數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)論文范文-幾何概率問題探討

畢業(yè)論文學(xué)校：專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號：學(xué)生姓名：導(dǎo)師姓名：設(shè)計（論文）題目：幾何概率問題探討20XX年10月21日一、引言幾何概率作為概率論的一個關(guān)鍵分支，其核心在于分析幾何空間內(nèi)隨機(jī)事件的概率特性。這一理論不僅深入物理學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)等多個學(xué)科領(lǐng)域，而且對于解決現(xiàn)實世界中的復(fù)雜問題也具有重要意義。在量子力學(xué)領(lǐng)域，幾何概率用于刻畫粒子位置與動量的概率分布，揭示了微觀世界的不可預(yù)測性。而在統(tǒng)計物理中，幾何概率則用來描述系統(tǒng)微觀狀態(tài)的多樣性，進(jìn)而解釋宏觀現(xiàn)象。生物學(xué)研究中，幾何概率提供了描述生物種群空間分布和動態(tài)變化的工具，如生態(tài)學(xué)中物種的分布和數(shù)量變化，以及遺傳學(xué)中基因變異和重組的概率特征。工程學(xué)方面，幾何概率的應(yīng)用體現(xiàn)在對工程結(jié)構(gòu)安全性和可靠性的評估上，無論是結(jié)構(gòu)工程的強(qiáng)度和穩(wěn)定性分析，還是可靠性工程中對產(chǎn)品壽命和故障率的預(yù)測。社會科學(xué)同樣受益于幾何概率的理論支持，如在經(jīng)濟(jì)學(xué)中分析市場供需關(guān)系和價格波動，以及在心理學(xué)中探討人類行為和心理狀態(tài)的變化。幾何概率以其跨學(xué)科的適用性和強(qiáng)大的解釋力，成為現(xiàn)代科學(xué)不可或缺的一部分。幾何概率是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個重要的分支，它通過幾何方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象的概率分布。這種概率模型不僅為我們理解自然界的復(fù)雜性和不確定性提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，而且其應(yīng)用范圍廣泛，從基礎(chǔ)科學(xué)到工程技術(shù)，再到社會科學(xué)等多個領(lǐng)域都可見其身影。幾何概率的核心在于將問題轉(zhuǎn)化為幾何空間中的點集或區(qū)域，然后利用這些集合的幾何屬性來計算事件發(fā)生的概率。這種方法在處理諸如粒子運動、信號傳播、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞葐栴}時顯得尤為有效，因為它能夠直觀地揭示出問題的本質(zhì)特征。二、幾何概率基本理論（一）幾何概率定義與性質(zhì)幾何概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)工具，它以幾何空間為基礎(chǔ)，通過分析幾何量與隨機(jī)事件之間的關(guān)系來描述和分析隨機(jī)現(xiàn)象。這種模型的核心在于將幾何空間中的點視為隨機(jī)變量，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建概率模型。在幾何概率中，幾何空間通常被定義為具有特定形狀和大小的區(qū)域，可以是二維平面、三維立體或其他高維空間。這些空間內(nèi)的點可以通過坐標(biāo)系進(jìn)行定位，并通過距離和角度等幾何量來描述點與點之間的關(guān)系。當(dāng)我們在這樣的空間中考慮隨機(jī)事件時，我們關(guān)注的是這些事件在空間中發(fā)生的概率。為了量化這些概率，我們需要引入概率測度的概念。概率測度是一個函數(shù)，它將空間中的每個子區(qū)域映射到一個介于0和1之間的實數(shù)，表示該子區(qū)域內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的相對可能性。