上海市靜安區(qū)新中高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

新中高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上期中考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:_________姓名：_________班級(jí)：__________考號(hào)：___________一、填空題（共10題，每題4分，共40分）1．已知m//α，n?α，則直線m、n的位置關(guān)系為.（填平行、相交、異面）2.已知a向量=-m，6，33.在長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?中,F是DC的中點(diǎn),設(shè)AA用a、b、c4.已知向量a=1，-1，05．如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B則點(diǎn)A1到棱BC的距離是6．已知圓錐的底面半徑為3，沿該圓錐的母線把側(cè)面展開(kāi)后可得到圓心角為2π3的扇形，則該圓錐的高為.7．已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長(zhǎng)都為2，則此四棱錐體積為.8．如圖，已知一個(gè)半徑為2的半圓面剪去了一個(gè)等腰三角形ABC，將剩余部分繞著直徑AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為.9．如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=8液面恰好過(guò)AC，BC，A1C10．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣，芻，草也，甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，其中四邊形ABCD為矩形，EF//AB，若13AB=12AD=EF，△ADE和△BCF都是正三角形，所成角的余弦值為.

二、單選題（共3題，每題4分，共12分）11．已知空間向量a=2，1，0，b=A．12b B．12a C．12．如圖是一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，則球的體積與圓柱的體積之比為（

）A．23 B．23 C．34 D13．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）

若D1Q//平面A1PDB．不存在Q點(diǎn)，使得D1Q⊥C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱CC1上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐D．若D1Q=62三、解答題（共4題，共48分）14．（本題滿分8分）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C圓柱的體積是2π，底面直徑與圓柱的高相等．（1）求圓柱的側(cè)面積；（2）求三棱柱ABC-A15．（本題滿分8分）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C點(diǎn)G在CD上，且CG=14CD．（1）求EF與C（2）求點(diǎn)E到平面AB1C16．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且PB=6點(diǎn)O、Q分別為棱CD、PB的中點(diǎn)，且（1）證明：OQ//平面PAD；（2）求二面角P-AD-Q的大小.17．（本題滿分20分）如圖，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，BC=12AD=2，∠A=60°，E點(diǎn)O，F(xiàn)分別為BE，DE的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面A

