《數(shù)學（下冊）（第二版）》 課件 第２章　導數(shù)與微分

導數(shù)與微分第2章75目錄2.1導數(shù)的概念2.2導數(shù)的運算法則2.3微分及應用76教學要求：1.通過對實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內涵.2.通過函數(shù)圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義；知道函數(shù)可導與連續(xù)的關系.3.會利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單的函數(shù)的導數(shù).4.掌握復合函數(shù)的求導法，會求復合函數(shù)的導數(shù).5.掌握隱函數(shù)求導的方法，了解參數(shù)方程的求導法.6.了解高階導數(shù)的定義和二階導數(shù)的力學意義，會求函數(shù)的二階導數(shù).7.了解微分的定義及幾何意義，會求函數(shù)的微分，能利用微分解決一些簡單的近似計算問題.771.1導數(shù)的概念78導數(shù)的概念函數(shù)在某一點處的導數(shù)設函數(shù)y＝f（x）在點x0的某鄰域內有定義，當自變量x在點x0處有增量Δx時，函數(shù)y有增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），如果極限存在，則稱函數(shù)y＝f（x）在點x0處可導，并稱此極限值為函數(shù)y＝f（x）在點x0

處的導數(shù)，記作f′（x0）或

或

，即79如果上述極限不存在，則稱函數(shù)y＝f（x）在點x0

處不可導．函數(shù)增量與自變量增量之比

是函數(shù)在Δx區(qū)間上的平均變化率，而導數(shù)f′（x0）則是函數(shù)y＝f（x）在點x0處的瞬時變化率，它反映了函數(shù)y＝f（x）在點x0處變化的快慢程度．根據導數(shù)的定義，實例考察中的兩個實例用導數(shù)的概念可表述如下：（1）變速直線運動的物體在時刻t0的瞬時速度，就是位移s＝s（t）在t0

處對時間t的導數(shù)，即80（2）在直角坐標系中，曲線y＝f（x）在點A（x0，y0）處的切線斜率，就是縱坐標y＝f（x）在點x0處對橫坐標x的導數(shù)，即函數(shù)y＝f（x）在點x0處的導數(shù)f′（x0）也可表示為81函數(shù)在某一點處的左、右導數(shù)若比值

在點x0處的左極限存在，則稱此極限值為f（x）在點x0處左導數(shù)，記為f′－（x0）．若比值在點x0處的右極限存在，則稱此極限值為f（x）在點x0處右導數(shù)，記為f′＋（x0

）．函數(shù)y＝f（x）在點x0處可導的充分必要條件是f（x）在該點的左、右導數(shù)都存在且相等．82函數(shù)的導數(shù)如果函數(shù)y＝f（x）在開區(qū)間（a，b）內的每一點處都可導，則稱函數(shù)y＝f（x）在（a，b）內可導．這時，對于（a，b）內的每一個確定的x，都對應著唯一確定的函數(shù)值f′（x），于是就確定了一個新的函數(shù)，這個新的函數(shù)稱為函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，記作f′（x）或y′或

，且顯然，函數(shù)y＝f（x）在點x0處的導數(shù)f′（x0）就是導數(shù)f′（x）在點x＝x0處的函數(shù)值，即83導數(shù)的幾何意義由切線問題的討論及導數(shù)的定義可以知道，函數(shù)y＝f（x）在點x0處的導數(shù)f′（x0）在幾何上表示曲線y＝f（x）在點A（x0，f（x0））處的切線的斜率，即k＝tanα＝f′（x0）．84過切點A（x0，f（x0））且垂直于切線的直線稱為曲線y＝f（x）在點A（x0，f（x0））處的法線．如果f′（x0）存在，則曲線y＝f（x）在點A處的切線方程為y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），法線方程為85可導與連續(xù)的關系定理如果函數(shù)y＝f（x）在點x0處可導，則函數(shù)y＝f（x）在點x0處連續(xù)．證明函數(shù)y＝f（x）在點x0處可導，即存在，其中Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），得到所以，函數(shù)y＝f（x）在點x0處連續(xù)．值得注意的是，即使函數(shù)y＝f（x）在點x0處連續(xù)，函數(shù)y＝f（x）在點x0處也不一定可導．862.2導數(shù)的運算法則87函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設函數(shù)u＝u（x）與v＝v（x）在點x處均可導．下面我們來考察它們的和y＝u（x）＋v（x）在點x處的導數(shù)．當自變量在x處有增量Δx時，函數(shù)u＝u（x），v＝v（x）及y＝u（x）＋v（x）相應地分別有增量Δu，Δv，Δy．因為Δy＝[u（x＋Δx）＋v（x＋Δx）]－[u（x）＋v（x）]

