25.4 相似三角形的判定 同步練習(xí)

第二十五章圖形的相似25.4相似三角形的判定基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似1.(2023河北張家口橋西期中)在判斷“有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形”是否相似時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)的觀點(diǎn)如下，甲：相似；乙：不相似.對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是()A.兩人都對(duì) B.兩人都不對(duì) C.甲對(duì)，乙不對(duì) D.甲不對(duì)，乙對(duì)2.如圖，E、F分別為矩形ABCD的邊AD、CD上的點(diǎn)，∠BEF=90°，則圖中①②③④四個(gè)三角形中，一定相似的是()A.①和② B.③和④ C.①和③ D.②和③3.如圖，△ABC中，CE⊥AB，垂足為E，BD⊥AC，垂足為D，CE與BD交于點(diǎn)F，則圖中與△BEF不相似的三角形是()A.△ABD B.△CDF C.△BCD D.△ACE4.(2022山東菏澤中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是邊AC上一點(diǎn)，且BE=BC，過點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長線于點(diǎn)D，求證：△ADE∽△ABC.知識(shí)點(diǎn)2兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似5.(2023河北邯鄲永年期中)如圖，已知∠DAB=∠CAE，添加下列條件后，仍不能判定△DAE∽△BAC的是()A.∠D=∠B B.∠E=∠C C.ADAB=6.在三角形紙片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，在下列各項(xiàng)中沿虛線剪下，能使陰影部分的三角形與△ABC相似的是() A B C D7.如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BD=2AD，CE=2AE.(1)求證：△ADE∽△ABC；(2)若DF=2，求FC的長度.知識(shí)點(diǎn)3三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似及直角三角形相似的判定8.(2023河北樂亭期中)如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個(gè)三角形是()A.①與② B.①與③ C.③與④ D.②與③9.在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，下列條件不能判定它們相似的是()A.∠A=∠B'B.AC=BC，A'C'=B'C'C.AB=3A'B'，BC=3B'C'D.△ABC中有兩邊長為3，4，△A'B'C'中有兩邊長為6，810.如圖，點(diǎn)O是△ABC外的一點(diǎn)，分別在射線OA，OB，OC上取點(diǎn)A'，B'，C'，使得OA'OA=OB'OB=OC'OC=3，連接A'B'，B'C'，A'C'，所得能力提升全練11.(2022江蘇揚(yáng)州中考)如圖，在△ABC中，AB<AC，將△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F.下列結(jié)論：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF=∠BAD，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 第11題圖 第12題圖12.(2022河北中考)如圖所示的是釘板示意圖，每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長為1個(gè)單位長度的小正方形頂點(diǎn)，釘點(diǎn)A，B的連線與釘點(diǎn)C，D的連線交于點(diǎn)E.(1)AB與CD是否垂直?(填“是”或“否”)

(2)AE=.

13.(2022江蘇鹽城中考)如圖，在△ABC與△A'B'C'中，點(diǎn)D、D'分別在邊BC、B'C'上，且△ACD∽△A'C'D'，若，則△ABD∽△A'B'D'.請(qǐng)從①BDCD=B'D'C'D'；②ABCD=A'B'C'D'；③∠BAD14.(2022江西中考)如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長線上，∠ACD=∠ABE.(1)求證：△ABC∽△AEB；(2)當(dāng)AB=6，AC=4時(shí)，求AE的長.素養(yǎng)探究全練15.探究：某學(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)O在邊BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO∶CO=1∶3，求AB的長. 圖1 圖2 圖3經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)B作BD∥AC，交AO的延長線于點(diǎn)D，如圖2所示，通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題.請(qǐng)你寫出求AB長的過程.應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC⊥AD，∠ABC=∠ACB=75°，BO∶OD=1∶3.若AO=33，請(qǐng)你求出AB的長.