（1）求證：BE⊥平面A1OC；（2）求直線A1（3）側(cè)棱A1C上是否存在點(diǎn)P，使得BP//平面A1新中高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上期中考試數(shù)學(xué)試卷解析學(xué)校:_________姓名：_________班級(jí)：__________考號(hào)：___________一、填空題（共10題，每題4分，共40分）1．已知m//α，n?α，則直線m、n的位置關(guān)系為平行或異面.（填平行、相交、異面）1．平行或異面【分析】利用線面平行的定義直接判斷即可.【詳解】由m//α，得直線m與平面α無(wú)公共點(diǎn)，而n?α，因此直線m,n沒(méi)有公共點(diǎn)，所以直線m、n的位置關(guān)系為平行或異面.故答案為：平行或異面.2.已知a向量=-m，6，33.在長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?中,F是DC的中點(diǎn),設(shè)AA用a、b、c表示A1F=-4.已知向量a=1，-1，0，b=5．如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B則點(diǎn)A1到棱BC的距離是5cm5．5【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直性質(zhì)以及點(diǎn)線距離定義，可得答案.【詳解】連結(jié)A1B，如圖：在長(zhǎng)方體ABCD-A1BA1B?平面ABB1A1，所以A1在矩形ABB1A1中，A6．已知圓錐的底面半徑為3，沿該圓錐的母線把側(cè)面展開(kāi)后可得到圓心角為2π3的扇形，則該圓錐的高為6．62【分析】設(shè)圓錐的母線為l，高為h，根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)求出l可得.【詳解】設(shè)圓錐的母線為l，高為h，底面半徑r=3，扇形的半徑為l.由已知可得AB的長(zhǎng)為2πr=6π，又∠AOB=2π3所以圓錐的高h(yuǎn)=l2-r7．已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長(zhǎng)都為2，則此四棱錐體積為.7．423【分析】求出四棱錐的高，即可得到此四棱錐體積【詳解】設(shè)底面正方形兩條對(duì)角線相交于O點(diǎn)，由題可得，PO⊥底面ABCD，在Rt△AOP中,∵AO=2AC=22，AP=2∴PO=AP2故VP-ABCD=13×SABCD公式法：對(duì)于規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題，直接利用公式即可破解；切割法：對(duì)于不規(guī)則的幾何體，可以將其分割成規(guī)則的幾何體，再利用公式分別求解之后進(jìn)行相加求和即可；補(bǔ)形法：同樣對(duì)于不規(guī)則的幾何體，還可以將其補(bǔ)形成規(guī)則圖形，求出規(guī)則幾何體的體積后減去多于部分即可求解，但需注意的是補(bǔ)形后多于部分的幾何體也應(yīng)該是規(guī)則的，若不是規(guī)則的，此方法不建議使用；等體積法：一個(gè)幾何體無(wú)論怎樣變化，其體積是不會(huì)發(fā)生變化的.如果遇到一個(gè)幾何他的底面面積和高較難求解時(shí)，常常采用此種方法進(jìn)行解題.8．如圖，已知一個(gè)半徑為2的半圓面剪去了一個(gè)等腰三角形ABC，將剩余部分繞著直徑AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為.8．16π求得結(jié)果.【詳解】由題，△ABC為等腰直角三角形，作CO⊥AB于點(diǎn)O，如圖，則△ABC繞著直徑AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為兩個(gè)全等的圓錐AO和BO，由半徑為2可得圓錐底面圓半徑為CO=2，圓錐的高為2，則圓錐AO的體積為V1半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成半徑為2的球體，其體積為V2因此剩余部分所形成的幾何體的體積為V=V2-29．如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=8液面恰好過(guò)AC，BC，A1C9．6【分析】根據(jù)題意，當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，水的形狀為四棱柱形，由已知條件求出水的體積；當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，故水的體積可以用三角形的面積直接表示出，計(jì)算即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形，設(shè)△ABC的面積為S，則S梯形＝34S，水的體積V水＝34S×AA1＝6S，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，則有V水＝Sh＝故h＝6.【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)是棱柱的體積計(jì)算，考查用體積公式來(lái)求高，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣，芻，草也，甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，其中四邊形ABCD為矩形，EF//AB，若13AB=12G為AD的中點(diǎn)，則異面直線GE與CF所成角的余弦值為.36【分析】取BC中點(diǎn)M，連接FM，GM，易證AD⊥平面EFMG再由等邊三角形可知四邊形EFMG為等腰梯形，高為2，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可得異面直線夾角余弦值.【詳解】如圖所示，設(shè)EF=1，取BC中點(diǎn)M，連接FM，GM，則GM//AB，又∵EF//AB，∴EF//GM，又∵△ADE為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，∴AD⊥EG，∵GM∩EG=G，且GM，EG?平面EFMG，∴AD⊥平面EFMG，易知△ADE?△BCF，則EG=FM=3，∴四邊形EFMG為等腰梯形，高為2，在平面EFMG內(nèi)，過(guò)點(diǎn)G作GM以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則G0,0,0，EC-1,3,0，F(xiàn)0,2,2，即GE=即異面直線GE與CF的夾角余弦值為36，故答案為：3二、單選題（共3題，每題4分，共12分）11．已知空間向量a=2，1，0，b=A．12b B．12a C．11．C【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求a?b,【詳解】因?yàn)閍=2，1，b=12+02+-1如圖是一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，則球的體積與圓柱的體積之比為（

）A．23 B．23 C．34 12．B【分析】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)球、圓柱的體積公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，所以球的體積V球圓柱的體積V圓柱=πR2×2R=2πR如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1CQ為正方形BB1C1若D1Q//平面A1PDB．不存在Q點(diǎn)，使得D1Q⊥C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱CC1上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐D．若D1Q=6213．D【分析】利用線面平行與面面平行的判定定理與性質(zhì)定理判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面A1PD的法向量，從而利用線面垂直的向量表示可判斷B；利用空間向量法求得點(diǎn)Q到平面A1PD的距離關(guān)于x,z的表達(dá)式，分類(lèi)討論x+z的取值范圍求得三棱錐Q-A1PD的體積，從而判斷進(jìn)而求其長(zhǎng)度判斷D.【詳解】選項(xiàng)A，分別取B1C1,CC

