2024-2025學年江西省萍鄉(xiāng)市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年江西省萍鄉(xiāng)市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷本試卷分和兩部分.第I卷1至2頁，第II卷5至6頁.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致.2.客觀題選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答案不能答在試卷上.主觀題用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答題無效.3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.第I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍為（）A B. C. D.2.設，，是非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.下圖是我國2018～2023年純電動汽車銷量統(tǒng)計情況，下列說法錯誤的是（）A.我國純電動汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢B.這六年銷量第60百分位數(shù)為536.5萬輛C.這六年增長率最大的為2019年至2020年D.2020年銷量高于這六年銷量的平均值4.直線過拋物線：的焦點，且與交于兩點，若使的直線恰有2條，則的取值范圍為（）A. B. C. D.5.已知橢圓的右焦點為，過且斜率為1的直線與交于兩點，若線段的中點在直線上，則的離心率為（）A. B. C. D.6.如圖，在平行四邊形中，為邊上異于端點的一點，且，則（）A. B. C. D.7.在平面直角坐標系內(nèi)，方程對應的曲線為橢圓，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.8.已知O為坐標原點，雙曲線C:的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，點是C的右支上異于頂點的一點，過F2作的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點T滿足，則點T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（）A. B. C. D.9.在中，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.10.已知雙曲線，則（）A.的取值范圍是B.時，的漸近線方程為C.的焦點坐標為D.可以是等軸雙曲線11.如圖，正方形中心與圓的圓心重合，是圓上的動點，則下列敘述正確的是（）A.是定值B.是定值C.是定值D.是定值12.直四棱柱的所有棱長都為4，，點在四邊形及其內(nèi)部運動，且滿足，則下列選項正確的是（）A.點的軌跡的長度為.B.直線與平面所成的角為定值．C.點到平面的距離的最小值為.D.最小值為-2．第II卷注意事項：第II卷共2頁，需用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，若在試題卷上作答，答題無效.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.13.已知雙曲線離心率分別為和，則的最小值為__________.14.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.15.法國數(shù)學家盧卡斯在研究一元二次方程的兩個根不同冪的和時，發(fā)現(xiàn)了，，…，由此推算______________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.16.如圖所示的五面體為直三棱柱截去一個三棱錐后的幾何體，，，D為的中點，E，F(xiàn)分別為，的中點.（1）判斷BF和CE是否垂直，并說明理由；（2）設（），是否存在，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.17.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的向上的點數(shù)分別記為，設表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，的值為隨機變量X.（1）求在的條件下，的概率；（2）求X的分布列及其數(shù)學期望.18.如左圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點E滿足.現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右圖所示.（1）求證：；（2）求異面直線與BE的距離；（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19.已知，，M是圓O：上任意一點，關(guān)于點M的對稱點為N，線段的垂直平分線與直線相交于點T，記點T的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設（）為曲線C上一點，不與x軸垂直的直線l與曲線C交于G，H兩點（異于E點）.