11集合的概念-2022-2023學年高一數學上學期講與練(人教A版2019)（原卷版）

1.1集合的概念一、元素與集合的概念及表示1、元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．2、集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．3、集合相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．二、元素的特性1、確定性給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．【注意】如果元素的界限不明確，即不能構成集合。例如：著名的科學家、比較高的人、好人、、很難的題目等2、互異性一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復出現的．簡記為“互異性”．利用集合中元素的特異性求參數：（1）集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是什么；（2）構成集合的元素必須是確定的(確定性)，且是互不相同的(互異性)，書寫時可以不考慮先后順序(無序性)．（3）利用集合元素的特性求參數問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據互異性對集合中元素進行檢驗，要注意分類討論思想的應用．3、無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．三、元素與集合的關系1、屬于與不屬于概念：（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．2、元素與集合關系的判斷方法：（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現即可．（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征．四、常用的數集及其記法名稱自然數集正整數集整數集有理數集實數集記法或五、列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．【注意】(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復．(4)集合中的元素可以是任何事物．六、描述法1、定義：一般地，設A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．2、用描述法表示集合（1）首先應弄清楚集合的屬性，是數集、點集還是其他的類型．一般地，數集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數對來表示．（2）若描述部分出現元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．（3）多層描述時，應當準確使用“且”和“或”，所有描述的內容都要寫在集合內．題型一判斷元素能否構成集合【例1】下面給出的四類對象中，構成集合的是（）A．某班視力較好的同學B．長壽的人C．的近似值D．倒數等于它本身的數【變式11】下列各對象可以組成集合的是（）A．與非常接近的全體實數B．北大附中云南實驗學校學年度第二學期全體高一學生C．高一年級視力比較好的同學D．高一年級很有才華的老師【變式12】面各組對象中不能形成集合的是（）A．所有的直角三角形B．一次函數C．高一年級中家離學校很遠的學生D．大于2的所有實數【變式13】給出下列表述：①聯合國常任理事國；②充分接近的實數的全體；③方程的實數根④全國著名的高等院校.以上能構成集合的是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②③④【變式14】下面能構成集合的是（）A．中國的小河流B．大于5小于11的偶數C．高一年級的優(yōu)秀學生D．某班級跑得快的學生題型二判斷元素與集合的關系【例2】下列關系中正確的個數是（）①，②，③，④A．B．C．D．【變式21】給出下列關系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正確的個數為（）A．1B．2C．3D．4【變式22】給出下列四個關系：π∈R，0?Q，0.7∈N，0∈?，其中正確的關系個數為（）A．4B．3C．2D．1【變式23】（多選）下列關系中，正確的是（）A．B．C．D．題型三利用元素的互異性求參數【例3】如果有一集合含有兩個元素：x，，則實數x的取值范圍是________．【變式31】已知集合A中含有兩個元素a和a2，若1∈A，則實數a＝________.【變式32】已知集合由，，組成，且，求__．【變式33】由，，a組成的集合含有元素2，則實數a的可能取值的個數是（）A．1個B．2個C．3個D．4個題型四用列舉法表示集合【例4】已知M是由1，2，3三個元素構成的集合，則集合M可表示為（）A．{x|x=1}B．{x|x=2}C．{1，2}D．{1，2，3}【變式41】設M為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，那么集合M等于（）A．{長江，黃河}B．{長江，黑龍江}C．{長江，珠江}D．{長江，黃河，黑龍江，珠江}【變式42】方程的所有實數根組成的集合為（）A．B．C．D．【變式43】方程組的解集是（）A．B．C．D．【變式44】（多選）下列集合中，可以表示為的是（）A．方程的解集B．最小的兩個質數C．大于1小于4的整數D．不等式組的整數解題型五用描述法表示集合【例5】用描述法表示下列集合：（1）比1大又比10小的實數組成的集合；（2）平面直角坐標系中第二象限內的點組成的集合；（3）被3除余數等于1的正整數組成的集合．【變式51】對集合{1，5，9，13，17}用描述法來表示，其中正確的是（）A．{x|是小于18的正奇數}B．C．D．【變式52】集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示為（）A．{x