專題16三角恒等變換三角函數(shù)的應(yīng)用（知識(shí)精講）（原卷版）

專題十六三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)精講一知識(shí)結(jié)構(gòu)圖內(nèi)容考點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式求值、化簡(jiǎn)角的范圍三角函數(shù)圖象變換左右平移由圖象求函數(shù)的解析式五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合問(wèn)題公式運(yùn)用及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)二.學(xué)法指導(dǎo)1．解含非特殊角的三角函數(shù)式的求值問(wèn)題的一般思路是：(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，然后逆用公式求值．2.給值求值問(wèn)題的解題策略1已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值時(shí)，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角.2由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過(guò)程中可以根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角.常見(jiàn)角的變換有：①α＝α－β＋β；②eqα＝\f(α＋β,2)＋\f(α－β,2)； ③2α＝α＋β＋α－β；④2β＝α＋β－α－β.3．已知三角函數(shù)值求角的解題步驟1界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍.2求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù).3結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.4.輔助角公式及其運(yùn)用1公式形式：公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sinα＋φ或asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)cosα－φ將形如asinα＋bcosαa，b不同時(shí)為零的三角函數(shù)式收縮為同一個(gè)角的一種三角函數(shù)式.2形式選擇：化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求變形后角α的系數(shù)為正，這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì).5.公式T(α±β)的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律：(1)結(jié)構(gòu)特征：公式T(α±β)的右側(cè)為分式形式，其中分子為tanα與tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和．(2)符號(hào)規(guī)律：分子同，分母反．6．利用公式T(α＋β)求角的步驟：(1)計(jì)算待求角的正切值．(2)縮小待求角的范圍，特別注意隱含的信息．(3)根據(jù)角的范圍及三角函數(shù)值確定角．7.公式Tα±β的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換.如eqtan\f(π,4)＝1，tan\f(π,6)＝\f(\r(3),3)，tan\f(π,3)＝\r(3)等.要特別注意eqtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝\f(1＋tanα,1－tanα)，tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝\f(1－tanα,1＋tanα).8.證明三角恒等式的原則與步驟1觀察恒等式兩端的結(jié)構(gòu)形式，處理原則是從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，高次降低，復(fù)角化單角，如果兩端都比較復(fù)雜，就將兩端都化簡(jiǎn)，即采用“兩頭湊”的思想.2證明恒等式的一般步驟：①先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異；②本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則，設(shè)法消除差異，達(dá)到證明的目的.9.化簡(jiǎn)問(wèn)題中的“三變”(1)變角：三角變換時(shí)通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過(guò)拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．(2)變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切．(3)變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩?，如升冪、降冪、配方、開(kāi)方等．10.三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合問(wèn)題的解題策略：運(yùn)用三角函數(shù)的和、差、倍角公式將函數(shù)關(guān)系式化成y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式，借助輔助角公式化為y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k的形式，將ωx＋φ看作一個(gè)整體研究函數(shù)的性質(zhì).11.應(yīng)用三角函數(shù)解實(shí)際問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)1方法：解答此類問(wèn)題，關(guān)鍵是合理引入輔助角，確定各量之間的關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解.2注意：在求解過(guò)程中，要注意三點(diǎn)：①充分借助平面幾何性質(zhì)，尋找數(shù)量關(guān)系.②注意實(shí)際問(wèn)題中變量的范圍.③重視三角函數(shù)有界性的影響.12.由y＝sinx的圖象，通過(guò)變換可得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象，其變化途徑有兩條：(1)y＝sinxeq\o(→,\s\up15(相位變換))y＝sin(x＋φ)eq\o(→,\s\up15(周期變換))y＝sin(ωx＋φ)eq\o(→,\s\up15(振幅變換))y＝Asin(ωx＋φ)．(2)y＝sinxeq\o(→,\s\up15(周期變換))y＝sinωxeq\o(→,\s\up15(相位變換))y＝sineq\b\lc\[\rc\](ω\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋eq\f(φ,ω)))))＝sin(ωx＋φ)eq\o(→,\s\up15(振幅變換))y＝Asin(ωx＋φ)．13.確定函數(shù)y＝Asinωx＋φ的解析式的關(guān)鍵是φ的確定，常用方法有：1代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入此時(shí)A，ω已知或代入圖象與x軸的交點(diǎn)求解此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上.2五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))作為突破口.“五點(diǎn)”的ωx＋φ的值具體如下：,“第一點(diǎn)”即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)為ωx＋φ＝0；,“第二點(diǎn)”即圖象的“峰點(diǎn)”為ωx＋φ＝eq\f(π,2)；,“第三點(diǎn)”即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn)為ωx＋φ＝π；,“第四點(diǎn)”即圖象的“谷點(diǎn)”為ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；,“第五點(diǎn)”為ωx＋φ＝2π.14.正弦余弦型函數(shù)奇偶性的判斷方法正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)不一定具備奇偶性．