《高考數(shù)學知識點總結(jié)及高中數(shù)學解題思想方法全》

高中數(shù)學第一章?集合

考試內(nèi)容：

集合、子集、補集、交集、并集.

邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件和必要條件.

考試要求：

(1)理解集合、子集、補集、交集、井集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包

含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合.

(2)理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關(guān)系；掌握充

分條件、必要條件及充要條件的意義.

§01.集合與簡易邏輯知識要點

一、知識結(jié)構(gòu)：

本章知識主要分為集合、簡單不等式的解法(集合化簡)、簡易邏輯三部分：

二、知識回顧：

(-)集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個集合是它本身的子集，記為；

②空集是任何集合的子集，記為；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果，同時，那么4=B.

如果.

［注］:①Z=｛整數(shù)｝(J)Z=｛全體整數(shù)｝(X)

②已知集合S中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.(X)(例：S=N：A=,

則&A=｛0｝)

③空集的補集是全集.

④若集合4=集合B,則CB4=,CV?=G（C⑶=￡>（注：C/=）.

3.①{(x,y)Lry=O,x&R,)，e/?}坐標軸上的點集.

②{(x,y)ky<0,x《R,yGR二、四象限的點集.

③］(x,y)Lry>0,xGR,yGR}一、三象限的點集.

［注］:①對方程組解的集合應(yīng)是點集.

例：解的集合{(2,1)}.

②點集與數(shù)集的交集是.(例：A={(X,y)ly=x+l}B={yly=x2+l}則AC8=)

4.①〃個元素的子集有2"個.②”個元素的真子集有2"一1個.③"個元素的非空真子

集有2"一2個.

5.⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題逆命題.

②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題逆否命題.

例：①若應(yīng)是真命題.

解：逆否：。=2且6=3,則a+b=5,成立，所以此命題為真.

②.A

解：逆否：x+y=3x=1或y=2.

，故是的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例:若.

4.集合運算：交、并、補.

5.主要性質(zhì)和運算律

(1)包含關(guān)系：

(2)等價關(guān)系：

(3)集合的運算律：

交換律：

結(jié)合律：

分配律：.

0-1律：

等累律：

求補律：AnC(A=<l>AUGA=UCtU=<t>Cu6=u

反演律：G(ACB)=(CA)U(CB)C(AUB)=(GA)n(C,B)

6.有限集的元素個數(shù)

定義：有限集A的元素的個數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(<l>)=0.

基本公式：

(3)card(iA)=card(U)-card(A)

(二)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法(零點分段法)

①將不等式化為a°(x-x)(x-xj…(x-x.)>0(〈0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為

了統(tǒng)一方便)

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(為什么？)：

④若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“>0”，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等

式是“〈0”，則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

(自右向左正負相間)

則不等式的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式axJ+box>0(a>0)解的討論.

二次函數(shù)

()的圖象

一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根

無實根

R

2.分式不等式的解法

(1)標準化：移項通分化為＞0(或＜0)；》0(或W0)的形式，

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)

3.含絕對值不等式的解法

(1)公式法：，與型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點分區(qū)間法”分類討論.

(3)兒何法：根據(jù)絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)

(1)根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

(三)簡易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡單命題與復合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單

命題；由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復合命題。

構(gòu)成復合命題的形式:P或q(記作“pVq”);p且q(記作“pAq”);非p(記

作“1q”)。

3、“或”、“且”、“非”的真值判斷

(1)“非P”形式復合命題的真假與F的真假相反；

(2)“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；

(3)“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真.

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q；逆命題：若q則P；

否命題：若rP貝代q；逆否命題：若FQ則1P=

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題.

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關(guān)系：（原命題逆否命題）

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知pq那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若pq且qp,則稱P是q的充要條件，記為pOq.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出（與已知、公理、定理…）矛盾，從

而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學第二章.函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴充.有理指數(shù)幕的運算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對數(shù).對數(shù)的運算性質(zhì).對數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

（1）了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

（2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法.

（3）了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù).

（4）理解分數(shù)指數(shù)幕的概念，掌握有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和

性質(zhì).

（5）理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)；掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

（6）能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題.

§02.函數(shù)知識要點

一、本章知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu):

二、知識回顧：

(-)映射與函數(shù)

1.映射與--映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對應(yīng)法則和值域，而定義域和對應(yīng)法則是起決定作用的要素，因

為這二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)

才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)的值域是C,根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出，得到x=(y).若

對于y在C中的任何一個值，通過x=(y),x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x=(y)

就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=(y)(yC)叫做函數(shù)的反函數(shù)，

記作,習慣上改寫成

(-)函數(shù)的性質(zhì)

L函數(shù)的單調(diào)性

定義：對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值X1,X2,

⑴若當X|<X2時，都有f(X|)<f(X2)廁說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當X[<X2時，都有f(X])>f(X2),則說f(X)在這個區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格

的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù)：

設(shè)()為偶函數(shù)上一點，則()也是圖象上一點.