根據(jù)幾何概率的定義，如果一個點是在整個幾何空間內(nèi)隨機(jī)選擇的，那么該點落在某個子區(qū)域內(nèi)的概率與該子區(qū)域的體積（或面積、長度等）成正比，而與子區(qū)域的位置和形狀無關(guān)。幾何概率的一個重要性質(zhì)是可加性。這意味著如果兩個互不相交的子區(qū)域共同構(gòu)成了整個幾何空間，那么在這兩個子區(qū)域上發(fā)生的獨立隨機(jī)事件的總概率等于它們各自概率的和。此外，幾何概率還具有非負(fù)性，即任何隨機(jī)事件發(fā)生的概率都不會小于零。在實際應(yīng)用中，幾何概率的概念和方法被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域。例如，在物理學(xué)中，它可以用來描述粒子位置和動量的不確定性；在生物學(xué)中，它可以模擬基因突變和重組的概率特性；而在工程學(xué)中，它則可以用來評估結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性。幾何概率為我們提供了一種強(qiáng)有力的工具來描述和分析隨機(jī)現(xiàn)象。通過學(xué)習(xí)其定義、性質(zhì)和應(yīng)用，我們能夠更深入地理解現(xiàn)實世界中各種問題的本質(zhì)，從而找到有效的解決方案。（二）幾何概率計算方法幾何概率的計算是統(tǒng)計學(xué)和概率論中的一個重要分支，它涉及將現(xiàn)實世界的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，以量化和分析隨機(jī)現(xiàn)象。這種轉(zhuǎn)化通常涉及到將研究對象映射到幾何空間，并利用該空間內(nèi)的幾何屬性來描述隨機(jī)事件的概率。為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，研究人員會采用不同的策略。一種常見的方法是將研究區(qū)域劃分成多個較小的、易于管理的子區(qū)域，然后評估每個子區(qū)域內(nèi)發(fā)生特定事件的可能性。例如，在人口統(tǒng)計領(lǐng)域，可以將一個城市劃分為若干個網(wǎng)格單元，并統(tǒng)計每個單元內(nèi)的人口數(shù)，以此來估算不同地點的人口密度概率分布。另一種方法是使用積分和微分等數(shù)學(xué)工具。在這些方法中，概率被看作是與幾何量相關(guān)的連續(xù)函數(shù)，其期望值和方差等統(tǒng)計特征可以通過對這些函數(shù)的積分運算來確定。這種方法特別適用于連續(xù)型隨機(jī)變量，因為它能夠精確地描述這些變量的概率密度函數(shù)。除此之外，還有一些專門的幾何概率計算方法，比如蒙特卡洛方法和馬爾可夫鏈方法。蒙特卡洛方法通過隨機(jī)抽樣來估計隨機(jī)變量的期望值和方差，適合處理大規(guī)模和復(fù)雜的隨機(jī)問題。而馬爾可夫鏈方法則是通過構(gòu)建狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來描述隨機(jī)過程的動態(tài)變化，適用于處理具有時序特性的隨機(jī)問題。選擇哪種幾何概率計算方法取決于具體問題的特點和要求。通過靈活應(yīng)用這些方法，研究者能夠有效地解決各類隨機(jī)問題，并為決策提供科學(xué)依據(jù)。隨著科技的進(jìn)步和應(yīng)用領(lǐng)域的擴(kuò)展，幾何概率的計算方法也在不斷發(fā)展和完善，以適應(yīng)日益復(fù)雜多變的現(xiàn)實需求。（三）幾何概率在隨機(jī)過程中的應(yīng)用幾何概率作為數(shù)學(xué)的一個分支，其在隨機(jī)過程中的應(yīng)用是多方面的。它提供了一個直觀的框架來分析和描述隨機(jī)變量的動態(tài)變化和它們之間的相互關(guān)系。通過構(gòu)建幾何概率模型，我們能夠計算出隨機(jī)過程在不同時間點的概率分布，這有助于我們判斷該過程是否具有平穩(wěn)的統(tǒng)計特性。