(2)=；,則/(1)/(2)<0,

33?3-

第一次用二分法，由/(-)=log2---=log2--log223,

因?yàn)閗<4,可得(—)3<43,即=<23,可得所以/(彳)<0,

o8222

3

所以確定函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(萬⑵；

7741S—

7

第二次用二分法，由/(—)=lOg2--y=10g27一~y=10g27-10g22,

18187

因?yàn)?>2不，可得log?7-%2”。，即/(/>°

7373

所以/(-)/(-)<0,所以確定函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(;二)，

4242

7

所以第二次求得的區(qū)間的中點(diǎn)值為一.

4

【鞏固練習(xí)3](2024?遼寧大連?一模)牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對(duì)于非線性可

導(dǎo)函數(shù)〃尤)在與附近一點(diǎn)的函數(shù)值可用/紅卜/(/)+/'(陶(彳-飛)代替，該函數(shù)零點(diǎn)更逼近方程

的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解.利用這個(gè)方法，解方程三―3%+1=0,

選取初始值在下面四個(gè)選項(xiàng)中最佳近似解為()

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【答案】D

【解析】令/(x)=%3—3x+l,貝寸/＜兀)=3%2-3,

f(x]

令〃x)=0,即〃/)+/'(%)(左-毛卜。，可得尤，

迭代關(guān)系為“+i=々一fE片)*

"士*HA)，

C11c11

G312X----1。312X-----1

2%T_812x,-l_2725

取則%0.34722

3/_31“939_3172

“0J3X--3西J3x--3

49

【題型4】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)

基礎(chǔ)知識(shí)

零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法

(1)直接法：直接求零點(diǎn)，令/(無)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)定理法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間可上是連續(xù)不斷的曲線，且/'0)<0,

結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)圖象法:

①單個(gè)函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)/(%)的圖象，函數(shù)/'(%)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)

數(shù)就是函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

②兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)7z(x)和g(x)的差,根據(jù)/(x)=0="(x)=g(x),

則函數(shù)/(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=/z(x)和y=g(無)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是

周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

4.函數(shù)f(x)=Hgx-l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】令〃x)=xlgx-l=O,得lgx=L

X

畫出函數(shù)y=ig%與y=工的圖象，

可得這兩個(gè)函數(shù)在(0,+8)上的圖象有唯一公共點(diǎn)，

故/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選：B

5.函數(shù)/(%)=爐一2*的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】通過圖形可以得出/(%)=/—2,有3個(gè)零點(diǎn)

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)/(?=(；『-三—2在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

11

【解析】函數(shù)y=(-)v,y=V-2分別是R上的減函數(shù)和增函數(shù)，則函數(shù)/(%)=(5廠-Y-2是減函數(shù),

而〃=-(-1)3-2=1>0,/(0)=-1<0,

所以函數(shù)/(九)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.故選：B

【鞏固練習(xí)2】(2024.江蘇鹽城.模擬預(yù)測(cè))函數(shù)y=c。"與"尼忖的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】函數(shù)y=CO&r與y=咽乂都是偶函數(shù)，其中cos271=cos47t=l,1g471>1g10=1>1g2K,

在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=88%與y=lg國的圖象，如下圖，

加

尸尼兇產(chǎn)COSXI______

-4兀?！?^2兀'SiJ4兀攵

由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.

【鞏固練習(xí)3】(2019?全國?高考真題)函數(shù)/(%)=2sinx-sin2%在［0,2回的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】令f(x)=O,得sinx=O或cosx=l,再根據(jù)％的取值范圍可求得零點(diǎn).由

f(x)=2sinx—sin2x=2sinx—2sinxcosx=2sinx(l—cosx)=0,

得sinx=0或cos%=l,xG[0,2TT],

%=0、%或2%.

「./(x)在[0,2萬]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3

x+2x,x<0,

【鞏固練習(xí)4］已知函數(shù)/(%)=<則函數(shù)g(x)=/("-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為)

|lgx|,x>0,

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】由題意可知，g(x)=/(x)-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為/(%)和函數(shù)y=3的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù),

它們的函數(shù)圖象如圖所示.故選：C.

