高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題02-圓錐曲線弦長(zhǎng)問(wèn)題(解析版)

解析幾何專(zhuān)題二：圓錐曲線弦長(zhǎng)問(wèn)題一、知識(shí)儲(chǔ)備弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）二、例題講解1．（2022·遼寧高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，若右焦點(diǎn)為且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，是上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切且，，三點(diǎn)共線，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)、離心率求橢圓參數(shù)，寫(xiě)出橢圓方程即可.（2）由（1）知曲線為，討論直線的存在性，設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)即可.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，則，又，∴橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，又，，三點(diǎn)共線，可設(shè)直線，即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立，得，則，，∴.感悟升華（核心知識(shí)）解析幾何弦長(zhǎng)問(wèn)題，最通用的公式在求解的過(guò)程中，注意計(jì)算準(zhǔn)確。2．（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作斜率為2的直線，交雙曲線于，兩點(diǎn).（1）求雙曲線的離心率和漸近線；（2）求的長(zhǎng).【答案】（1），漸近線方程為；（2）.【分析】（1）由雙曲線方程得出，再求出，可得離心率，漸近線方程；（2）寫(xiě)出直線方程，代入雙曲線方程，設(shè)，，由韋達(dá)定理得，然后由弦長(zhǎng)公式計(jì)算弦長(zhǎng)．【詳解】解：（1）因?yàn)殡p曲線方程為，所以，則，所以，漸近線方程為.（2）雙曲線右焦點(diǎn)為，則直線l的方程為代入雙曲線中，化簡(jiǎn)可得設(shè)，所以，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率和漸近線方程，考查直線與雙曲線相交弦長(zhǎng)．解題方法是直線方程與雙曲線方程聯(lián)立并消元后應(yīng)用韋達(dá)定理求出，然后由弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)．感悟升華（核心知識(shí)）解析幾何弦長(zhǎng)問(wèn)題，最通用的公式在求解的過(guò)程中，注意計(jì)算準(zhǔn)確。3．（2022·全國(guó)高三模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，若的面積是的面積的2倍，求．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)，求得的坐標(biāo)，結(jié)合，化簡(jiǎn)、整理，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)，不妨設(shè)，由，求得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，進(jìn)而求得，利用弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，，則，，．由，可得，化簡(jiǎn)得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）設(shè)，，由題意知，，易知，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，所以．①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去，得，則，可得，②由①②聯(lián)立，解得，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，以及直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類(lèi)題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類(lèi)問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等．感悟升華（核心知識(shí)）解析幾何弦長(zhǎng)問(wèn)題，特別是拋物線弦長(zhǎng)問(wèn)題，分為普通弦，焦點(diǎn)弦，焦點(diǎn)弦有簡(jiǎn)易版的求解公式，在求解時(shí)要先預(yù)判；本題是普通弦問(wèn)題，使用通用公式；實(shí)戰(zhàn)練習(xí)1．（2022·江門(mén)市培英高級(jí)中學(xué)高三模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為橢圓的左頂點(diǎn)，直線過(guò)右焦點(diǎn)與橢圓交于，兩點(diǎn)（，與不重合），不與軸垂直，若，求．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題意可得關(guān)于的方程組，求解的值，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意設(shè)，直線：，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，求出的值，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求得.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2），由題意可設(shè)：直線：，，聯(lián)立：得：，則，，，又，，解得：，故，.2．（2022·廣東執(zhí)信中學(xué)高三月考）已知橢圓的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，是橢圓上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：，，三點(diǎn)共線的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過(guò)點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.3．（2022·全國(guó)高三月考（文））已知橢圓與拋物線有公共的焦點(diǎn)，，分別為橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，且的最大面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）利用已知條件可以直接得出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)三角形面積最大時(shí)為短軸端點(diǎn)，從而解出，的值即可；（2）利用（1）中求出的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式即可求出直線的方程．【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為橢圓中的半焦距為．由橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)面積最大時(shí)，為橢圓短軸端點(diǎn)，不妨令，則解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立可得，，設(shè)，，則，解得，直線的方程為或．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，要求較高的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.本題的關(guān)鍵點(diǎn)有：（1）韋達(dá)定理的應(yīng)用，韋達(dá)定理是聯(lián)系各個(gè)變量之間的橋梁是解決解析幾何問(wèn)題的重要方法；（2）計(jì)算能力和計(jì)算技巧是解決解析幾何問(wèn)題的關(guān)鍵能力.4．（2022·陜西（文））已知點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡E的方程；（2）直線與交于點(diǎn)，，且，求的值.【答案】（1），（2）.【分析】（1）由條件可得，然后由橢圓的定義可求出答案；（2）設(shè)，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，韋達(dá)定理得出，然后利用求出的值即可.【詳解】（1）由條件可得所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為所以，所以所以方程為（2）設(shè)聯(lián)立可得所以由得因?yàn)樗钥山獾?．（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）設(shè)與直線交于兩點(diǎn)，，求線段的長(zhǎng)度.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)，由于，，利用雙曲線的定義求解即可；（2）直線和雙曲線方程聯(lián)立消，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)，則，所以點(diǎn)的軌跡為雙曲線，且，，則，，所以軌跡的方程為；（2）由，得，因?yàn)?，所以直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，，則，，故.所以線段的長(zhǎng)度為.6．（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，求．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)離心率為和頂點(diǎn)求出，即可得出雙曲線方程；（2）可先求出直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，再利用弦長(zhǎng)公式即可求出.