微積分 第3版 課件 第五章 不定積分

例5.1不定積分的概念和性質(zhì)第五章不定積分定義5.1

如果在區(qū)間I上,則稱或上的一個(gè)原函數(shù).是

的一個(gè)原函數(shù)定理5.1

(原函數(shù)存在定理)如果函數(shù)區(qū)間I上連續(xù),即連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).

存在可導(dǎo)函數(shù)那么在區(qū)間I上都有使得關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明(1)若

(2)若

和

都是

的原函數(shù),則(C為常數(shù)

)都是

的原函數(shù).則對(duì)于任意常數(shù)C,(C為常數(shù)

)因所以積分變量積分常數(shù)被積函數(shù)定義5.2

被積表達(dá)式則

f(x)的全部原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為函數(shù)

f(x)的不定積分.記為積分號(hào)例5.1

求解解例5.2

求練習(xí)

求.解例5.3

設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)

且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為由題意所求曲線方程為由曲線通過(guò)點(diǎn)即

是2x的一個(gè)原函數(shù).顯然,求不定積分得到一積分曲線族.練習(xí)

求積分解函數(shù)

的原函數(shù)的圖形,稱為

的積分曲線.不定積分基本公式:

由求導(dǎo)公式可得出,結(jié)論:微分運(yùn)算與不定積分是廣義的“互逆”運(yùn)算.性質(zhì)5.1

性質(zhì)5.2

證因所以例5.4

求不定積分解練習(xí)

求不定積分解解原式練習(xí)

求不定積分解原式例5.5

求不定積分解原式例5.6

求不定積分解說(shuō)明:被積函數(shù)往往需要先進(jìn)行恒等變形,再使用基本積分表.例5.7

求不定積分解原式練習(xí)

求不定積分解原式練習(xí)

求不定積分解原式練習(xí)求不定積分解原式練習(xí)求不定積分問(wèn)題5.2換元積分法第一換元法也稱“湊微分法”.則定理5.2(不定積分的第一類換元積分法)如果存在,

解原式例5.8

計(jì)算練習(xí)

計(jì)算解1解2解3類似地可得解原式例5.9

計(jì)算解原式原式解練習(xí)

計(jì)算練習(xí)

計(jì)算解原式例5.10

求不定積分類似地可得解練習(xí)

計(jì)算解原式練習(xí)

求不定積分解原式練習(xí)

計(jì)算解說(shuō)明:

當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí),拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分.練習(xí)

計(jì)算練習(xí)

求解解原式例5.12

求解例5.13

計(jì)算原式解例5.14

計(jì)算解原式例5.15

計(jì)算解1例5.16

計(jì)算解2類似地可得解原式練習(xí)

計(jì)算解練習(xí)

計(jì)算解練習(xí)計(jì)算解練習(xí)

設(shè)

求令所以常見(jiàn)湊微分類型自測(cè)題練習(xí)并且有

則定理5.3(不定積分的第二類換元積分法)第二換元積分法的基本思路:可作適當(dāng)變換

化為不定積分計(jì)算積分后,得再將代入.若積分不易計(jì)算,例5.17

求解令例5.18

求解令則例5.19

求解令說(shuō)明(1)以上幾例所使用的均為三角代換,三角代換的目的是去掉根式.一般規(guī)律如下:可令可令可令當(dāng)被積函數(shù)中含有例5.20

求解令說(shuō)明(2)當(dāng)分母的次數(shù)較高時(shí),可采用倒代換例5.21

求令解積分表做如下補(bǔ)充(其中常數(shù)a>0)利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則分部積分公式5.3分部積分法設(shè)函數(shù)

具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),等式兩邊取不定積分解例5.22計(jì)算例5.23

計(jì)算解解例5.24計(jì)算解練習(xí)

計(jì)算例5.25

求積分解解練習(xí)

計(jì)算解練習(xí)

計(jì)算解練習(xí)

計(jì)算解練習(xí)

計(jì)算解例5.26已知

是的原函數(shù),求因所以曾用換元積分做過(guò),現(xiàn)可用分部積分做!

前面例題中所求的不定積分,都得到了原函數(shù)的解析表達(dá)式,因而都是初等函數(shù).5.4

有理函數(shù)的不定積分

但有相當(dāng)多的初等函數(shù)雖然存在原函數(shù),原函數(shù)卻不是初等函數(shù).例如

等不定積分都“積不出來(lái)”.兩個(gè)多項(xiàng)式之商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù).即其中

m、n都是非負(fù)整數(shù);及都是實(shí)數(shù),并且

下面我們介紹簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分.假定分子與分母之間沒(méi)有公因式.稱為有理真分式；稱為有理假分式.

利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和.例如,難點(diǎn):將有理函數(shù)化為部分分式之和.(1)分母中若有因式

則可以分解為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律:特殊地：分解后為其中都是待定系數(shù).(2)分母中若有因式，其中則可以分解為特殊地：分解后為其中都是待定系數(shù).真分式化為部分分式之和的方法為待定系數(shù)法.任意有理真分式的不定積分都?xì)w納為下列其中A,B,a,p,q都為常數(shù),分別討論上述幾種類型的不定積分.并且四種典型部分分式的積分之和.k為大于1的正整數(shù).用遞推公式綜上所述,所有有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).

例5.27

計(jì)算

解比較等式兩端x項(xiàng)系數(shù)得代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將

值代入解例5.28

計(jì)算

故整理得解例5.29

計(jì)算

故所以常見(jiàn)類型解決方法

作代換去掉根號(hào).

某些無(wú)理函數(shù)的積分,通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,可以化為有理函數(shù)的積分.

分別令解

令例5.30

計(jì)算

解

令原式=例5.31

計(jì)算

解

令例5.32

計(jì)算

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求解解例12

求原式解例13

求原式解例14

求解1原式例15求解2設(shè)原式解3原式解原式例