第三節(jié)-系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

第二章

系統(tǒng)的數(shù)學模型第三節(jié)

傳遞函數(shù)

一、傳遞函數(shù)的定義1.定義傳遞函數(shù)是線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。

設線性定常系統(tǒng)的微分方程為：

2.關于傳遞函數(shù)的幾點說明傳遞函數(shù)是在拉氏變換的基礎上導出的，而拉氏變換是一種線性積分變換，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。傳遞函數(shù)是描述系統(tǒng)動態(tài)特性的一種數(shù)學模型，但它是在系統(tǒng)工作在某個相對靜止狀態(tài)時得出的。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律。傳遞函數(shù)只表示輸出量與輸入量的關系，是一種函數(shù)關系。這種函數(shù)關系由系統(tǒng)的結構和參數(shù)所決定，與輸入信號和輸出信號無關。一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關系，所以只適用與單輸入單輸出系統(tǒng)的描述，而且系統(tǒng)內部的中間變量的變化情況，一個傳遞函數(shù)也無法全面反映。

⑤傳遞函數(shù)可以寫成零極點表達式一般地，零點和極點可以為實數(shù)或復數(shù)。若為復數(shù)，必共軛成對地出現(xiàn)，這是因為系統(tǒng)結構參數(shù)均為正實數(shù)的緣故。把傳遞函數(shù)的零、極點表示在負平面上的圖形，稱為傳遞函數(shù)的零、極點分布圖，如下圖2-7所示。圖中零點用”○”表示，極點用”╳”表示。圖2-7

系統(tǒng)的零極點分布圖

二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

在控制工程中，常常將具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組成或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)，經常遇到的環(huán)節(jié)則稱為典型環(huán)節(jié)

1.比例環(huán)節(jié)

輸出量以一定的比例復現(xiàn)輸入量，不失真不滯后的環(huán)節(jié)，稱為比例環(huán)節(jié)。圖2-8數(shù)字運算放大器如圖所示是齒輪傳動副，T1為輸入轉矩，T2為輸出轉矩。

2.慣性環(huán)節(jié)輸出量與輸入量之間能用一階線性微分方程描述的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其特點是存在儲能元件和耗能元件，在階躍狀態(tài)下，輸出不能立即達到穩(wěn)態(tài)值。故它的輸出量的變化落后于輸入量。圖2-10RC電路圖2-11機械轉動系統(tǒng)

3.積分環(huán)節(jié)輸出量與輸入量的積分成比例的環(huán)節(jié)，稱為積分環(huán)節(jié)。其顯著特點是輸出量取決輸入量對時間的積累過程。輸入量作用一段時間后，即使輸入量消失為零，輸出量仍將保持在已達到的數(shù)值，故積分環(huán)節(jié)有記憶功能。

例2-13

如圖所示的液壓缸，如果以流量q為輸入量，以活塞的位移x為輸入量，并忽略液壓缸的泄漏及缸體和油液的彈性。

4.微分環(huán)節(jié)輸出量與輸入量的微分成比例的環(huán)節(jié)，稱為微分環(huán)節(jié)。

當輸入量為單位階躍信號時，輸出量就是脈沖函數(shù)，這在實際中是不可能的。因此，理想的微分環(huán)節(jié)不能實現(xiàn)，在實際中用來執(zhí)行微分作用的都是近似的，稱為實際微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)具有如下形式：圖2-14無源微分電路這個電路的傳遞函數(shù)是微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)與慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘，所以，實際的微分環(huán)節(jié)都是具有慣性的。當這個電路的TD=RC<<1時，可近似得到理想微分環(huán)節(jié)，即G(s)≈TDs。

例2-15

如圖2-15所示，在工程中測量轉速的測速發(fā)電機實質上是一臺直流發(fā)電機。圖2-15測速發(fā)電機

5.一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)

一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的微分方程分別為：

相應的傳遞函數(shù)分別為：

與微分環(huán)節(jié)一樣，一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)在物理系統(tǒng)中也不會單獨出現(xiàn)，在其組成中必然包含有慣性環(huán)節(jié)或振蕩環(huán)節(jié)。系統(tǒng)中引入一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)主要是用于改善系統(tǒng)的動態(tài)品質。

例2-16如圖2-16所示的無源RC電路，根據(jù)基爾霍夫定律和歐姆定律可求得其傳遞函數(shù)為:

可見，該電路的傳遞函數(shù)是由比例環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)及慣性環(huán)節(jié)組成。

6.振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)包含兩種儲能元件，并且兩種能量能夠相互轉換。因此，振蕩環(huán)節(jié)的輸出帶有振蕩的性質。

圖2-1所示的機械移動系統(tǒng)和圖2-3所示的RLC路，當0<ε<1時，其運動規(guī)律可用振蕩環(huán)節(jié)描述。

圖2-1機械移動系統(tǒng)

圖2-3RLC電路

在機械移動系統(tǒng)中，兩種儲能元件是儲存動能的質量m和儲存勢能的彈簧k。在RLC電路中，兩種儲能元件儲存電場能的電容c和磁場能的電感L。

7.延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)又稱時滯環(huán)節(jié)、滯后環(huán)節(jié)等。

延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別在于:慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就有輸出，只是由于慣性，輸出要滯后一段才接近于所要要求的輸出值；延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初并無輸出，但t=之后，輸出就完全等于輸入，如圖2-17所示。

圖2-17延遲環(huán)節(jié)的輸入-輸出關系

a)輸入信號b)輸出信號

8.幾點說明典型環(huán)節(jié)不是具體的元件，而是表示元件或系統(tǒng)運動特性的數(shù)學模型。在