【詳解】（1）由題可得，解得，，所以雙曲線的方程為；（2）雙曲線的右焦點(diǎn)為所以經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)且傾斜角為30°的直線的方程為.聯(lián)立得．設(shè)，，則，．所以.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程的求法，考查直線與雙曲線相交弦長(zhǎng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.7．（2022·重慶高三模擬預(yù)測(cè)）已知直線：與拋物線：交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的另一條直線與拋物線交于另一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且滿足，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先聯(lián)立直線與拋物線，得到判別式和韋達(dá)定理，再根據(jù)垂直關(guān)系，利用，求得參數(shù)即可；（2）設(shè)直線BM的方程，并與拋物線聯(lián)立，得到判別式和韋達(dá)定理，根據(jù)已知關(guān)系，判斷中點(diǎn)位置，利用坐標(biāo)關(guān)系求得參數(shù)m，最后利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，利用二次函數(shù)判斷最小值即可.【詳解】解：（1）依題意，設(shè)，由，消去y，得，，，，即，即，所以，解得，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意知，直線BM的斜率存在，故可設(shè)直線BM的方程為，，由，消去y，得，，由（1）知，，故，由題意知三點(diǎn)共線，且|AN|＝|AM|，即A為線段的中點(diǎn)，設(shè)，則，即，即，，，故時(shí)，最小為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與拋物線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，我們常讓直線與拋物線方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，建立關(guān)系式．其中弦長(zhǎng)公式：（已知直線上的兩點(diǎn)距離）設(shè)直線，上兩點(diǎn)，所以或，解決相關(guān)問(wèn)題.8．（2022·全國(guó)高三模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).（1）求的方程；（2）若，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8，求當(dāng)取最大值時(shí)，直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求得的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，當(dāng)時(shí)，得到的方程；當(dāng)時(shí)，得到，得到，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得到，根據(jù)弦長(zhǎng)公式和基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，點(diǎn)在上，且，可得，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，且，設(shè)中點(diǎn)為，則，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，則，即，與聯(lián)立方程消去，整理得，由，解得，且，，所以，當(dāng)時(shí)取“=”，所以的最大值為10，此時(shí)的方程為.【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題的求解策略：對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問(wèn)題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長(zhǎng)公式等進(jìn)行求解，此類(lèi)問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力．9．（2022·浙江高三模擬預(yù)測(cè)）已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的另一條直線與拋物線交于另一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且滿足，求的最小值.【答案】（1）；（2）最小值為.【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線的方程，列出韋達(dá)定理，由已知條件可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知條件可得，代入韋達(dá)定理求出的值，再利用弦長(zhǎng)公式可求得的最小值.【詳解】（1）依題意設(shè)、，由消去，得，所以，，，即，，解得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意知，若直線的斜率不存在，則該直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，故可設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，由消去，得，，由（1）知，①.由題意知、、三點(diǎn)共線，且為線段的中點(diǎn)，設(shè)，則，即②，由①②得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．10．（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，，是焦點(diǎn)為的拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在定直線上.（1）求的值；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由拋物線定義有，結(jié)合已知條件即可求；（2）由直線與拋物線位置關(guān)系，聯(lián)立方程得到一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系、弦長(zhǎng)公式即可求的最大值.【詳解】（1）由題意知：，拋物線對(duì)稱(chēng)軸方程.設(shè)，，，則；（2）點(diǎn)和在拋物線上，有，，兩式相減得：，令，∴，即，∴設(shè)直線的方程為，即，代入拋物線方程得，∴，得，，∴∴當(dāng)時(shí)，，【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求拋物線焦半徑相關(guān)線段長(zhǎng)度時(shí)注意拋物線定義的應(yīng)用，即拋物線焦點(diǎn)到拋物線上點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離；直線與拋物線相交，求弦長(zhǎng)時(shí)一般要聯(lián)立方程應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式.11．（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：為定值；（3）求的最小值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）4.【分析】（1）由橢圓的方程可得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線的方程；（2）可設(shè)的坐標(biāo)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得：，利用判別式等于零可得結(jié)論；（3）設(shè)，的坐標(biāo)，由（2）可得參數(shù)，的關(guān)系，代入過(guò)的切線方程與拋物線的方程中，可得，用參數(shù)，表示的坐標(biāo)，代入弦長(zhǎng)公式中求的表達(dá)式，由參數(shù)的范圍求出的最小值．【詳解】（1）由橢圓方程得，橢圓的右焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)為，，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：．（2）拋物線的準(zhǔn)線方程為．設(shè)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得：．其判別式△，令△，得：．由韋達(dá)定理知，，故（定值）．（3）設(shè)，，，，由，得，故，所以，代入拋物線方程得，所以，，，，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．當(dāng)且僅時(shí)取等號(hào)．故的最小值為4．【點(diǎn)睛】求曲線弦長(zhǎng)的方法：（1）利用弦長(zhǎng)公式；（2）利用；（3）如果交點(diǎn)坐標(biāo)可以求出，利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.12．（2022·廣西河池·高三期末（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為2的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)．（Ⅰ）若直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，且，求直線的方程；（Ⅱ）若直線不過(guò)原點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng)．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立直線與