偶函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關(guān)于軸對稱，例如：在上不是偶函數(shù).

②滿足，或，若時，.

⑵奇函數(shù)：

設(shè)()為奇函數(shù)上一點，則()也是圖象上一點.

奇函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關(guān)于原點對稱，例如：在上不是奇函數(shù).

②滿足，或，若時，.

8.對稱變換：①y=/(x)

②y=f(x)

③y=f(x)

9.判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如:

在進行討論.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

例如：已知函數(shù)f(x)=1+的定義域為4,函數(shù)川(x)］的定義域是8,則集合力與集合8

之間的為系嫡__________.

解：的值域是的定義域，的值域，故，而A,故.

11.常用變換：

①.

證：

②

證：

12.⑴熟悉常用函數(shù)圖象:

例：f關(guān)于軸對稱.ff

一關(guān)于軸對稱.

⑵熟悉分式圖象：

例：定義域，

值域一值域前的系數(shù)之比.

(三)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>l0<a<l

圖

象

(1)定義域：R

性(2)值域：(0,+8)

質(zhì)(3)過定點(0,1),即x=0時,y=l

(4)x>0時,y>l;x<0時，0<y<l(4)x>0時,0<y〈l;x<0時，y>l.

(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)

對數(shù)函數(shù)產(chǎn)/og.x的圖象和性質(zhì):

對數(shù)運算：

(以上)

a>l0<a<l

圖

象

（1）定義域：（0,+8）

（2）值域：R

性（3）過點（1,0）,即當x=l時，y=0

質(zhì)

(4)時時

時y>0時

（5）在（0,+8）上是增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

注⑴:當時，.

⑵：當時，取“+”，當是偶數(shù)時且時，，而，故取“一”.

例如：中x>0而中xGR）.

⑵（）與互為反函數(shù).

當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.

（四）方法總結(jié)

（1）.相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對應(yīng)法則相同.

⑴對數(shù)運算:

(以上)

注⑴：當時，.

⑵：當時，取“+”，當是偶數(shù)時且時，，而，故取“一”.

例如：中x>0而中xGR).

⑵()與互為反函數(shù).

當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.

⑵.函數(shù)表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

⑶.反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).

⑷.函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)

的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不小于0;③對數(shù)的真數(shù)

大于0,底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)幕的底數(shù)不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義

等.

⑸.函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法;

⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

⑹.單調(diào)性的判定法：①設(shè)x,x是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且xVx：②判定f(x)與

f(x)的大??；③作差比較或作商比較.

(7).奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關(guān)

系：①f(-X)=f(x)為偶函數(shù)；f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=o

為奇；③f(-x)/f(x)=l是偶；f(x)+f(-x)=-l為奇函數(shù).

⑻.圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的

圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對稱性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項公式.等差數(shù)列前n項和公式.

等比數(shù)列及其通項公式.等比數(shù)列前n項和公式.

考試要求：

（1）理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并

能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前兒項.

（2）理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實

際問題.

（3）理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，井能解決簡單的實

際問題.

§03.數(shù)列知識要點

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義

遞推公

式

通項公()

式

中項()()

前項和

重要性

質(zhì)a,n+an=apeN",

—p+q)

1.⑴等差、等比數(shù)列:

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義

通項公二+(n-1)d=+(n-k)d=+-d

式

求和公

式

中項公A=推廣：2=。推廣：

我

在

質(zhì)1若m+n=p+q貝ij若m+n=p+q,貝人

2若成A.P（其中）則也為A.P。若成等比數(shù)列（其中），則成等比數(shù)

列.

3.成等差數(shù)列。成等比數(shù)列。

4

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：

①

（2）2（）

③（為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

@

②（.）?

注①：i.,是氏c成等比的雙非條件，即小尻c等比數(shù)列.

ii.（ac>0）-為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii.f為a、從c等比數(shù)列的必要不充分.

iv.且一為a、6、c等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項，除非有ac>0,則等比中項一定有兩個.

③（為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛｝成等比的充要條件是數(shù)列｛｝（）成等比數(shù)列.

⑷數(shù)列｛｝的前項和與通項的關(guān)系：

［注］:①（可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）一若不為0,

則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差｛｝前〃項和一可以為零也可不為零一為等差的充要條件一若為零，則是等差數(shù)列的

充分條件；若不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非等常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）

2.①等差數(shù)列依次每k項的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的二倍；

②若等差數(shù)列的項數(shù)為2,則；

③若等差數(shù)列的項數(shù)為，則，且，

3.常用公式：①1+2+3???+n=

②

③

［注］:熟悉常用通項:9,99,999,…；5,55,555,....

