湖北省武漢市部分重點中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

武漢市部分重點中學(xué)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，19題．滿分150分．考試用時120分鐘．考試時間：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考試順利★注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置．2，選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．直線在軸上的截距為（）A． B．2 C． D．2．已知直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則不過第__________象限．A．四 B．三 C．二 D．一3．已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2．用計算器進(jìn)行模擬實驗產(chǎn)生1~5之間的隨機數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機數(shù)1時，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺設(shè)備，所以每3個隨機數(shù)為一組，代表3臺設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機數(shù)如下：412 451 312 531 224 344 151 254 424 142 435 414 135 432 123 233 314 232 353 442據(jù)此估計一年內(nèi)這3臺設(shè)備都不需要維修的概率為（）A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.554．已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（）A． B． C． D．5．現(xiàn)有一段底面周長為厘米和高為15厘米的圓柱形水管，AB是圓柱的母線，兩只螞蟻分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從A點沿上底部圓弧順時針方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到達(dá)P點，另一只從B沿下底部圓弧逆時針方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到達(dá)Q點，則此時線段PQ長（單位：厘米）為（）A． B．12 C． D．6．概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募?、乙兩人進(jìn)行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局．雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金．但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是（）A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，圓，點為軸上一動點．現(xiàn)由點向點發(fā)射一道粗細(xì)不計的光線，光線經(jīng)軸反射后與圓有交點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．如圖所示，四面體的體積為V，點M為棱BC的中點，點E，F(xiàn)分別為線段DM的三等分點，點N為線段AF的中點，過點N的平面與棱AB，AC，AD分別交于O，P，Q，設(shè)四面體的體積為，則的最小值為（）A． B． C． D．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9．給出下列命題，其中是真命題的是（）A．已知是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底B．平面經(jīng)過三點，，，向量是平面的法向量，則C．若，則是銳角D．若對空間中任意一點，有，則M，A，B，C四點不共面10．下列命題正確的是（）A．設(shè)A，B是兩個隨機事件，且，，若，則A，B是相互獨立事件B．若，，則事件A，B相互獨立與A，B互斥有可能同時成立C．若三個事件A，B，C兩兩相互獨立，則滿足D．若事件A，B相互獨立，，，則11．平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離比值為一定值的點的軌跡是一個圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓，俗稱“阿氏圓”．已知平面內(nèi)點，，動點滿足，記點的軌跡為，則下列命題正確的是（）A．點的軌跡的方程是B．過點的直線被點的軌跡所截得的弦的長度的最小值是1C．直線與點的軌跡相離D．已知點，點是直線上的動點，過點作點的軌跡的兩條切線，切點為C，D，則四邊形面積的最小值是3三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．同時扡擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為6的概率為__________．13．已知曲線與直線有兩個相異的交點，那么實數(shù)的取值范圍是__________．14．在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，，P為所確定的平面內(nèi)一點，設(shè)的最大值是以為自變量的函數(shù)，記作．若，則的最小值為__________．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15．（本題滿分13分）“體育強則中國強，國運興則體育興”．為備戰(zhàn)2025年杭州舉辦的國際射聯(lián)射擊世界杯，某射擊訓(xùn)練隊制訂了如下考核方案：每一次射擊中10環(huán)、中8環(huán)或9環(huán)、中6環(huán)或7環(huán)、其他情況，分別評定為A，B，C，D四個等級，各等級依次獎勵6分、4分、2分、0分．假設(shè)評定為等級A，B，C的概率分別是，，．（1）若某射擊選手射擊一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射擊選手射擊兩次，且兩次射擊互不影響，求這兩次射擊得分之和為8分的概率．16．（本題滿分15分）已知的頂點，邊AB上的中線CD所在直線方程為，邊AC上的高線BE所在直線方程為．（1）求邊BC所在直線的方程；（2）求的面積．17．（本題滿分15分）如圖所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC上分別有一點和且，，其中．（1）求證：，，共面；（2）若，且，設(shè)為側(cè)棱上靠近點的三等分點，求直線與平面所成角的正弦值．18．（本題滿分17分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，平面內(nèi)動點滿足．（1）求點的軌跡方程；（2）點軌跡記為曲線，若曲線與軸的交點為M，N兩點，Q為直線上的動點，直線MQ，NQ與曲線C的另一個交點分別為E，F(xiàn)，求|EF|的最小值．19．（本題滿分17分）對于三維向量，定義“F變換”：，其中，，，．記，．（1）若，求及；（2）證明：對于任意，必存在，使得經(jīng)過次F變換后，有；（3）已知，，將再經(jīng)過次F變換后，最小，求的最小值．武漢市部分重點中學(xué)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷參考答案與評分細(xì)則題號1234567891011答案ADCDBADCABADACD12． 13． 14．15．解：（1）設(shè)事件A，B，C，D分別表示“被評定為等級A，B，C，D”．由題意得，事件A，B，C，D兩兩互斥，所以．所以．因此其得分低于4分的概率為；（2）設(shè)事件，，，表示"第i次被評定為等級A，B，C，D，．（2）設(shè)事件，，，表示“”第i次被評定為等級A，B，C，D，．則“兩次射擊得分之和為8分”為事件，且事件，，互斥，，，所以兩次射擊得分之和為8分的概率．16．解：（1）因為，所以設(shè)直線AC的方程為：，將代入得，所以直線AC的方程為：，聯(lián)立AC，CD所在直線方程：，解得，設(shè)，因為為AB的中點，所以，因為在直線BE上，在CD上，所以，，解得，，所以，，所以BC所在直線的方程為：，即．（2）由（1）知點到直線BC的距離為：，又，所以．17．（1）證明：因為，，所以．由共面向量定理可知，，，共面．（2）取BC的中點為，在中，，，由余弦定理可得，所以，依題意，均為正三角形，所以，，又，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以在平面內(nèi)作，則平面，以O(shè)A，OC，Oz所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，，設(shè)是平面的一個法向量，，，則，即，取得，依題意可知，則．設(shè)直線與平面所成角為，則．故直線與平面所成角的正弦值為．18．解：（1）設(shè)動點坐標(biāo)，因為動點滿足，且，，所以，化簡可得，，即，所以點的軌跡方程為．（2）曲線中，令，可得，解得或，可知，，當(dāng)直線EF為斜率為0時，即為直徑，長度為8，當(dāng)直線EF為斜率不為0時，設(shè)EF的直線方程為，，，聯(lián)立消去可得：，化簡可得；由韋達(dá)定理可得，因為，，，，所以EM，F(xiàn)N的斜率為，，又點在曲線上，所以，可得，所以，所以EM，F(xiàn)N的方程為，，令可得，化簡可得；，又，在直線上，可得，，所以，化簡可得；，又，代入可得，化簡可得，，，所以或，當(dāng)時EF為，必過，不合題意，當(dāng)時EF為，必過，又為圓的弦長，所以當(dāng)直徑MN時弦長最小，此時半徑，圓心到直線EF的距離為，綜上，的最小值．19．解：（1）因為，，，所以，，（2）設(shè)假設(shè)對，，則，，均不為0；所以，即，因為，，所以，與矛盾，所以假設(shè)不正確；綜上，對于任意，經(jīng)過若干次F變換后，必存在，使得．（3）設(shè)，因為，所以有或，當(dāng)時，可得，三式相加