＝[u（x＋Δx）－u（x）]＋[v（x＋Δx）－v（x）]

＝Δu＋Δv，88所以由于函數(shù)u＝u（x）與v＝v（x）在點x處均可導，即因此，有y′＝u′＋v′，這表明函數(shù)y＝u（x）＋v（x）在點x處也可導，即（u＋v）′＝u′＋v′．實際上，我們也可推出它們的差、積、商（當分母不等于0時）在點x處可導．8990復合函數(shù)的求導法則利用函數(shù)的四則運算的求導法則和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，可以來求一些簡單的函數(shù)的導數(shù)，對于復合函數(shù)的求導問題，我們有如下重要的求導法則．91復合函數(shù)求導的關鍵在于首先把復合函數(shù)分解成初等函數(shù)，然后運用復合函數(shù)的求導法則和適當?shù)膶?shù)公式進行計算．注意求導之后應該把引入的中間變量代換成原來的自變量．對復合函數(shù)分解比較熟練后，就不必再寫出中間變量，只要明確中間變量所對應的函數(shù)表達式，運用復合函數(shù)的求導法則，逐層求導．復合函數(shù)求導法可推廣到兩個以上中間變量的情形．92三個求導方法隱函數(shù)求導法我們此前遇到的函數(shù)都是用y＝f（x）這樣的形式來表示，例如，y＝x3－cosx，y＝ln3x等，這種方式表示的函數(shù)稱為顯函數(shù)．但有些函數(shù)不是以顯函數(shù)的形式出現(xiàn)的，例如，ex－ey＝xy，x－y＝siny等，這些二元方程也可以表示一個函數(shù)，這樣的函數(shù)叫作隱函數(shù)．求隱函數(shù)的導數(shù)，并不需要先把隱函數(shù)化為顯函數(shù)（事實上，有些隱函數(shù)是不能顯函數(shù)化的），而是可以利用復合函數(shù)的求導法則，將二元方程的兩邊同時對x求導，并注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，就可直接求出隱函數(shù)的導數(shù)y′．93至此，我們已經把基本初等函數(shù)的導數(shù)公式全部推導出，為了方便查閱，匯總如下．94對數(shù)求導法在求導運算中，常會遇到這樣兩類函數(shù)的求導問題，一是冪指函數(shù)y＝[f（x）]g（x），二是由一系列函數(shù)的乘、除、乘方、開方所構成的函數(shù)．對這樣的函數(shù)，可先對等式兩邊取自然對數(shù)，把函數(shù)變成隱函數(shù)的形式，然后利用隱函數(shù)求導法求出結果．95參數(shù)方程求導法在平面解析幾何中，我們學過參數(shù)方程，它的一般形式為一般地，上述方程組確定的y與x之間的函數(shù)關系稱為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)y＝f（x）．例如，已經學過的一種橢圓的參數(shù)方程就確定了y與x之間的函數(shù)關系，這個函數(shù)通過參數(shù)t聯(lián)系起來．96現(xiàn)在來求由參數(shù)方程（t為參數(shù)，t∈I）所確定的函數(shù)y對x的導數(shù)，直接消去t有時會很難，事實上，根據復合函數(shù)求導法則可知97高階導數(shù)設物體做變速直線運動，它的位移函數(shù)為s＝s（t），則它的瞬時速度為v＝s′（t）．此時，若速度v仍是時間的函數(shù)，我們可以求速度v＝v（t）對時間t的導數(shù)（即速度對時間的變化率），得到物體的瞬時加速度a＝v′（t）＝[s′（t）]′，它是位移函數(shù)的導數(shù)的導數(shù)．這種導數(shù)的導數(shù)稱為s＝s（t）對時間t的二階導數(shù)．98類似地，如果函數(shù)y＝f（x）的二階導數(shù)y″的導數(shù)存在，這個導數(shù)就稱為函數(shù)y＝f（x）的三階導數(shù)，記作y