若直線GE，HE的斜率之積為2，求證：直線l過定點.20.在幾何學常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：y=fx上的曲線段，其弧長為，當動點從A沿曲線段運動到B點時，A點的切線也隨著轉(zhuǎn)動到B點的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示y=fx在點A處的一階、二階導數(shù)）（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；（2）求橢圓在處曲率；（3）定義為曲線y=fx的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．2024-2025學年江西省萍鄉(xiāng)市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷本試卷分和兩部分.第I卷1至2頁，第II卷3至4頁.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致.2.客觀題選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答案不能答在試卷上.主觀題用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答題無效.3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.第I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先解出集合M，再由子集關(guān)系求解集合N即可.【詳解】由得，所以，因為，所以對恒成立，所以.故選：A.2.設，，是非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】分別判斷充分性和必要性成立情況得出結(jié)論.【詳解】若，則，；若，則，即“”是“”的必要而不充分條件；故選：B.3.下圖是我國2018～2023年純電動汽車銷量統(tǒng)計情況，下列說法錯誤的是（）A.我國純電動汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢B.這六年銷量第60百分位數(shù)為536.5萬輛C.這六年增長率最大的為2019年至2020年D.2020年銷量高于這六年銷量的平均值【正確答案】D【分析】根據(jù)條形圖，結(jié)合百分位數(shù)、平均數(shù)求法及各項描述判斷正誤即可.【詳解】A：由條形圖知，我國純電動汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢，對；B：由，故第60百分位數(shù)為2021年數(shù)據(jù)，為536.5萬輛，對；C：由圖知：2019年到2020年增長率超過了100%，其它都不超過100%，對；D：由，錯；故選：D4.直線過拋物線：的焦點，且與交于兩點，若使的直線恰有2條，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)拋物線方程可得通徑長，根據(jù)拋物線的焦點弦中通徑長最短可確定，由此可得所求范圍.【詳解】由拋物線方程知：拋物線焦點為，通徑長為，當垂直于軸時，兩點坐標為，此時，且，即拋物線的焦點弦中，通徑最短，所以.故選：A．5.已知橢圓的右焦點為，過且斜率為1的直線與交于兩點，若線段的中點在直線上，則的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】分別聯(lián)立直線和橢圓，利用的坐標相等建立齊次方程，求解離心率即可.【詳解】設Ax1,y1線段的中點是直線與直線的交點，聯(lián)立，解得，所以，另一方面，聯(lián)立，得.易知，由韋達定理得，解得，所以，故離心率，故D正確.故選：D.6.如圖，在平行四邊形中，為邊上異于端點的一點，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，利用共線定理設，表示出，，根據(jù)建立等式求解，分別求出各邊的長度，然后即可求解．【詳解】由，知為銳角，又因為，所以．設，即，．由，得，又，故．則，因此，即．在中，由正弦定理，以及，整理計算得．故選：B．7.在平面直角坐標系內(nèi)，方程對應的曲線為橢圓，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，分別將與代入方程解得交點坐標，即可得到，再由離心率的公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】易得該橢圓的對稱中心為，且關(guān)于直線對稱，將代入方程，解得兩交點的坐標為，，將代入方程，解得兩交點的坐標為，，所以該橢圓的長半軸長，短半軸長，所以半焦距，所以其離心率為.故選：C．8.已知O為坐標原點，雙曲線C:的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，點是C的右支上異于頂點的一點，過F2作的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點T滿足，則點T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合雙曲線的離心率，得雙曲線的方程及漸近線的方程，再設，由雙曲線的方程求點到兩條漸近線的距離之和.