例如，在金融市場中，幾何概率可以用來分析股票價格的變化趨勢，從而幫助投資者作出更明智的投資決策。此外，幾何概率還允許我們量化隨機(jī)過程不同時間點之間的相關(guān)性。通過這種方式，我們可以預(yù)測未來時刻的隨機(jī)變量取值，這在許多領(lǐng)域都有實際應(yīng)用價值。例如，在氣象學(xué)中，幾何概率模型可以幫助科學(xué)家預(yù)測未來的天氣狀況，從而提高天氣預(yù)報的準(zhǔn)確性。在復(fù)雜系統(tǒng)中，幾何概率也被用來對狀態(tài)空間進(jìn)行劃分。通過對狀態(tài)空間進(jìn)行細(xì)分，我們可以更好地理解系統(tǒng)在不同狀態(tài)下的行為。例如，在交通流量分析中，幾何概率模型可以幫助城市規(guī)劃者了解城市交通網(wǎng)絡(luò)的運行狀況，從而制定更有效的交通管理策略。幾何概率在隨機(jī)過程中的另一個關(guān)鍵應(yīng)用是優(yōu)化問題。通過構(gòu)建幾何概率模型，我們可以評估不同策略下的預(yù)期結(jié)果，并據(jù)此做出最優(yōu)決策。例如，在供應(yīng)鏈管理中，幾何概率模型可以幫助企業(yè)確定最佳的庫存水平，以降低成本并提高客戶滿意度?？偠灾?，幾何概率在隨機(jī)過程中的應(yīng)用不僅有助于我們深入理解隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)，而且為解決實際問題提供了強(qiáng)有力的工具。無論是在自然科學(xué)、工程技術(shù)還是社會科學(xué)等領(lǐng)域，幾何概率都展現(xiàn)出了廣泛的應(yīng)用前景。三、幾何概率問題的分類與求解方法（一）幾何概率問題的分類幾何概率問題的分類是理解隨機(jī)現(xiàn)象的重要步驟，它幫助我們根據(jù)問題的特性選擇恰當(dāng)?shù)那蠼夥椒?，提升解題效率和準(zhǔn)確性。從一維到高維的幾何概率問題，涵蓋了一系列不同復(fù)雜度的事件，如直線上的隨機(jī)點、平面內(nèi)的隨機(jī)選擇、立體空間的隨機(jī)分布以及更高維度的隨機(jī)事件。這些問題的解決依賴于對事件發(fā)生位置、區(qū)域、體積或高維體積的分析，并利用概率密度函數(shù)來描述和計算概率。連續(xù)型和離散型幾何概率問題則進(jìn)一步區(qū)分了隨機(jī)變量的性質(zhì)。連續(xù)型問題需要借助積分和微分等數(shù)學(xué)工具處理無限可分的概率分布，而離散型問題則通過枚舉有限的可能結(jié)果來計算概率。這種分類不僅有助于深入理解幾何概率理論，還指導(dǎo)我們在實際問題中如何運用相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具和方法。無論是哪種類型的幾何概率問題，關(guān)鍵在于識別其特征并采用合適的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述。通過這種方式，我們能夠精確地量化和分析各種隨機(jī)現(xiàn)象，無論是在科學(xué)研究、工程實踐還是日常生活中都發(fā)揮著重要作用。因此，掌握幾何概率問題的分類及其對應(yīng)的求解策略，對于培養(yǎng)解決實際問題的能力至關(guān)重要。（二）幾何概率問題的求解方法幾何概率問題的求解方法多樣，旨在針對不同的隨機(jī)現(xiàn)象提供有效的解決方案。解析法通過建立數(shù)學(xué)模型，利用已知的幾何屬性和概率公式來推導(dǎo)問題的答案。例如，在二維平面上，如果已知一個圓的半徑和圓周上的一個隨機(jī)點的位置，我們可以通過解析法計算出這個點到圓心的距離小于半徑的概率。這種方法的優(yōu)點是計算結(jié)果精確，且易于理解和驗證。對于復(fù)雜的幾何概率問題，解析法可能難以奏效。此時，數(shù)值法就顯得尤為重要。數(shù)值法通過將連續(xù)的幾何空間離散化成有限個小的單元，然后利用計算機(jī)程序進(jìn)行迭代計算，最終得出問題的近似解。這種方法在處理高維空間和復(fù)雜邊界條件的問題時表現(xiàn)出色，盡管可能需要更多的計算資源和較長的時間。模擬法也是解決幾何概率問題的重要手段。