【題型5】利用函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍

基礎(chǔ)知識(shí)

本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)的等量關(guān)系，列關(guān)于

參數(shù)的不等式，解不等式，從而解決.

6.函數(shù)y=彳2-2方+〃-1在(0,1)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.0<?<1B.或C.a>lD.av-l或〃>0

【答案】B

［解析］令/(x)=x2-2ax+a-l,

因?yàn)椤?)=40+1)=4］”小3>0,

所以函數(shù)圖象與九軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=%2_2以+〃_1在(0,1)上存在零點(diǎn)，且函數(shù)圖象連續(xù),

7(0)>0[a-l>0

所以/(0)f⑴v。，或/(D>0,所以3—1)(—〃)<。，或，〃>0

0<a<l0<a<l

解得〃<0或4>1

7.函數(shù)/（x）=log2X+d+M在區(qū)間（1,2）存在零點(diǎn).則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（-8,-5）B.（-5,-1）C.（1,5）D.（5,+00）

【答案】B

【解析】由x=log?尤在（0,+8）上單調(diào)遞增，/=/+加在（0,+8）上單調(diào)遞增，得函數(shù)

2

f（x）=\og2x+x+冽在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)〃x）=log2無+f+〃?在區(qū)間（1,2）存在零點(diǎn)，

[/（1）<0flog,l+l2+m<0

所以。乂C，即12,,解得—5<-1,

,2

[/（2）>0[log22+2+/77>0

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（-5,-1）.

【鞏固練習(xí)1】（2024?高三?浙江紹興?期末）已知命題"：函數(shù)=在（1,2]內(nèi)有零點(diǎn)，則

命題。成立的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.3<?<18B.3<a<18C.<2<18D.a>3

【答案】D

【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由函數(shù)/。）=2/+苫-”在（1,2]內(nèi)有零點(diǎn)，

得匕小、1O八，解得3<aVl8,即命題〃成立的充要條件是

|/（2）=18-aN0

顯然3<。418成立，不等式3Va<18、3<。<18、a<18都不一定成立，

而3<aV18成立，不等式°23恒成立，反之，當(dāng)口23時(shí)，3<aW18不一定成立，

所以命題。成立的一個(gè)必要不充分條件是aN3.

【鞏固練習(xí)2】（2024?山西陽泉?三模）函數(shù)〃尤）=log2X+d+m在區(qū)間。,2）存在零點(diǎn).則實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍是（）

A.（—co,—5）B.（―5,—1）C.（1,5）D.（5,+oo）

【答案】B

【解析】由X=10g2X在（。,+°°）上單調(diào)遞增，%=/+根在（。,+8）上單調(diào)遞增，得函數(shù)

/（X）=log2X+f+機(jī)在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=log2%+%2+zn在區(qū)間(1,2)存在零點(diǎn)，

/(1)<0log1+12+m<0、/、

29

所以〃2)>0'即'?,解得一5<根<-1,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(一5,-1).

log22+2+m>0

【鞏固練習(xí)3](2024?四川巴中?一模)若函數(shù)/(%)=2加+3%-1在區(qū)間(-1,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)〃的取值集合為()

9

A.{tz|-1<6Z<2)B.{a\a=——或一1vav2}.

8

9、

C.{a\-1<a<2]D.[a\a=——或一14々42}.