【詳解】設半焦距為c，延長交于點N，由于PM是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中點.根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點，所以MO是的中位線，所以，又雙曲線的離心率為，所以，，所以雙曲線C的方程為.所以，，雙曲線C的漸近線方程為，設，T到兩漸近線的距離之和為S，則，由，即，又T在上，則，即，解得，，由，故，即距離之和為.故選：A.由平面幾何知識，，依據(jù)雙曲線的定義，可將轉(zhuǎn)化為用a表示，進而的雙曲線的標準方程.9.在中，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先由已知條件結(jié)合整理得，，，再對進行弦化切，結(jié)合換元法、基本不等式、對勾函數(shù)性質(zhì)即可求解取值范圍.【詳解】由以及得，又由得，所以，且B，C均為銳角，即，，所以，因為，所以，設，因為，當且僅當時等號成立，所以，故由對勾函數(shù)性質(zhì)，則.故選：B.思路點睛：解三角形取值范圍問題通常結(jié)合使用輔助角利用三角函數(shù)有界性、一元二次函數(shù)單調(diào)性、基本不等式等求解.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.10.已知雙曲線，則（）A.的取值范圍是B.時，的漸近線方程為C.的焦點坐標為D.可以是等軸雙曲線【正確答案】ACD【分析】選項A，利用雙曲線的標準方程，即可求解；選項B，根據(jù)條件，利用求雙曲線漸近線的求法，即可求解；選項C，由選項A知焦點在軸上，再由，即可求解；選項D，利用等軸雙曲線的定義，即可求解.【詳解】對于選項A，因為表示雙曲線，所以，解得，所以選項A正確；對于選項B，當時，雙曲線方程為，其漸近線方程為，所以選項B錯誤；對于選項C，由選項A得0，所以焦點在軸上，設的半焦距為，則，解得，故其焦點坐標為，所以選項C正確；對于D，若為等軸雙曲線，則，解得，所以選項D正確，故選：ACD.11.如圖，正方形的中心與圓的圓心重合，是圓上的動點，則下列敘述正確的是（）A.是定值B.是定值C.是定值D.是定值【正確答案】ABD【分析】依題意建立以為原點的坐標系，設正方形邊長為，圓的半徑為，點坐標為，對選項中的表達式進行化簡可得選項ABD中的表達式可寫成只含有和的式子，結(jié)果為定值，而C選項中的結(jié)果最終含有，即與點位置有關(guān)，不是定值.【詳解】根據(jù)題意，以為坐標原點建立平面直角坐標系，如下圖所示：不妨設正方形邊長為，圓的半徑為，點坐標為；則可得，且；易知；所以對于A選項，，為定值，即A正確；對于B選項，，為定值，所以B正確；對于C選項，易知表達式中不能表示成只含有邊長和半徑的式子，即與有關(guān)，故其不是定值，所以C錯誤；對于D選項，，為定值，故D正確；故選：ABD關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵在于建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担瑢⑾蛄孔鴺嘶?，再由向量?shù)量積的坐標表示求解是否為定值.12.直四棱柱的所有棱長都為4，，點在四邊形及其內(nèi)部運動，且滿足，則下列選項正確的是（）A.點的軌跡的長度為.B.直線與平面所成的角為定值．C.點到平面的距離的最小值為.D.的最小值為-2．【正確答案】BC【分析】建立空間直角坐標系，表示，化簡后得點的軌跡方程，得軌跡長度判斷A；向量法求線面角判斷B，向量法求點到平面距離，結(jié)合點的軌跡得最小值判斷C；坐標表示向量數(shù)量積，結(jié)合點的軌跡最小值判斷D.【詳解】直四棱柱的所有棱長都為4，則底面為菱形，又，則和都是等邊三角形，設與相交于點，由，以為原點，為軸，為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則有，，點在四邊形及其內(nèi)部運動，設，，由，有，即，所以點的軌跡為平面內(nèi)，以為圓心，2為半徑的半圓弧，所以點的軌跡的長度為，A選項錯誤；平面的法向量為，，直線與平面所成的角為，則，又由，則，所以直線與平面所成的角為定值，B選項正確；，設平面的一個法向量為n=x,y,z，則有，令，得，，所以點到平面的距離，，所以時，，所以點到平面的距離的最小值為，C選項正確；，，其幾何意義為點到點0,4距離的平方減12，由，點到點0,4距離最小值，的最小值為，D選項錯誤.故選：BC.方法點睛：空間幾何體中的相關(guān)問題，要利用好幾何體本身的結(jié)構(gòu)特征，點線面的位置關(guān)系，圖形中的角度和距離等，建立空間直角坐標系，利用向量法解決問題，也是常用的方法.第II卷注意事項：第II卷共2頁，需用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，若在試題卷上作答，答題無效.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.13.已知雙曲線的離心率分別為和，則的最小值為__________.【正確答案】##1.5【分析】由雙曲線離心率公式結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】，，由題意得，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為.14.