《一元二次不等式及其解法》

一元二次不等式及其解法判別式△=b2-4acy=ax2+bx+c(a>0)的圖象ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集△>0有兩相異實根x1,x2(x1<x2){x|x<x1,或x>x2}{x|x1<x<x2

}△=0△<0有兩相等實根

x1=x2={x|x≠

}x1x2xyOyxOΦΦR沒有實根yxOx1一元二次不等式的解法解：因為△=16-16=0方程4x2-4x+1=0的解是

x1=x2=1/2故原不等式的解集為{x|x≠1/2}題3：解不等式-x2+2x–3>0解：整理，得x2-2x+3<0因為△=4-12=-8<0方程2x2-3x–2=0無實數(shù)根所以原不等式的解集為ф題2：解不等式4x2-4x

+1>0另解:由于4x2-4x+1=(2x-1)2≥0

解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0

(a>0)

的步驟是：

(1)化成標(biāo)準(zhǔn)形式ax2+bx+c>0(a>0)

ax2+bx+c<0(a>0)

(2)判定△的符號，并求出方程ax2+bx+c=0

的實根;

(3)寫出不等式的解集.例2：已知不等式的解集是，求實數(shù)的值.

典例精講：例：解關(guān)于x的不等式：解：含參變量的不等式例：解關(guān)于x的不等式：解：不等式ax2+（a-1）x+a-1＜0對所有實數(shù)x∈R都成立，求a的取值范圍.分析：開口向下，且與x軸無交點。解：由題目條件知：

(1)a＜0，且△＜

0.

因此a

＜

-1/3。（2）a=0時，不等式為-x-1＜0

不符合題意。綜上所述：a的取值范圍是二次不等式ax2+bx+c>0的解集是全體實數(shù)的條件是______.a>0時，⊿＝b2-4ac<0{或{已知不等式

（a∈R）.（1）解這個關(guān)于x的不等式；（2）若x=-a時不等式成立，求a的取值范圍.

解:返回目錄返回目錄不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)對任意x∈R恒成立，求a與m之間的關(guān)系.

解：根的分布問題關(guān)于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的兩根都大于2，求實數(shù)m的取值范圍.圖3-2-1

【分析】借助二次函數(shù)圖象考查二次方程根的分布問題.有3個條件

f(2)>0

Δ≥0

或者利用韋達定理.

-

>2

【解析】返回目錄【評析】二次方程根的分布問題多借助根的判別式、韋達定理或者用數(shù)形結(jié)合法由二次函數(shù)圖象求解.返回目錄圖3-2-2返回目錄已知f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x∈［-1,+∞)時f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍.

解：解法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)的圖象的對稱軸為x=a,①當(dāng)a∈(-∞,-1)時，結(jié)合圖象知，f(x)在［-1,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)min=f(-1)=2a+3.

要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a,

即2a+3≥a，解得-3≤a<-1;②當(dāng)a∈［-1,+∞）時，f(x)min=f(a)=2-a2,

由2-a2≥a,解得-2≤a≤1.

綜上所述，所求a的取值范圍為-3≤a≤1.

解法二：由已知得x2-2ax+2-a≥0在［-1,+∞)上恒成立，即Δ=4a2-4(2-a)≤0Δ>0,

或a<-1,解得-3≤a≤1.f(-1)≥0,返回目錄返回目錄學(xué)點六恒成立問題

【分析】本題考查恒成立問題，一定要注意m2+4m-5=0的情況.已知函數(shù)y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3對任意實數(shù)x，函數(shù)值恒大于零，求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】①當(dāng)m2+4m-5=0時m=-5或m=1.

若m=-5,則函數(shù)化為y=24x+3.對任意實數(shù)x不可能恒大于0.

若m=1,則y=3>0恒成立.②當(dāng)m2+4m-5≠0時，據(jù)題意應(yīng)有m2+4m-5>0，16(1-m)2-12(m2+4m-5)<0.返回目錄∴∴1<m<19.

綜上1≤m<19.m<-5或m>1，1<m<19，【評析】（1）ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的條件為

a>0,

Δ<0.

（2）ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的條件為

a<0,

Δ<0.設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍.

解：以m為主元構(gòu)造函數(shù)f(m)=(x2-1)m-(2x-1),問題轉(zhuǎn)化為f(m)在［-2,2］內(nèi)恒為負(fù)值.

故有

f(-2)<0

-2x2-2x+3<0

f(2)<0

2x2-2x-1<0

故x的取值范圍為

.3.如何研究根的分布問題？

實數(shù)k取何值時，含參數(shù)m的二次方程ax2+bx+c=0

（1）有實根、無實根、有兩個相等實根.

（2）有兩正根、兩負(fù)根，一正一負(fù)根.

（3）有零根.

（4）有兩個大于k的根，有兩個小于k的根，一根大于k另一根小于k…的一般討論方法通?？紤]以下幾個方面:①求根公式.②判別式.③對稱軸.④開口方向.⑤區(qū)間端點處的函數(shù)值.

方法有三類：（一）判別式、韋達定理法；（二）判別式、對稱軸、構(gòu)造函數(shù)法；（三）求根公式法.以下幾類是常見問題：（在a≠0條件下）（1）方程ax2+bx+c=0有實根，有兩不等實根，無實根.主要考慮判別式Δ和二次項系數(shù)a的符號.返回目錄(2)方程ax2+bx+c=0

有兩正根方程ax2+bx+c=0有兩負(fù)根方程ax2+bx+c=0有一正一負(fù)兩實根返回目錄返回目錄(3)方程ax2+bx+c=0有實根c=0.(4)方程ax2+bx+c=0有兩個大于n的根（解法類似于有兩正根）

方程ax2+bx+c=0有兩個小于k的根（解法