海南省?？谑?024−2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試題含答案

海南省?？谑?024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．若，則的虛部為（

）A． B． C． D．23．若，且，則和的夾角是（

）A． B．C． D．4．已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（

）A．4.5 B．5 C．5.5 D．65．在中，，則的長為（

）A． B．4 C． D．56．在直三棱柱中，，且，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．7．若正實數(shù)x，y滿足，則xy的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．沙漏是古代的一種計時儀器，根據(jù)沙子從一個容器漏到另一容器的時間來計時．如圖，沙漏可視為上下兩個相同的圓錐構(gòu)成的組合體，下方的容器中裝有沙子，沙子堆積成一個圓臺，若該沙漏高為6，沙子體積占該沙漏容積的，則沙子堆積成的圓臺的高（

）A．1 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某公司計劃組織秋游活動，定制了一套文化衫，女職工需要不同尺碼文化衫的頻數(shù)如圖．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．文化衫尺碼的眾數(shù)為187 B．文化衫尺碼的平均數(shù)為165C．文化衫尺碼的方差為28 D．文化衫尺碼的中位數(shù)為16510．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）

A． B．平面ABCDC．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等11．已知函數(shù)的部分圖象如圖，則關(guān)于函數(shù)的描述正確的是（

）

A．關(guān)于對稱B．關(guān)于點對稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間上的最大值為3三、填空題（本大題共3小題）12．若，則.13．甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨立，第1局甲當(dāng)裁判，則前4局中乙恰好當(dāng)一次裁判的概率是．14．各棱長均為1且底面為正方形的平行六面體，滿足，則；此平行六面體的體積為．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知.(1)求b的值；(2)求的值.16．已知函數(shù)(1)求的值；(2)求函數(shù)的遞增區(qū)間；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．17．在神舟十五號載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功的背景下．某學(xué)校高一年級利用高考放假期間組織1200名學(xué)生參加線上航天知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：

(1)若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人，求10人中成績不高于50分的人數(shù)；(2)求的值，并以樣本估計總體，估計該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；(3)由首輪競賽成績確定甲、乙、丙三位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率．18．已知空間四點，，，.(1)若向量與互相垂直，求實數(shù)的值：(2)求以，為鄰邊的平行四邊形的面積：(3)若D點在平面上，求實數(shù)n的值.19．如圖，在四棱錐中，平面為的中點，.

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案1．【答案】A【分析】先求出，再求交集.【詳解】,則.則.故選A.2．【答案】D【詳解】由.所以復(fù)數(shù)的虛部為：2.故選：D3．【答案】B【詳解】設(shè)的夾角為，由于，所以，所以，由于，所以.故選：B4．【答案】C【詳解】依題意，，解得，將數(shù)據(jù)從小到大排列可得：，又，則分位數(shù)為.故選：C.5．【答案】C【詳解】根據(jù)三角形內(nèi)角和為，所以可知，則，根據(jù)正弦定理可知，代入解之可得.故選：C6．【答案】A【分析】先找到異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角）,再通過解三角形求出它的余弦值.【詳解】如圖分別取的中點，連接，因為，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，即（或其補(bǔ)角），設(shè)，由，所以，，，，所以由余弦定理可得：.則異面直線與所成角的余弦值是.故選A.7．【答案】D【詳解】，，由基本不等式得，即，解得.故選：D8．【答案】B【詳解】設(shè)沙漏下半部分的圓錐的容積為，沙子堆成的圓臺體積為，該圓錐內(nèi)沙子上方的剩余空間體積為．由題意可知，即，則，則下半部分圓錐剩余空間的高為圓錐高的一半，即沙子堆成的圓臺的高為圓錐高的一半，即圓臺的高為．故選：B9．【答案】BD【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖可得樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差，再逐一判斷即可.【詳解】由分析圖中數(shù)據(jù)可知，眾數(shù)為165，故A錯誤；總數(shù)為，平均數(shù)為，故B正確；方差為，故C錯誤；中位數(shù)為165，故D正確．故選BD.10．【答案】AD【詳解】對A，不妨取點與點重合，因為平面，在平面內(nèi)，且不過點，所以異面，即此時異面，A錯誤；對B，因為平面，且平面平面，所以平面，所以平面，B正確，不符合題意；對C，易知，點到平面的距離為定值，又，所以三棱錐的體積為定值，C正確；對D，記的中點分別為，連接，易知平面，平面，所以，因為，是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以，所以，所以，D錯誤.故選：AD

11．【答案】AD【詳解】由函數(shù)的部分圖象，得函數(shù)的最小正周期，則，由，則，有，將點代入函數(shù)解析式可得，即，由，得，所以，當(dāng)時，，有最大值，的圖象關(guān)于對稱，A選項正確；時，，，，的圖象關(guān)于點對稱，B選項錯誤；時，，不是正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，C選項錯誤；時，，則當(dāng)，即時，有最大值，D選項正確.故選：AD.12．【答案】【詳解】，故答案為：13．【答案】/【詳解】前局中，因第局甲當(dāng)裁判，則乙恰好當(dāng)1次裁判的事件A，設(shè)乙第二局當(dāng)裁判的事件A1、乙第三局當(dāng)裁判的事件A2，乙第二局當(dāng)裁判的事件A3，它們互斥，乙第二局當(dāng)裁判的事件是乙在第一局輸，第三局勝，則,乙第三局當(dāng)裁判的事件是乙在第一局勝，第二局輸，則，乙第四局當(dāng)裁判的事件是乙在第一局勝，第二局勝，第三局輸，則，所以故答案為：.14．【答案】【分析】由空間向量基本定理可得，對其兩邊同時平方結(jié)合數(shù)量積的定義即可求出；連接交于點，連接，先證明平面，再由柱體的體積公式即可得出答案.【詳解】因為，所以.連接交于點，連接，因為底面為邊長是的正方形，所以，因為，連接，則，所以在中，，所以，又因為，所以，，平面，所以平面，所以平行六面體的體積為：.故答案為：；.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由結(jié)合正弦定理可得：，即，所以，由及余弦定理可得；（2）由得，由正弦定理得，由余弦定理得，所以，，所以.16．【答案】(1)(2),(3)【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的恒等變換，把三角函數(shù)變形成正弦型函數(shù)，即可得的值；（2）根據(jù)正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解單調(diào)增區(qū)間即可；（3）根據(jù)（2）確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求值即可得函數(shù)的值域．【詳解】（1）則；（2）令：，解得的單調(diào)遞增區(qū)間為：；（3）由（2）可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的值域為：．17．【答案】(1)4(2)；平均數(shù)為71；中位數(shù)為(3)【詳解】（1）從圖中可知組距為，則的頻率分別為,從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人時,成績不高于50分的人數(shù)為（人）.（2）由圖可知，解得.使用組中值與頻率可估計平均數(shù)為.因為且，所以中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)估計的中位數(shù)為，則，得.（3）記甲、乙、丙獲優(yōu)秀等級分別為事件、、，則三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率等于.18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為，，，，所以，，，所以，，因為向量與互相垂直，所以，化簡得，解得，（2）因為，，且設(shè)夾角為，所以，而恒成立，所以，而，，所以平行四邊形的面積為，（3）因為D點在平面上，所以四點共面，所以共面，而由題意得，，，故存在，使得，所以，，，解得，故實數(shù)n的值為.19．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）構(gòu)造線線平行，證明線面平行.（2）通過證明，，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理證明線面垂直，可證面面垂直.（3）先作出直線與平面所成的角，然后用直角三角形中的邊角關(guān)系求角的正弦值.【