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.【正確答案】【分析】根據(jù)二項式展開式有關(guān)知識求得正確答案.【詳解】由于，所以的展開式中含的項為，所以的展開式中的系數(shù)為.故15.法國數(shù)學家盧卡斯在研究一元二次方程的兩個根不同冪的和時，發(fā)現(xiàn)了，，…，由此推算______________.【正確答案】123【分析】利用韋達定理及，可先計算立方和，再求五次方和，結(jié)合完全平方公式計算即可.【詳解】因為，，，，所以，所以，所以.故123四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.16.如圖所示的五面體為直三棱柱截去一個三棱錐后的幾何體，，，D為的中點，E，F(xiàn)分別為，的中點.（1）判斷BF和CE是否垂直，并說明理由；（2）設（），是否存在，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）BF和CE不垂直，理由見解析（2）存在實數(shù)【分析】（1）根據(jù)給定條件，以點C為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出即可判斷.（2）利用（1）中坐標系，平面PBF的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】BF和CE不垂直，理由如下：以點C為坐標原點，直線CA，CB，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，，，，，因為，所以BF和CE不垂直.【小問2詳解】假設存在使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為，由，得，顯然平面ABC的一個法向量為，，設平面PBF的法向量為，則，取，得，設平面ABC與平面PBF的夾角為，則，而，解得，所以存在實數(shù)，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為.17.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的向上的點數(shù)分別記為，設表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，的值為隨機變量X.（1）求在的條件下，的概率；（2）求X的分布列及其數(shù)學期望.【正確答案】（1）（2）分布列見解析，【分析】（1）列舉與的樣本點，利用條件概率公式計算即可；（2）根據(jù)離散型隨機變量的分布列與期望公式計算即可.【小問1詳解】記拋擲骰子的樣本點為，則樣本空間為，樣本空間容量為36，設事件A為：，事件B為：，則A為：{，，}，其包含的樣本點數(shù)為21，，其包含的樣本點數(shù)為14，根據(jù)條件概率得；【小問2詳解】隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，，所以其分布列為：X0123456P所以數(shù)學期望18.如左圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點E滿足.現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右圖所示.（1）求證：；（2）求異面直線與BE的距離；（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）在圖1中，連接CE，證明，，可證平面，即可得證；（2）過作垂線OM，交于M，則OM即異面直線與BE的距離，求出即可的解；（3）在圖2中延長BE，CD，設，連接AG，則是平面與平面的交線，由面面垂直得性質(zhì)可得平面，即可得，作，垂足為H，連接CH，證得，則即為平面與平面所成銳二面角的平面角，從而可得出答案.【小問1詳解】證明：在圖1中，連接CE，易求.∴四邊形ABCE為菱形.連接AC交BE于點O，則.∴在圖2中，，.又于O，∴平面.又平面，∴；【小問2詳解】解：由勾股定理可得，∴.過作的垂線OM，交于M，則OM即異面直線與BE的距離，；【小問3詳解】解：在圖2中延長BE，CD，設，連接AG.∵平面，平面.又平面，平面.∴是平面與平面的交線，∵平面平面BCDE，，平面平面，∴平面，又平面，∴，作，垂足為H，連接CH，又，∴平面OCH，又平面OCH，∴.∴即為平面與平面所成銳二面角的平面角.由（1）知，，為等邊三角形，∴，∵，∴，解得.在中，，∴.∴平面與平面所成銳二面角的余弦值.19.已知，，M是圓O：上任意一點，關(guān)于點M的對稱點為N，線段的垂直平分線與直線相交于點T，記點T的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設（）為曲線C上一點，不與x軸垂直的直線l與曲線C交于G，H兩點（異于E點）.若直線GE，HE的斜率之積為2，求證：直線l過定點.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）畫出圖形，結(jié)合題意由雙曲線的定義得到點的軌跡是以，為焦點的雙曲線，求出即可；（2）設直線l的方程為，，，直曲聯(lián)立，表示出韋達定理，然后得出斜率間關(guān)系，進而解出或，然后再求直線過定點即可.【小問1詳解】連接OM，