第二十五章圖形的相似25.4相似三角形的判定基礎(chǔ)過關(guān)全練答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可知，有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似，∴甲的觀點(diǎn)對(duì)，乙的觀點(diǎn)不對(duì).2.B∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，∵∠BEF=90°，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF，∴△ABE∽△DEF，即③和④一定相似.3.C∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDA=∠BDC=∠CEA=∠CEB=90°.∵∠FBE=∠ABD，∴△FBE∽△ABD.∵∠BFE=∠CFD，∴△BFE∽△CFD，∴∠FCD=∠EBF，∴∠EBF=∠ACE，∴△BFE∽△CAE.綜上所述，題圖中與△BEF相似的三角形有△ABD、△CDF、△ACE.故選C.4.證明∵BE=BC，∴∠C=∠CEB，∵∠CEB=∠AED，∴∠C=∠AED，∵AD⊥BD，∴∠D=90°=∠ABC，∴△ADE∽△ABC.5.C∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，故添加A，B選項(xiàng)后可根據(jù)“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”判定△DAE∽△BAC.添加D選項(xiàng)后可根據(jù)“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”判定△DAE∽△BAC.只有添加C選項(xiàng)后無法證出△DAE∽△BAC.6.D∵三角形紙片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，∴D項(xiàng)中，2BC=24=1又∠B=∠B，∴由相似三角形的判定定理可知，沿虛線剪下的陰影部分的三角形與△ABC相似，故D選項(xiàng)符合題意.故選D.7.解析(1)證明：∵BD=2AD，CE=2AE，∴ADAB又∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC.(2)∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC，DEBC∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DFCF=DECB，即2CF8.B設(shè)網(wǎng)格中的小正方形的邊長均為1，題圖中圖形①的三邊長分別為2，10，2；圖形②的三邊長分別為3，5，2；圖形③的三邊長分別為2，22，25；圖形④的三邊長分別為3，2，17.∵222=22，1025=9.DA.利用“兩角對(duì)應(yīng)相等”，可判定相似；B.利用“兩邊成比例且夾角相等”，可判定相似；C.利用“兩個(gè)直角三角形直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例”，可判定相似；D.當(dāng)長為3，4的邊是Rt△ABC的兩直角邊，而長為6，8的邊是Rt△A'B'C'的一直角邊和斜邊時(shí)，兩個(gè)三角形不相似.故選D.10.解析△A'B'C'∽△ABC.證明：∵OA'OA=OC'OC=3，∠AOC∴△AOC∽△A'OC'，∴A'C'AC=同理B'C'BC=3，A'B'AB∴A'C'AC=B'C'BC=A'B'能力提升全練11.D∵將△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，AB=AD，∠E=∠C，∴∠B=∠ADB，∴∠ADE=∠ADB，∴DA平分∠BDE，∴②符合題意；∵∠AFE=∠DFC，∠E=∠C，∴△AFE∽△DFC，∴①符合題意；∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠FAE，∵△AFE∽△DFC，∴∠FAE=∠CDF，∴∠CDF=∠BAD，∴③符合題意.故選D.12.答案(1)是(2)4解析(1)如圖，在△ACM和△CFD中，AC∴△ACM≌△CFD(SAS)，∴∠CAM=∠FCD，∵∠CAM+∠CMA=90°，∴∠FCD+∠CMA=90°，∴∠CEM=90°，∴AB⊥CD.(2)在Rt△ABH中，AB=AH∵AC∥BD，∴△ACE∽△BDE，∴AEBE∴AE2∴AE=455.經(jīng)檢驗(yàn)，AE=45513.解析選③(也可選①，選擇的條件不同，下面的證法也不同).證明：∵△ACD∽△A'C'D'，∴∠ADC=∠A'D'C'，∴∠ADB=∠A'D'B'，又∵∠BAD=∠B'A'D'，∴△ABD∽△A'B'D'.14.解析(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ACD=∠BCA，∵∠ACD=∠ABE，∴∠BCA=∠ABE，∵∠BAC=∠EAB，∴△ABC∽△AEB.(2)∵△ABC∽△AEB，∴ABAE∵AB=6，AC=4，∴6AE∴AE=364=9素養(yǎng)探究全練15.解析探究：∵BD∥AC，∴∠ADB=∠OAC=75°，△BOD∽△COA，∴ODOA又∵AO=33，∴OD=13∴AD=AO+OD=43.∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，∴AB=AD=43.應(yīng)用：過點(diǎn)B作BE∥AD交AC于點(diǎn)E，如圖所示.∵AC⊥AD