由PF與B1C1，A1D1平行且相等得平行四邊形A1又D1F?平面A1DP，A1P?平面A1DP，所以D1F//平面A1DP，同理EF//平面A1DP，又EF∩D1F=F,EF,D1F?平面D1EF，所以平面故A正確；選項(xiàng)B，以D1為原點(diǎn)，D1A1,設(shè)Qx,1,z0≤x,z≤1，則A1D=-1,0,1,A1P=0,1,12,D1Q=x,1,z，設(shè)m使得D1Q=λm，則x=λ1=-λ2z=λ使得D1Q⊥平面A1選項(xiàng)C，△A1PD面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q到平面A又A1Q=x-1,1,z，則Q到平面A1PD的距離為則當(dāng)x+z=0時(shí)，d有最大值1；當(dāng)32≤x+z≤2時(shí)，d=23x+z-3綜上，當(dāng)x+z=0時(shí)，d取得最大值1，即Q與C1重合時(shí)，d取得最大值，三棱錐Q-A1選項(xiàng)D，D1C1⊥平面BB1C所以Q點(diǎn)軌跡是以C1為圓心，22為半徑的圓弧，圓心角是π2，則其軌跡長(zhǎng)度為14×2π三、解答題（共4題，共48分）14．（本題滿分8分）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C圓柱的體積是2π，底面直徑與圓柱的高相等．（1）求圓柱的側(cè)面積；（2）求三棱柱ABC-A（1）4π；（2）2【分析】（1）根據(jù)圓柱的體積可求得半徑為r=1，代入側(cè)面積公式可得結(jié)果；（2）求出三棱柱底面△ABC的面積，再由體積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)底面圓的直徑為2r，則其高也為2r；由題可知，圓柱的體積V=πr2?2r=2（2）因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，底面圓的半徑為1，因此邊長(zhǎng)AB=AC=2，所以三棱柱ABC-A1B（本題滿分8分）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AE、F分別為DD1、BD的中點(diǎn)，點(diǎn)（1）求EF與C1G所成角的余弦值；（2）求點(diǎn)E到平面AB15．（1）5117；（2）.【分析】（1向量的坐標(biāo)運(yùn)算，由EF?B1C【詳解】（1）證明：以DA，DC，DD1所在直線分別為x則根據(jù)題意可得：E∴∴cos?EF，GC1?=EF?∴EF與CG所成角的余弦值為5117（2）∵由三垂線定理得：BD1⊥平面AB1C，∴平面AB1∵AE=-1，0，12，∴點(diǎn)E到平面AB1（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且PB=6BC，點(diǎn)O、Q分別為棱CD、（1）證明：OQ//平面PAD；（2）求二面角P-AD-Q的大小.16．（1）證明見(jiàn)解析；（2）π4.【分析】（1）取PA中點(diǎn)G，連接GQ,GD可證OQ//DG，進(jìn)而OQ//平面PAD；（2）根據(jù)已知可證OQ⊥平面ABCD，取AB中點(diǎn)E，以O(shè)E,OC,OQ所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，由兩平面夾角的向量公式可解.【詳解】（1）取PA中點(diǎn)G，連接GQ,GD∴點(diǎn)Q為PB中點(diǎn)，∴GQ//AB,GQ=12AB，∵O為CD中點(diǎn)，∴DO//AB,DO=12AB，∴GQ//OD,GQ=OD∴四邊形∴OQ//DG,∵OQ?平面PAD,GD?平面PAD，∴OQ//平面（2）∵DQ⊥平面PBC,BC?平面PBC∴DQ⊥BC，又∵底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴DC⊥BC,∵DQ∩DC=D,DQ?平面DCQ，DC?平面DCQ，∴BC⊥平面DCQ，∵OQ?平面DCQ,∴BC⊥OQ.又∵CQ?平面DCQ,∴BC⊥CQ.∵PB=26,∴QB=6,∵BC=2,∴QC=2，∵∵O為CD中點(diǎn)，∴OQ⊥DC，又∵BC⊥OQ,DC∩BC=C,DC?平面ABCD，BC?平面ABCD，∴OQ⊥平面ABCD，取AB中點(diǎn)E，以O(shè)E,OC,OQ所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則O0,0,0所以AP=設(shè)平面PAD法向量為m=x,y,z設(shè)平面QAD法向量為n=x1∴n=0,1,-1，cos結(jié)合圖形可知二面角P-AD-Q為銳角，所以二面角P-AD-Q的大小為π417．（本題滿分20分）如圖，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，BC=12AD=2，∠A=60°，E點(diǎn)O，F(xiàn)分別為BE，DE的中點(diǎn)，將△ABE沿BE