2024-2025學(xué)年河北省保定市曲陽(yáng)縣高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省保定市曲陽(yáng)縣高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，則點(diǎn)A關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．已知，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，4．兩條平行直線和間的距離為，則的值分別為（

）A． B．C． D．5．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．6．過(guò)點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（

）A． B． C． D．7．以下各組向量中的三個(gè)向量，不能構(gòu)成空間基底的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，8．點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是平面的一個(gè)法向量 B．四點(diǎn)共面C． D．10．已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在軸上的截距為 B．過(guò)定點(diǎn)C．若，則或 D．若，則11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（

）

A．三棱錐的體積是定值B．存在點(diǎn)P，使得與所成的角為C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D．若，則P的軌跡的長(zhǎng)度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則與夾角的余弦值為.13．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，.14．直線與直線相交于點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線分別恒過(guò)定點(diǎn)，則的最大值為四、解答題（本大題共5小題）15．已知點(diǎn)，，，設(shè)，，．(1)若實(shí)數(shù)使與垂直，求值．(2)求在上的投影向量．16．已知的三個(gè)頂點(diǎn)為.(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求邊上的中線所在直線的方程.17．已知平行六面體，底面是正方形，，，設(shè)．(1)試用表示；(2)求的長(zhǎng)度．18．已知直線：，：，且滿足，垂足為C.(1)求m的值及點(diǎn)C的坐標(biāo).(2)設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)A，直線與x軸交于點(diǎn)B，求的外接圓方程.19．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過(guò)作，交于，連.(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)在線段上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長(zhǎng).

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)性求解．【詳解】點(diǎn)A關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：B．2．【正確答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】由直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，可得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，有，又，所以.故選：C.3．【正確答案】B【分析】利用向量平行的充要條件列出關(guān)于x、y的方程組，解之即可求得x、y的值.【詳解】，，則，由，可得，解之得故選：B4．【正確答案】B【分析】由已知列出關(guān)系式，求出的值.然后根據(jù)兩條平行線之間的距離公式，即可求出的值.【詳解】由已知可得，，解得.代入化簡(jiǎn)可得，.根據(jù)兩條平行線之間的距離公式可得，.故選：B.5．【正確答案】B【分析】由空間向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B．6．【正確答案】B【分析】由題知直線的斜率，再根據(jù)斜率范圍求解傾斜角的范圍即可.【詳解】

設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，，，，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所?故選：B.7．【正確答案】A【分析】結(jié)合空間三個(gè)向量，，能構(gòu)成空間的基底，則向量，，不共面，逐一檢驗(yàn)即可.【詳解】若空間三個(gè)向量，，能構(gòu)成空間的基底，則向量，，不共面，反之亦然，對(duì)于A，由，，，得，即向量，，共面，不能構(gòu)成空間基底；對(duì)于B，令，則，不成立，即不共面，可構(gòu)成基底；對(duì)于C，令，則，即無(wú)解，即不共面，可構(gòu)成基底；對(duì)于D，令，則，即無(wú)解，即不共面，可構(gòu)成基底.故選：A8．【正確答案】A【分析】求出直線所過(guò)的定點(diǎn)，再確定最大值條件即可求解.【詳解】將直線變形得，由，解得，因此直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為，又直線的斜率，所以直線的方程為，即.故選：A

9．【正確答案】AD【分析】根據(jù)向量垂直，即可結(jié)合法向量定義求解A，根據(jù)共面定理即可求解B，根據(jù)向量共線即可求解C，由模長(zhǎng)公式即可求解D.【詳解】，所以平面，所以平面，所以是平面的一個(gè)法向量，故A正確；設(shè)，則，無(wú)解，所以四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：AD.10．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)直線截距的定義可判定A，由直線方程可求定點(diǎn)判定B，利用兩直線的位置關(guān)系可判定C、D.【詳解】由易知，故A正確；由，故B正確；若兩直線平行，則有且，解得，故C錯(cuò)誤；若兩直線垂直，則有，故D正確.故選：ABD11．【正確答案】ACD【分析】利用等體積轉(zhuǎn)換即可求得體積為定值判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得，，利用向量夾角公式求解判斷B；求平面的法向量，利用向量夾角公式求解判斷C；由，可得，即可求解判斷D.【詳解】對(duì)于A，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，是定值，A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，則對(duì)于B，，使得與所成的角滿足：，因?yàn)?，故，故，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為：，因?yàn)?，故故，而，，故即的取值范圍為，C正確；對(duì)于D，，由，可得，化簡(jiǎn)可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，則P的軌跡的長(zhǎng)度為，D正確；故選：ACD.12．【正確答案】/【分析】由空間向量的數(shù)量積公式求解即可．【詳解】，.故13．【正確答案】【分析】找到當(dāng)最小時(shí)P點(diǎn)所在的位置，再結(jié)合勾股定理可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓的圓心為，半徑為4，如圖所示：當(dāng)最小時(shí)，與圓M相切，連接，則，，而，由勾股定理得，所以當(dāng)最小時(shí)，.故答案為.14．【正確答案】4【分析】根據(jù)直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法求出兩直線恒過(guò)的定點(diǎn)，即的坐標(biāo)，根據(jù)直線的方程計(jì)算得出兩直線垂直，即，即可得出，即可根據(jù)基本不等式得出答案.【詳解】直線化為，當(dāng)，得，即直線恒過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)，直線化為，當(dāng)，得，即直線恒過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)，且兩條直線滿足,,即，,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最大值為4.故4.15．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出空間向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即得.（2）利用投影向量的定義求解即得.【詳解】（1）依題意，，，由與垂直，得，解得，所以.（2）由（1）知，，，所以在上的投影向量為.16．【正確答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的斜率，利用垂直關(guān)系求出高線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程；（2）根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出中點(diǎn)，再由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程.【詳解】（1）

因?yàn)榈娜齻€(gè)頂點(diǎn)為，所以直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以直線的方程為，化為一般式方程為；（2）因?yàn)?，所以的中點(diǎn)為，又因?yàn)?，所以直線的斜率為，所以直線的點(diǎn)斜式方程為，化為一般式為.17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量線性運(yùn)算，結(jié)合幾何體特征確定與的線性關(guān)系；（2）由（1），結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件求的長(zhǎng)度.【詳解】（1）.（2），，所以.所以.18．【正確答案】(1)，(2)．【分析】（1）根據(jù)題意，求得兩直線的斜率，結(jié)合，求得，得出直線的方程，聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo).（2）由（1）中的直線方程，求得，，得到的外接圓是以為直徑的圓，求得圓心坐標(biāo)和半徑，即可求解.【詳解】（1）解：顯然，可得，，由，可得，即，解得，所以直線：，直線：，聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)．（2）解：由直線：，直線：，可得，，所以的外接圓是以為直徑的圓，可得圓心，半徑，所以的外接圓方程是．19．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).(3).【分析】（1）由已知四邊形為矩形，證明，由條件根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值；（3）設(shè)，求，利用向量方法求直線與平面所成的角的正弦值，列