模擬法通過構(gòu)建一個與原問題相似的實驗?zāi)Ｐ?，然后通過多次實驗來估計原問題的概率。這種方法在無法獲得精確數(shù)學(xué)模型的情況下非常有用，尤其是在工程和物理領(lǐng)域。在實際應(yīng)用中，選擇哪種求解方法取決于問題的性質(zhì)和可用資源。有時，甚至需要將多種方法結(jié)合起來使用，以達(dá)到最佳的效果。無論采用何種方法，關(guān)鍵在于理解問題的本質(zhì)，選擇合適的工具，并確保結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。（三）幾何概率問題的數(shù)值解法幾何概率問題的數(shù)值解法是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的一種有效手段，尤其適用于傳統(tǒng)解析方法難以處理的場景。該方法的核心在于將連續(xù)的幾何空間細(xì)分為多個小單元，并在這些單元上應(yīng)用概率規(guī)則。這一過程將連續(xù)的概率分布轉(zhuǎn)換為可計算的離散形式，進(jìn)而利用計算機(jī)技術(shù)實現(xiàn)高效運算。在實施數(shù)值解法時，關(guān)鍵步驟包括劃分研究區(qū)域為若干小塊，并為每塊分配概率權(quán)重。接下來，通過隨機(jī)抽樣或確定性算法選取代表性樣本點。最終，通過對所有樣本點的分布情況進(jìn)行統(tǒng)計分析，估算出原始問題的概率分布。數(shù)值解法的顯著優(yōu)勢在于其適應(yīng)性強(qiáng)和高計算性能。它可以應(yīng)對多變的幾何形態(tài)和復(fù)雜的邊界條件，且易于拓展至多維空間。隨著計算機(jī)軟硬件技術(shù)的進(jìn)步，數(shù)值解法的計算效率和精確度持續(xù)提升。盡管如此，數(shù)值解法也存在局限。由于其本質(zhì)上是基于離散化處理，在處理涉及連續(xù)性的問題時可能會產(chǎn)生誤差。對于需要精確解析解的情況，數(shù)值解法可能無法滿足所需的精度水平。在實際應(yīng)用中，選擇適當(dāng)?shù)那蠼獠呗孕杩紤]問題的特性和可用資源。在某些情況下，結(jié)合多種方法可能是達(dá)到最優(yōu)效果的有效途徑。關(guān)鍵在于深入理解問題本質(zhì)，選用合適的工具，并確保所得結(jié)果的準(zhǔn)確性和可信度。四、幾何概率問題應(yīng)用實例分析（一）幾何概率在物理學(xué)中的應(yīng)用幾何概率是數(shù)學(xué)的一個分支，它研究的是具有某種幾何結(jié)構(gòu)的隨機(jī)現(xiàn)象的概率問題。在物理學(xué)中，幾何概率的應(yīng)用非常廣泛，尤其是在量子力學(xué)和統(tǒng)計物理等領(lǐng)域。在量子力學(xué)中，海森堡的不確定性原理指出，粒子的位置和動量不能同時被精確測量。這個原理與幾何概率的概念密切相關(guān)，因為波函數(shù)模平方的幾何分布在空間中給出了粒子出現(xiàn)的概率密度。這意味著我們可以通過分析波函數(shù)的分布來預(yù)測粒子在特定位置出現(xiàn)的相對可能性。在統(tǒng)計物理中，幾何概率被用來描述大量粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)。例如，在理想氣體模型中，分子在容器內(nèi)的位置和速度可以被視為隨機(jī)變量，它們的分布遵循特定的幾何概率規(guī)律。通過分析這些分布，物理學(xué)家能夠推斷出系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)，如溫度和壓力等。除了量子力學(xué)和統(tǒng)計物理外，幾何概率還在其他物理學(xué)領(lǐng)域有所應(yīng)用。在光學(xué)中，衍射和干涉等現(xiàn)象可以用幾何概率來解釋；在熱力學(xué)中，熵的概念與幾何概率有著內(nèi)在聯(lián)系；而在宇宙學(xué)中，幾何概率被用來描述宇宙大尺度結(jié)構(gòu)的形成和演化。幾何概率為物理學(xué)家提供了一種有力的工具，用以理解和描述自然界中的隨機(jī)現(xiàn)象。