對(duì)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)φ＝kπ±eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)于函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)φ＝kπ±eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù)．15．與正弦、余弦函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧(1)結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象，熟記它們的單調(diào)區(qū)間．(2)確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)單調(diào)區(qū)間的方法：采用“換元”法整體代換，將ωx＋φ看作一個(gè)整體，可令“z＝ωx＋φ”，即通過(guò)求y＝Asinz的單調(diào)區(qū)間而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若ω＜0，則可利用誘導(dǎo)公式先將x的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)，再求單調(diào)區(qū)間．16.解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟三.知識(shí)點(diǎn)貫通知識(shí)點(diǎn)1給角求值問(wèn)題公式：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βcos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βsin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βsin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βsin2α＝2sin_αcos_αcos2α＝cos2α－sin2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)例1.(1)coseq\f(13π,12)的值為()A.eq\f(\r(6)＋\r(2),4) B.eq\f(\r(6)－\r(2),4)C.eq\f(\r(2)－\r(6),4) D．－eq\f(\r(6)＋\r(2),4)](2)求值：cos75°cos15°－sin75°sin195°；(3)cos70°sin50°－cos200°sin40°的值為()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)(4)若θ是第二象限角且sinθ＝eq\f(5,13)，則cos(θ＋60°)＝________.(5)求值：(tan10°－eq\r(3))eq\f(cos10°,sin50°).（6）coseq\f(π,7)coseq\f(3π,7)coseq\f(5π,7)的值為()A.eq\f(1,4)B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,8)D．－eq\f(1,8)(7)求下列各式的值：①cos415°－sin415°；②eq\f(1－tan275°,tan75°)知識(shí)點(diǎn)二給值求值、求角問(wèn)題公式：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βcos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βsin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βsin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β例題2：(1)已知sinα－sinβ＝1－eq\f(\r(3),2)，cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，則cos(α－β)＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(12,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求cosα的值．（3）已知cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).求：①cos(2α－β)的值；②β的值．（4）已知銳角α，β滿足cosα＝eq\f(2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，求sinβ的值．（5）已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，eq\f(π,2)≤α＜eq\f(3π,2)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))的值；知識(shí)點(diǎn)三輔助角公式的應(yīng)用輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a)))例題3.(1)sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)＝________.(2)已知f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx，求函數(shù)f(x)的周期，值域，單調(diào)遞增區(qū)間．知識(shí)點(diǎn)四兩角和與差的正切公式的運(yùn)用兩角和與差的正切公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)例題4．(1)已知α，β均為銳角，tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，則α＋β＝________.(2)eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝________.(3)eq\f(1－\r(3)tan75°,\r(3)＋tan75°)＝________.知識(shí)點(diǎn)五恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合例5.已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求證：當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))時(shí)，f(x)≥－eq\f(1,2).知識(shí)點(diǎn)六三角函數(shù)圖象之間的變換1.φ對(duì)y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響2．ω(ω＞0)對(duì)y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響3．A(A＞0)對(duì)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響例6.(1)將函數(shù)y＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則所得圖象的解析式為_(kāi)_______．(2)將y＝sinx的圖象怎樣變換可得到函數(shù)y＝2sin（2x＋eq\f(π,4)）＋1的圖象？知識(shí)點(diǎn)七已知函數(shù)圖象求解析式例7.已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為()A．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4 B．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4C．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2 D．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2知識(shí)點(diǎn)八三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例8(1)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，且f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，無(wú)最大值，則ω＝()A.eq\f(2,3)B.eq\f(14,3)C.eq\f(26,3)D.eq\f(38,3)(2)已知函數(shù)f(x