8

【答案】D

【解析】由函數(shù)/(X)=2改2+3%-1,

若。=0,可得/(x)=3x-l,令八無)=0,即3%-1=0,解得X=g,符合題意；

若。。0,令即2m?+3尤一1=0,可得A=9+8a,

902

當(dāng)A=0時(shí)，即9+8〃=0,解得。=——,此時(shí)/(x)=——X2+3X-1,解得尤=—,符合題意；

8''43

當(dāng)A>0時(shí)，即。>——且aw0,則滿足了(一1),f(1)=(2a—4)(2〃+2)4。，

解得-LVa<2且awO,

若a=-l,可得/(x)=—2f+3x—1,令/'(x)=。，即2/_3x+l=0,

解得x=l或x=g,其中x=ge(-l,l),符合題意；

若a=2,可得/(x)=4￡+3x-1,令/(x)=0,即4^+3元-1=0,

解得x=-l或X=[,其中尤=：€(-[,1),符合題意；

44

9

綜上可得，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為{。|。=-一或—

8

【題型6】已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

基礎(chǔ)知識(shí)

已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法

(1)直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；

(2)數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，把函?shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題轉(zhuǎn)化

為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；

(3)分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解.

求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因此只要作出函數(shù)圖象即可.如果函數(shù)圖象

不易作出，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=7?(x)—“(％)的結(jié)構(gòu)，然后轉(zhuǎn)化為m(x)與〃(龍)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問

題.

解決步驟

第一步：將函數(shù)化為y=m(尤)一〃(%)的形式，"z(x)與“(X)一個(gè)含參，一個(gè)不含參.

第二步：畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象.

第三步：確定滿足題意時(shí)含參函數(shù)的圖象的移動(dòng)范圍，從而求出參數(shù)的取值范圍.

/、2"—xW1

8.若函數(shù)/(，)=]>]有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.（0,2]B.（0,2）C.（0,1）D.（-oo,l）

【答案】A

【解析】當(dāng)龍>1時(shí)，由ln(x-l)=0,得無=2,

/、[2X-a,x<l

因?yàn)楹瘮?shù)〃尤)=(/八，有兩個(gè)不同的零點(diǎn),

則當(dāng)xV1時(shí)，函數(shù)f(x)=2'-a還有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)?<2*4暖=2,所以0<。<2,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,2].故選：A

9.函數(shù)/(x)=|2x-m|-|lnx|有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則加的取值范圍是

【答案】(F[n2+1)

【解析】由題意可得，問題等價(jià)于y=|2x-訓(xùn)與y=|lnx|有且只有一個(gè)交點(diǎn).

分別作圖如下：

考慮他們的臨界情況，即y=|2x-訓(xùn)與y=|lnx|相切時(shí)，如上圖，即y=m-2x與y=-lnx相切時(shí),

僅有一個(gè)交點(diǎn).

設(shè)切點(diǎn)為（毛,%）,

,1c

貝y=-----=-2

%

~1?1-

所以毛=5,%=-嗎=1112

所以1112=根-2%/=根-1,即m=ln2+l,

但因?yàn)閥=\2x-rr^與y=|lnR有且僅有一個(gè)交點(diǎn),

所以In2>%-1,m<ln2+l

【鞏固練習(xí)1]若函數(shù)/（幻=2尤-3|-1-加有2個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是

【答案】（-1,2）

【解析】由〃％）=,-3卜1一機(jī)=0,得,一3卜1==.

設(shè)函數(shù)g（尤）=|2*-3|-1=]j之作出且⑴的大致圖象，如圖所示.

I乙i,lOg?D

函數(shù)/（x）=\2x-3\-l-m有2個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)g⑺與函數(shù)y=相的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

由圖可知，m的取值范圍是（-1,2）.

]2一1,尤V2

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)〃x）=3，若方程〃尤）=。有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取

-----,x〉2

、x—1

值范圍是（）

A.（1,3）B.（0,1）C.（0,3）D.[0,1]

【答案】B

【解析】方程/（尤）=。有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=〃x）與函數(shù)y=。的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn).

作函數(shù)y=〃x）的圖象如下圖所示，/（2）=3

由圖可得，0＜。＜1.所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是：(0,1).故選：B.

2140

【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)/(X)=，l,g(x)=f(x)-x-a.若g(無)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取

—x,x＞0

值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+00)C.[-l,+oo)D.[l,+oo)

【答案】D

【解析】x＞0時(shí)，f{x)=--x,函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減，/(1)=0,

令g(x)=0可得f(x)=x+a,作出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=x+a的圖象如圖所示:

由上圖可知，當(dāng)°之1時(shí)，函數(shù)y=/(x)與函數(shù)＞=工+。的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)，函數(shù)y=g(x)有2個(gè)零點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是口,+?).故選：D.

