第四節(jié)空間向量及其運(yùn)算(要點(diǎn)歸納夯實(shí)基礎(chǔ)練)

第四節(jié)空間向量及其運(yùn)算【要點(diǎn)歸納】一、空間向量1．空間向量(1)定義：空間中既有大小又有方向的量稱(chēng)為空間向量．(2)模(或長(zhǎng)度)：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：可以用有向線(xiàn)段來(lái)直觀的表示向量，如始點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的向量，記為eq\o(AB,\s\up7(→))，模為|eq\o(AB,\s\up7(→))|．②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模為|a|，|b|，|c|，…．2．幾類(lèi)特殊的向量(1)零向量：始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱(chēng)為零向量，記作0．(2)單位向量：模等于1的向量稱(chēng)為單位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量稱(chēng)為相等向量．(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量稱(chēng)為相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的兩個(gè)非零向量互相平行，此時(shí)表示這兩個(gè)非零向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)平行或重合．通常規(guī)定零向量與任意向量平行．(6)共面向量：一般地，空間中的多個(gè)向量，如果表示它們的有向線(xiàn)段通過(guò)平移后，都能在同一平面內(nèi)，則稱(chēng)這些向量共面．二、空間向量1．空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算類(lèi)似于平面向量，可以定義空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算．圖1圖2(1)如圖1，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b．(2)如圖2，eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(DB1,\s\up7(→))．即三個(gè)不共面向量的和，等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個(gè)向量有共同始點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)所表示的向量．(3)給定一個(gè)實(shí)數(shù)λ與任意一個(gè)空間向量a，則實(shí)數(shù)λ與空間向量a相乘的運(yùn)算稱(chēng)為數(shù)乘向量，記作λa．其中：①當(dāng)λ≠0且a≠0時(shí)，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)當(dāng)λ＞0時(shí)，與a的方向相同；(ⅱ)當(dāng)λ＜0時(shí)，與a的方向相反．②當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，λa＝0．(4)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算滿(mǎn)足如下運(yùn)算律：對(duì)于實(shí)數(shù)λ與μ，向量a與b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．2．共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，則向量a，b，c共面的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使c＝xa＋yb．3．空間向量的有關(guān)定理(1)共線(xiàn)向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb．(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．4．兩個(gè)向量的數(shù)量積(與平面向量基本相同)(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間中任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉．通常規(guī)定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱(chēng)向量a，b互相垂直，記作a⊥b.(2)兩向量的數(shù)量積兩個(gè)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e為單位向量)；②a⊥b?a·b＝0；③|a|2＝a·a＝a2；④|a·b|≤|a||b|.(4)向量的數(shù)量積滿(mǎn)足如下運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交換律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．5．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a(chǎn)＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))).(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．6．直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線(xiàn)的方向向量：l是空間一直線(xiàn)，A，B是直線(xiàn)l上任意兩點(diǎn)，則稱(chēng)eq\o(AB,\s\up6(→))為直線(xiàn)l的方向向量，與eq\o(AB,\s\up6(→))平行的任意非零向量也是直線(xiàn)l的方向向量，顯然一條直線(xiàn)的方向向量可以有無(wú)數(shù)個(gè)．(2)平面的法向量①定義：與平面垂直的向量，稱(chēng)做平面的法向量．一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，任意兩個(gè)都是共線(xiàn)向量．②確定：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線(xiàn)向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))5．空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線(xiàn)l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線(xiàn)l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0【夯實(shí)基礎(chǔ)練】1．(多選)(2022?重慶市巴蜀中學(xué)第七次月考)在空間直角坐標(biāo)系中，有坐標(biāo)分別是的三個(gè)點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)并且與直線(xiàn)垂直．則以下說(shuō)法正確的是()A．向量是平面的一個(gè)法向量B．若平面內(nèi)一點(diǎn)的空間坐標(biāo)是，則x，y，z滿(mǎn)足關(guān)系式C．若平面內(nèi)一點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值是6D．對(duì)空間任意點(diǎn)，一定存在實(shí)數(shù)使得成立【解析】設(shè)點(diǎn)的空間坐標(biāo)是，對(duì)于選項(xiàng)A，由題意可知，平面，則向量是平面的一個(gè)法向量，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若平面內(nèi)一點(diǎn)的空間坐標(biāo)是，由平面，則，所以，即，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，若平面內(nèi)一點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，則，所以，即，又，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槿齻€(gè)向量不共面，所以它們可以作為基底表示空間任何向量，所以D正確.故選：AD.【答案】AD2．(2022?云南省昆明市第一中學(xué)第六次月考)已知是棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為()A．4 B．12 C．8 D．6【解析】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則，，∴＝，又點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)為正方體頂點(diǎn)時(shí)，最大，且最大值為正方體體對(duì)角線(xiàn)的一半，，∴的最大值為.故選：C.【答案】C3．(2021·河北滄縣中學(xué)高三階段練)，若三向量共面，則實(shí)數(shù)(

)A．3 B．2 C．15 D．5【解析】∵，∴與不共線(xiàn)，又∵三向量共面，則存在實(shí)數(shù)m，n使即，解得．故選：D．【答案】D4．(2022?湖南高三階段練)若直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量，且直線(xiàn)平面，則實(shí)數(shù)的值是______.【解析】直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量，直線(xiàn)平面，必有，即向量與向量共線(xiàn)，，∴，解得