?或f

?（x）或一般地，如果函數(shù)y＝f（x）的n－1階導數(shù)的導數(shù)存在，這個導數(shù)就稱為函數(shù)y＝f（x）的n階導數(shù)，記作y（n）或f（n）（x）或二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)，相應地，稱y′＝f′（x）為一階導數(shù)．992.３微分及應用100微分的概念函數(shù)的微分的定義設函數(shù)y＝f（x）在點x處可導，則f′（x）＝，由無窮小與函數(shù)極限的關系可知，于是Δy＝f′（x）Δx＋αΔx．上式表明，當f′（x）≠0時，函數(shù)的增量可以分成兩部分：一部分是f′（x）Δx，它是Δy的主要部分，且是Δx的線性函數(shù)，我們把它稱為Δy的線性主部；另一部分是αΔx，當Δx→0時，它是比Δx高階的無窮?。援敠很小時，可以忽略不計，即Δy≈f′（x）Δx．101一般地，我們給出下面的定義．通常把自變量的增量Δx稱為自變量的微分，記作dx，因此，函數(shù)y＝f（x）的微分又可記為dy＝f

′（x）dx．102從而有上式表明，函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于函數(shù)的導數(shù)，因此導數(shù)又叫作微商．在前面我們把

當作一個整體的記號，現(xiàn)在有了微分的概念，

就可以看作是一個分式．從微分的定義可以看出可導與微分之間存在聯(lián)系，一元函數(shù)在某點處可導等價于在某點處可微，把可導函數(shù)也稱為可微函數(shù)．103微分的幾何意義設函數(shù)y＝f（x）的圖像如圖所示，過曲線y＝f（x）上一點M（x，y）作切線MT，設MT的傾斜角為α，由導數(shù)的幾何意義tanα＝f′（x）．當自變量x有增量Δx時，切線MT的縱坐標相應也有增量QP＝tanαΔx＝f′（x）Δx＝dy．104因此，微分dy＝f′（x）Δx圖形上表示當x有增量時，曲線y＝f（x）在對應點M（x，y）處的切線的縱坐標的增量．用dy近似代替Δy，就是用點M處的切線縱坐標的增量QP近似代替曲線y＝f（x）的縱坐標的增量QN，且丨Δy－dy丨＝PN，當Δx→０時，丨Δy－dy丨是比Δx高階的無窮小．105微分公式與微分的運算法則由函數(shù)微分的定義dy＝f′（x）dx可知，要計算函數(shù)的微分，只需要求出函數(shù)的導數(shù)，再乘以自變量的微分就可以了．因此，由導數(shù)的基本公式和運算法則可以直接推出微分的基本公式和運算法則．微分的基本公式106函數(shù)的和、差、積、商的微分法則設函數(shù)u＝u（x）與v＝v（x）在點x處均可微，則有（1）d（u±v）＝du±dv；（2）d（uv）＝vdu＋udv，特別地，d（Cu）＝Cdu（C為常數(shù)）；（3）

（v≠0），特別地，107復合函數(shù)的微分由復合函數(shù)的求導法則，可以得到復合函數(shù)的微分法則．設y＝f（u），u＝φ（x）均可微，則復合函數(shù)y＝f（φ（x））也可微（u為中間變量），且復合函數(shù)y＝f（φ（x））的微分為dy＝f′（u）φ′（x）dx＝f′（φ（x））φ′（x）dx．由于φ′（x）dx＝d（φ（x））＝du，所以，復合函數(shù)y＝f（φ（x））的微分也可以寫成dy＝f′（u）du．從上式的形式來看，它與y＝f（u）（u為自變量）的微分dy＝f′（u）du形式一樣．這個性質稱為微分形式的不變性．也就是說，不管u是自變量還是中間變量，函數(shù)y＝f（u）的微分形式總可以用dy＝f′（u）du來統(tǒng)一表示．利用這一性質可直接求一些復合函數(shù)的微分