通過深入探究幾何概率在物理學(xué)中的應(yīng)用，我們不僅能夠增進(jìn)對基本物理過程的理解，還能夠為解決現(xiàn)實世界中的問題提供新的思路和方法。（二）幾何概率在生物學(xué)中的應(yīng)用幾何概率是數(shù)學(xué)的一個分支，它在生物學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在遺傳學(xué)中，這一概念用于分析基因突變的概率特性。例如，在DNA復(fù)制過程中，堿基對的錯誤配對可能導(dǎo)致基因突變。通過幾何概率模型，科學(xué)家可以計算出特定堿基對發(fā)生錯誤配對的概率，從而預(yù)測基因突變的頻率和影響。此外，幾何概率還被應(yīng)用于生態(tài)學(xué)，以描述物種在生態(tài)系統(tǒng)中的分布和動態(tài)變化。在森林生態(tài)系統(tǒng)中，樹木的生長和死亡受到多種隨機(jī)因素的影響，如病蟲害、氣候變化等。通過構(gòu)建幾何概率模型，研究人員可以分析這些隨機(jī)因素對森林結(jié)構(gòu)的影響，進(jìn)而制定更有效的森林管理和保護(hù)策略。在神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域，幾何概率同樣發(fā)揮著重要作用。它被用來研究神經(jīng)元之間的連接模式和信息傳遞。在大腦皮層中，神經(jīng)元之間的連接形成一個復(fù)雜的幾何網(wǎng)絡(luò)。通過分析這個網(wǎng)絡(luò)的幾何特性，科學(xué)家可以揭示大腦處理信息的機(jī)制，為理解認(rèn)知和行為的生物學(xué)基礎(chǔ)提供新的視角。幾何概率的這些應(yīng)用不僅幫助我們深入理解生物系統(tǒng)的運作機(jī)制，還為解決生物多樣性保護(hù)、生態(tài)系統(tǒng)管理和公共衛(wèi)生等領(lǐng)域的問題提供了科學(xué)依據(jù)。隨著生物技術(shù)的發(fā)展和大數(shù)據(jù)時代的到來，幾何概率在生物學(xué)中的應(yīng)用前景將更加廣闊。（三）幾何概率在工程學(xué)中的應(yīng)用幾何概率是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個分支，它在工程學(xué)領(lǐng)域扮演著關(guān)鍵角色。特別是在結(jié)構(gòu)工程中，幾何概率被用來精確地評估建筑物的穩(wěn)定性和安全性。通過深入分析建筑物在不同荷載條件下的行為模式，工程師能夠計算出結(jié)構(gòu)失效的概率，并據(jù)此采取相應(yīng)的加固措施，確保建筑物在預(yù)期使用年限內(nèi)的安全性能。在可靠性工程方面，幾何概率同樣發(fā)揮著重要作用。通過對產(chǎn)品設(shè)計和制造過程中的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，工程師能預(yù)測產(chǎn)品的使用壽命和故障率，進(jìn)而優(yōu)化產(chǎn)品設(shè)計，提升產(chǎn)品的整體可靠性和用戶的滿意度。這種基于數(shù)據(jù)的決策過程不僅提高了產(chǎn)品質(zhì)量，也降低了因產(chǎn)品缺陷導(dǎo)致的風(fēng)險。此外，幾何概率在交通運輸工程中也顯示出其價值。通過對交通流量和路線選擇的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，工程師能夠設(shè)計出更為高效的交通網(wǎng)絡(luò)，有效緩解交通擁堵，提高整個運輸系統(tǒng)的效率。而在環(huán)境工程領(lǐng)域，幾何概率則被用來評估環(huán)境污染的風(fēng)險，通過統(tǒng)計分析污染物排放和擴(kuò)散情況，制定出更加科學(xué)合理的污染控制策略，以保護(hù)環(huán)境和公共健康。總而言之，幾何概率作為一門強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，其在工程學(xué)中的廣泛應(yīng)用不僅促進(jìn)了工程項目經(jīng)濟(jì)效益的提升，還確保了工程的安全性和對環(huán)境的友好性，為現(xiàn)代工程實踐提供了堅實的理論基礎(chǔ)和技術(shù)支持。