第03講二項式定理精講

第03講二項式定理(精講）目錄第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：二項展開式的通項及其應(yīng)用角度1：求二項展開式的特定項（或系數(shù)）角度2：兩個二項式之積中特定項（或系數(shù)）問題角度3：三項展開式中特定項（或系數(shù)）問題題型二：二項式系數(shù)與各項的系數(shù)和問題角度1：二項式系數(shù)和與系數(shù)和角度2：展開式的逆應(yīng)用題型三：項式系數(shù)的性質(zhì)角度1:二項式系數(shù)最大問題角度2：系數(shù)最大問題第四部分：高考真題感悟第一部分：知第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：二項式定理（1）二項式定理一般地，對于每個（），的展開式中共有個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：（）.這個公式叫做二項式定理.（2）二項展開式公式中：，等號右邊的多項式叫做的二項展開式.（3）二項式系數(shù)與項的系數(shù)二項展開式中各項的二項式系數(shù)為(),項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,包含符號等.（4）二項展開式的通項二項展開式中的()叫做二項展開式的通項,用表示,即通項為展開式的第項:.通項體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.知識點二：二項式系數(shù)的性質(zhì)①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數(shù)相等：②增減性：當(dāng)時，二項式系數(shù)遞增，當(dāng)時，二項式系數(shù)遞減；③最大值：當(dāng)為奇數(shù)時，最中間兩項二項式系數(shù)最大；當(dāng)為偶數(shù)時，最中間一項的二項式系數(shù)最大.知識點三：各二項式系數(shù)和（1）展開式的各二項式系數(shù)和：；（2）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等：第二部分：課第二部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若的展開式中各項系數(shù)的和為256，則的值為（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】D【詳解】解：設(shè)，令得，解得．故選：D2．（2022·云南昆明·高二期中）已知，則（

）A．31 B．32 C．15 D．16【答案】A【詳解】逆用二項式定理得，即，所以n=5，所以．故選:A3．（2022·全國·高二單元測試）的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為________．【答案】512【詳解】的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為．故答案為：512．4．（2022·廣西貴港·高二期末（理））在展開式中，含的項的系數(shù)是__________．【答案】20【詳解】的展開式中的系數(shù)為，的展開式中的系數(shù)為，故在展開式中，含的項的系數(shù)為20．故答案為：205．（2022·廣東·南海中學(xué)高二階段練習(xí)）（1）已知的展開式中第2項與第5項的二項式系數(shù)相等，則__________.（2）__________.【答案】

5

21【詳解】（1）根據(jù)二項式定理可知，，所以；（2）根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)可知，，解得，又因為，所以，所以.故答案為：5；21第三部分：典第三部分：典型例題剖析題型一：二項展開式的通項及其應(yīng)用角度1：求二項展開式的特定項（或系數(shù)）典型例題例題1．（2022·四川廣安·模擬預(yù)測（理））在的展開式中，常數(shù)項為（

）A．60 B．60 C．240 D．240【答案】D【詳解】由題知，展開式中第項，令，得，所以展開式中常數(shù)項為.故選：D例題2．（2022·河北·唐山市第五中學(xué)高三開學(xué)考試）的二項展開式中第三項是（

）A． B．240 C． D．【答案】D【詳解】由題意可得的二項展開式中第三項是，故選：D同類題型歸類練1．（2022·云南紅河·高二期末）的展開式中的常數(shù)項為________（用數(shù)字作答）．【答案】135【詳解】的展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項為.故答案為：135.2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期中）求二項式展開式的第7項及含的項的系數(shù)．【答案】；．【詳解】解：二項式展開式的通項為所以展開式的第項為，令，所以，所以含的項的系數(shù)為．角度2：兩個二項式之積中特定項（或系數(shù)）問題典型例題例題1．（2022·廣東·石門高級中學(xué)高二階段練習(xí)）的展開式中的項系數(shù)為（