【題型7】比較零點(diǎn)的大小

基礎(chǔ)知識(shí)

利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

10.（2024?新疆烏魯木齊?二模）設(shè)x>0,函數(shù)>=/+苫-7,〉=2'+尤-7,y=log2X+尤-7的零點(diǎn)分

別為a,4c,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【分析】由題意分別為函數(shù)》=一％+7與函數(shù)y=x2,y=2",y=log2X圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出

函數(shù)y=r,y=一％+7,y=2=y=log2x的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.

［詳解］分別令y=%2+%—7=0,y=2》+%—7=0,y=log2x+x-7=0,

2

則x=-x+7,2*=—x+7,log2x=~x+7,

則。,方,。分別為函數(shù)＞=一兀+7與函數(shù)丁=%2,〉=2二〉=1082兀圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

2x

分別作出函數(shù)y=x,y=-x+7,y=2,y=log2x的圖象，如圖所示，

【鞏固練習(xí)1】(2024?廣東梅州?二模)三個(gè)函數(shù)/(%)=%3+%一3,g(x)=lnx+%—3,/z(x)=ex+x-3

的零點(diǎn)分別為。力,c,則之間的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】先判斷各函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理求出函數(shù)零點(diǎn)的范圍，即可得出答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=/,y=ex,y=lnx,>=%-3都是增函數(shù)，

所以函數(shù)/(%)=/+冗一3,g(x)=lnx+x-3,/z(x)=e"+X-3均為增函數(shù)，

因?yàn)椤╨)=T(0,〃2)=7)0,

所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)在(1,2)上，即ae(1,2),

因?yàn)間⑵=ln2—l(0,g(3)=ln3)0,

所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)在(2,3)上,即6e(2,3),

因?yàn)闊o(0”—2(0,/i(l)=e—2)0,

所以函數(shù)h(x)的零點(diǎn)在(0,1)上，即ce(0,1),

綜上，c<a<b.

【鞏固練習(xí)2】(2024?海南?模擬預(yù)測(cè))已知正實(shí)數(shù)。涉,。滿足=log3a,|^|j=log3^c=logiC,則

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】利用數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)題意結(jié)合圖象交點(diǎn)分析判斷.

【詳解】因?yàn)閏=logy=一叫3。，即-C=log",

3

由題意可知：。為與y=iog3%的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；

人為與v=1。83%的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；

。為丁二一"與y=iog3%的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；

在同一面直角坐標(biāo)系中作出y=,y=logs%,y=,y=-尤的圖象,

由圖可得：c<a<b.

【鞏固練習(xí)3］設(shè)正實(shí)數(shù)。也。分別滿足。-2。=Z?.log3Z?=Llog2C=l,則。也c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

【答案】B

【分析】作出y=2",y=log2%,y=log3%的圖像，利用圖像和y=，圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)比較大小即可.

X

【詳解】由已知可得工=2",y=log3b,-=log2c,

abc

作出y=2",y=log2x,y=log3x的圖像如圖所示：

由圖像>可得〃>c>a

【題型8】求零點(diǎn)的和

基礎(chǔ)知識(shí)

結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性以及交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合

11.(2024?青海西寧.二模)函數(shù)/(司=4疝5尤-根-1|的所有零點(diǎn)之和為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】令f(x)=。兩個(gè)解為零點(diǎn)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換成g(x)=4sin^%,力(1)=卜-1|兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)

問題，作圖即可求出零點(diǎn)，且g(x)和〃⑴的圖象關(guān)于1=1對(duì)稱，零點(diǎn)也關(guān)于x=l,即可求出所有

零點(diǎn)之和.

【詳解】令/(冗)=。，得4sin]x=k—1|,解得％=—3或％=5,即為零點(diǎn)，

令g(x)=4sin]x,/z(x)