（四）幾何概率在社會科學(xué)研究中的應(yīng)用幾何概率作為數(shù)學(xué)的一個分支，其在社會科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用日益凸顯。在城市規(guī)劃領(lǐng)域，這一理論工具被用來模擬和分析人口流動模式，從而指導(dǎo)城市的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)和公共服務(wù)布局。例如，通過建立幾何概率模型，研究人員能夠預(yù)測在不同政策影響下的人口遷移趨勢，為城市管理者提供數(shù)據(jù)支持，確保資源的有效分配。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，幾何概率同樣扮演著關(guān)鍵角色。它被用來解析市場供需變化以及價格波動，進(jìn)而幫助企業(yè)制定相應(yīng)的生產(chǎn)與定價戰(zhàn)略。通過對歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，經(jīng)濟(jì)學(xué)家利用幾何概率模型預(yù)測商品價格走勢，為企業(yè)決策層提供有價值的參考信息。在心理學(xué)的研究中，幾何概率揭示了人類行為和心理狀態(tài)的復(fù)雜性。認(rèn)知心理學(xué)家運用該方法探索個體在不同環(huán)境下的決策過程，試圖揭示思維模式的規(guī)律性。同時，社會心理學(xué)家用幾何概率模型研究集體行為和社交網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)變化，旨在理解社會互動中的心理因素。幾何概率的這些應(yīng)用不僅加深了我們對社會現(xiàn)象的理解，而且為解決實際問題提供了科學(xué)的依據(jù)。隨著大數(shù)據(jù)時代的來臨，幾何概率在社會科學(xué)研究中的作用將愈加顯著，其潛力巨大，有望為未來的學(xué)術(shù)研究和實際應(yīng)用帶來更多創(chuàng)新和突破。五、結(jié)束語幾何概率作為數(shù)學(xué)的一個分支，其跨學(xué)科的影響力日益凸顯。這一理論框架不僅為物理學(xué)家提供了解釋微觀粒子運動規(guī)律和大尺度宇宙結(jié)構(gòu)的工具，同樣也為生物學(xué)家解析基因表達(dá)模式與生態(tài)系統(tǒng)動態(tài)變化提供了數(shù)學(xué)支持。在工程學(xué)領(lǐng)域，幾何概率的應(yīng)用顯著提高了結(jié)構(gòu)設(shè)計的可靠性和安全性，而其在社會科學(xué)中的應(yīng)用則揭示了人類行為和心理狀態(tài)的復(fù)雜特性，為政策制定者提供了決策依據(jù)。盡管如此，幾何概率的研究和應(yīng)用仍面臨諸多挑戰(zhàn)。處理高維問題時的計算復(fù)雜度以及提升計算效率和精度的需求是亟待解決的問題。這些挑戰(zhàn)需要學(xué)術(shù)界和產(chǎn)業(yè)界的共同努力，通過創(chuàng)新算法和計算方法來克服。未來，隨著科技的進(jìn)步和大數(shù)據(jù)時代的到來，我們有理由相信幾何概率將扮演更加重要的角色。無論是基礎(chǔ)科學(xué)研究還是實際應(yīng)用開發(fā)，幾何概率都將為我們帶來更深層次的認(rèn)識和更為高效的解決方案。因此，對于幾何概率的持續(xù)學(xué)習(xí)和深入研究顯得尤為重要，這將為我們在面對未來挑戰(zhàn)時提供堅實的理論基礎(chǔ)和豐富的實踐智慧。參考文獻(xiàn)[1]趙江甫.R~n中超平面偶與特殊凸體相交的幾何概率問題[J].廈門理工學(xué)院學(xué)報,2020,28(01):89-95.[2]陳笑天.怎樣運用數(shù)學(xué)思想解答幾何概率問題[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)(高中版中旬),2018,(0