）A．30 B．10 C．30 D．10【答案】B【詳解】因為，的通項為：令，則，令，則，所以的系數(shù)為．故選：B.例題2．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高二期中）若的展開式中的系數(shù)為0，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為的展開式中的系數(shù)為，的系數(shù)為，所以的展開式中的系數(shù)為，由，得.故選：C.例題3．（2022·安徽·合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）的展開式中，含項的系數(shù)為（

）A．160 B．140 C．120 D．100【答案】A【詳解】的展開式中，含項為，故選：A例題4．（2022·福建福州·高二期末）在的展開式中，記項的系數(shù)為，則_____.【答案】75【詳解】的展開式中含的項為，含的項為，則，.故答案為：75.同類題型歸類練1．（2022·四川省資陽中學(xué)高二期末（理））展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C．20 D．40【答案】A【詳解】解：因為，其中展開式的通項為，所以展開式中的系數(shù)為.故選：A2．（2022·浙江舟山·高二期末）的展開式中的常數(shù)項為___________.【答案】【詳解】，對于，通項公式為，令，得r=3，；對于，通項公式為，不存在常數(shù)項；∴常數(shù)項為10；故答案為：10.3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知正整數(shù)，若的展開式中不含的項，則n=______．【答案】10【詳解】因為的展開式的通項為，所以展開式中的系數(shù)為，的系數(shù)為．又，所以若展開式中不含，則，由組合數(shù)的性質(zhì)以及，得．故答案為：4．（2022·福建省福州第二中學(xué)高二期末）的展開式中的系數(shù)為___________.【答案】【詳解】展開式的通項為：由于，所以當(dāng)當(dāng)時，，當(dāng)當(dāng)時，，所以的展開式中的項為，，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.角度3：三項展開式中特定項（或系數(shù)）問題典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）的展開式中，的系數(shù)是（

）A．120 B．120 C．60 D．30【答案】A【詳解】，展開式的第項為，令，可得第3項為，的展開式的第項為，令，可得第3項為，所以的展開式中，的系數(shù)是．故選：A．例題2．（2022·山東濟南·高二期末）的展開式中，所有不含的項的系數(shù)之和為（

）A．16 B．32 C．27 D．81【答案】D【詳解】解：展開式的通項公式為，若展開式中的項不含z，則，此時符合條件的項為展開式中的所有項，令，可得所有不含z的項的系數(shù)之和為，故選：D.例題3．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測（理））的展開式中的系數(shù)是___________（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】展開式通項為：；展開式通項為：；則當(dāng)，時，的系數(shù)為；當(dāng)，時，的系數(shù)為；當(dāng)，時，的系數(shù)為；當(dāng)，時，的系數(shù)為；的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.同類題型歸類練1．（2022·廣東·石門高級中學(xué)高二階段練習(xí)）在的展開式中，含項的系數(shù)為（

）A．21 B．15 C．9 D．6【答案】C【詳解】解：，可知含項的系數(shù)是．故選：C．2．（2022·廣東·中山一中高三階段練習(xí)）的展開式中，含項的系數(shù)為___________.【答案】【詳解】相乘的5項中，含的項只能由4個2與1個相乘所得，故含項的系數(shù)為.故答案為：3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）的展開式中的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）．【答案】4480【詳解】解：，其展開式的通項為，令，則，的通項為，令的系數(shù)為.所以的展開式中的系數(shù)是.故答案為：44804．（2022·上?！?fù)旦附中高二期末）在的展開式中，項的系數(shù)為___________.【答案】【詳解】由題設(shè)，展開式通項可寫為，而項中的指數(shù)為0，故項包含于，所以，則有.故答案為：題型二：二項式系數(shù)與各項的系數(shù)和問題角度1：二項式系數(shù)和與系數(shù)和典型例題例題1．（2022·河南河南·高二期末（理））的展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（

）．A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】C【詳解】解：的展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故選：C．例題2．（2022·重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）已知的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為256，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．70 B．70 C．40 D．30【答案】B【詳解】解：依題意可得，所以，則展開式的通項為，令，解得，所以展開式中常數(shù)項為；故選：B例題3．（2022·河北唐山·高二期中）已知的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是．(1)求展開式中各項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和；(2)求展開式中含的項．【答案】(1)二項式系數(shù)之和為，展開式中各項系數(shù)的和為1(2)(1)解：因為的展開式的通項為，所以第五項系數(shù)為，第三項系數(shù)為，則，解得或（舍），所以令可得展開式中各項系數(shù)的和為1，二項式系數(shù)和為；(2)解：二項式的通項公式為，令，則，所以展開式中含的項為．例題4．（2022·廣東茂名·高二期中）已知.求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)1(2)2187(3)1094(1)令，得(2)令，得由的展開式的通項為，知，，，為負(fù)數(shù)所以(3)由，得，所以例題5．（2022·江蘇宿遷·高二階段練習(xí)）在①只有第5項的二項式系數(shù)最大，②第4項與第6項的二項式系數(shù)相等，③奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128，這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題.已知，的展開式中，_________.(1)展開式中的第6項；(2)若.①求的值；②求的值.【答案】(1)選①②③答案一樣：(2)①0；②0(1)選①：只有第5項的二項式系數(shù)最大，即只有最大則，則展開式通項公式為，當(dāng)時，；選②：第4項與第6項的二項式系數(shù)相等，即，則，則展開式通項公式為，當(dāng)時，；選③：奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128，即，則則展開式通項公式為，當(dāng)時，；(2)①由第一問可知：，，令得：，令得：，所以②，求導(dǎo)得：，令得：同類題型歸類練1．（2022·上海中學(xué)東校高二期末）（1）設(shè)，求①展開式中各二項式系數(shù)的和；②的值．【答案】（1）①；②；（2）13或14【詳解】（1）①展開式中各二項式系數(shù)的和為；②令得：，令得：，所以，2．（2022·重慶市永川北山中學(xué)校高二期中）已知的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為16．(1)求的值及展開式中各項的系數(shù)之和；(2)求展開式中的常數(shù)項．【答案】(1)；展開式中各項的系數(shù)之和為81.(2)24(1)由題意知，,解得．在展開式中，令x＝1，得展開式中各項的系數(shù)之和為.(2)展開式的通項為令，得，所以.即展開式中的常數(shù)項為24．3．（2022·廣東·新會陳經(jīng)綸中學(xué)高二期中）設(shè)(2－x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10·x10，求下列各式的值.(1)求a0；(2)求(a0+a2+…+a10)2－(a1+a3+…+a9)2；(3)求二項式系數(shù)的和.【答案】(1)1024(2)1(3)1024(1)令x=0，得a0=210=1024.(2)令x=1，可得a0+a1+a2+…+a10=(2－)10，①令x=－1，可得a0－a1+a2－a3+…+a10=(2+)10.②結(jié)合①②可得，(a0+a2+…+a10)2－(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0－a1+a2－…+a10)=(2－)10×(2+)10=1.(3)二項式系數(shù)的和為++…+=210=1024.4．（2022·廣東·南海中學(xué)高二階段練習(xí)）.求：(1)；(2)；(3)；(4)展開式中二項式系數(shù)和以及偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；(5).【答案】(1)1(2)(3)(4)，(5)第1012項.(6)4044（1）令，得①.（2）令，得②.由①②得，.（3）相當(dāng)于求展開式的系數(shù)和，令，得.（4）展開式中二項式系數(shù)和是.展開式中偶數(shù)項的二項系數(shù)和是.（5）兩邊分別求導(dǎo)得：，令，得.5．（2022·重慶長壽·高二期末）二項式的展開式中，中間項的系數(shù)為160.(1)求的值；(2)求.【答案】(1)2；(2)729.(1)依題意，展開式的中間項為，因此，解得，所以的值是2.(2)由（1）知，顯然，均為負(fù)數(shù)，另4項的系數(shù)為正數(shù)，取，有，所以.6．（2022·河北邯鄲·高二階段練習(xí)）已知(1)求；(2)求.【答案】(1)255(2)32895(1)令，則.令，則，①故.(2)令，則，②①+②可得，故.7．（2022·北京石景山·高二期末）在的展開式中，二項式系數(shù)之和為_________；各項系數(shù)之和為_________．（用數(shù)字作答）【答案】

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256【詳解】在的展開式中，二項式系數(shù)之和為；令，，即各項系數(shù)和為.故答案為：①；②.8．（2022·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測）二項式的展開式中所有的二項式系數(shù)之和為64，則______，則展開式中含的項的系數(shù)為____________．【答案】

【詳解】解：由已知可得，解得，故的展開式的通項公式為，令，解得，則展開式中含項的系數(shù)為，故答案為：；．角度2：展開式的逆應(yīng)用典型例題例題1．（2022·云南昆明·高二期中）已知，則（

）A．31 B．32 C．15 D．16【答案】A【詳解】逆用二項式定理得，即，所以n=5，所以．故選:A例題2．（2022·遼寧·建平縣實驗中學(xué)高二期中）已知，則除以10所得的余數(shù)是（

）A．2 B．3 C．6 D．8【答案】D【詳解】解：，所以除以10的余數(shù)為8．故選：D．同類題型歸類練1．（2022·山東·臨沭縣教育和體育局高二期中）除以78的余數(shù)是（

）A． B．1 C． D．87【答案】B【詳解】因為所以，除了第一項之外，其余每一項都含有的倍數(shù)，所以原式除以的余數(shù)為1.故選:B．2．（2022·北京大興·高二期末）化簡等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，所以.故選：B3．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）數(shù)列中，，，的值為（

）A．761 B．697 C．518 D．454【答案】D【詳解】解：因為，又，所以以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則又，，所以，故選：D題型三：項式系數(shù)的性質(zhì)角度1:二項式系數(shù)最大問題典型例題例題1．（2022·山西·祁縣中學(xué)高二階段練習(xí)）展開式中二項式系數(shù)最大的項是（

）A． B． C．和 D．和【答案】C【詳解】展開式的通項公式為，因為展開式共有8項，所以第4項和第5項的二項式系數(shù)最大，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為和，即為和，故選：C例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的展開式中，第3項的系數(shù)與倒數(shù)第3項的系數(shù)之比為，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為第（

）項.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】的展開式通項為，第3項為，其系數(shù)為，倒數(shù)第3項為，其系數(shù)為，由題意，，所以，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為，即為展開式的第4項.故選：B.例題3．（2022·山西師范大學(xué)實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）在的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為（

）A．960 B．960 C．1120 D．1680【答案】C【詳解】因的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則有，解得，即的展開式共有9項，于是得展開式的第5項的二項式系數(shù)最大，，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為1120.故選：C例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)若，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題可知，，當(dāng)時，，的展開式中，通項為：，則常數(shù)項對應(yīng)的系數(shù)為：，即，得，所以，解得：，則展開式中二項式系數(shù)最大為：，則二項式系數(shù)最大的項為：故選：C．同類題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在的展開式中，只有第項的二項式系數(shù)最大，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【詳解】在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，即中間項項的二項式系數(shù)最大，即，解得：故選：C．2．（2022·廣東·廣州市禺山高級中學(xué)高二期中）設(shè)若，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題可知，，當(dāng)時，，的展開式中，通項公式為：，則常數(shù)項對應(yīng)的系數(shù)為：，即，得，所以，解得：，則展開式中二項式系數(shù)最大為：，則二項式系數(shù)最大的項為：.故選：A.3．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)三模）的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是___________.【答案】【詳解】解：因為的展開式有項，所以第項的二項式系數(shù)最大，所以的展開式中的二項式系數(shù)最大的項為.所以，的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是.故答案為：4．（2022·河北·高碑店市崇德實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）已知的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為，則展開式中最大的二項式系數(shù)值為______．【答案】【詳解】由題意，的展開式的通項為，所以展開式中第4項的系數(shù)為，倒數(shù)第4項的系數(shù)為，所以，即，得，所以展開式中最大的二項式系數(shù)值為或.故答案為：角度2：系數(shù)最大問題典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)，若，則展開式中系數(shù)最大的項是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得．又，所以，得，所以的展開式中系數(shù)最大的項