4.等比數(shù)列的前項和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為，年增長率為，則每年的產(chǎn)量成

等比數(shù)列，公比為.其中第年產(chǎn)量為，且過年后總產(chǎn)量為：

⑵銀行部門中按復利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復利

計算，則每月的元過個月后便成為元.因此，第二年年初可存款：

⑶分期付款應(yīng)用題：為分期付款方式貸款為。元；，"為，"個月將款全部付清；為年利率.

5.數(shù)列常見的幾種形式：

⑴（p、q為二階常數(shù)）用特證根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程（對應(yīng)，x對應(yīng)），并設(shè)二根②若可設(shè)，若可設(shè)；③由初始值確

定.

⑵（P、/?為常數(shù)）用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項選代；③消去常數(shù)〃轉(zhuǎn)化為的形式，

再用特征根方法求；④（公式法），由確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：.

②選代法：

③用特征方程求解：.

④由選代法推導結(jié)果：.

6.兒種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前項和為，在時，有最大值.如何確定使取最大值時的值，有兩種方法：

一是求使，成立的值；二是由利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列前項和可依照

等比數(shù)列前項和的推倒導方法：錯位相減求和.例如：

⑶兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第

一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：（1）定義法:對于n22的任意自然數(shù),

驗證為同一常數(shù)。（2）通項公式法。（3）中項公式法:驗證都成立。

3.在等差數(shù)列｛｝中，有關(guān)S”的最值問題：⑴當>0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得取最大值.（2）

當<0,d>0時，滿足的項數(shù)m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想

的應(yīng)用。

（三）、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項相消法:適用于其中｛｝是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含

階乘的數(shù)列等。

3.錯位相減法:適用于其中｛｝是等差數(shù)列，是各項不為0的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導方法.

5.常用結(jié)論

1）:l+2+3+...+n=

2）l+3+5+...+（2n-l）=

3）

4）

5）

6）

高中數(shù)學第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘

導公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)y=Asin（3x+4））的圖像.正切函數(shù)的圖

像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度與角度的換算.

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義：掌握同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義.

（3）掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

（4）能正確運用三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.

（5）理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余

弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin（3x+<t>）的簡圖，理解A.3、。的物理意義.

（6）會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形.

（8）“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式:sin2。+cos2a=1,sina/cosa=tana,tana-cosa=1

§04.三角函數(shù)知識要點

1.①與（0°<<360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：

②終邊在x軸上的角的集合:

③終邊在），軸上的角的集合:

④終邊在坐標軸上的角的集合:

⑤終邊在），=x軸上的角的集合:

⑥終邊在軸上的角的集合:

⑦若角與角的終邊關(guān)于X軸對稱，則角與角的關(guān)系:

S1N\COS:危函數(shù)值大小關(guān)系照

⑧若角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則角與角的關(guān)系:1.2、3、4表示第一、：、三、

四象限一半所在區(qū)域

⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：

⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30。=57。18

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：lrad=°弋57.30°=57°18'.1°^^0.01745（rad）

3、弧長公式：.扇形面積公式：

4、三角函數(shù)：設(shè)是一個任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y）P與原點的

距離為r,則；；；；；..

5、三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）

7.三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)定義域

sinr

COSX

taar

cotx

secx

csar

8、同角一:角函數(shù)的基本關(guān)系式:

9、誘導公式：

“奇變偶不變，符號看象限”

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組二公式組三

公式組四公式組五公式組六

（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

公攙眸sina貓顰sin(a+P)+sin(a-瀏公式組五

1、,

(一

cosasin0=-^-[sin(a4-/7)-sin(a-/3)]cos54a)=sina

tan(g〃-a)=cota

cosacos夕=g[cos(a+/)+cos(a一夕)]

sinasin/二4內(nèi)(容我)-您如⑶]

.1、

sina-sin8=@qpsd廠￡in—et--B

cosa-cosp=-2sm-2^—sin-2.-sin(—^r+a)=cosa

10.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):

y=cosxy=cotx

（A、＞0）

Z■x\xeR且x/€ZI

定義域RR2JR

值域RR

周期性

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當非奇非偶

當奇函數(shù)

上為增函;上為增函上為增函數(shù)（）上為減函數(shù)（）上為增函數(shù)；

數(shù)；上為減數(shù)上為減函數(shù)（）

函數(shù)（）上為減函

數(shù)

（）

單調(diào)性

注意：①與的單調(diào)性正好相反；與的單調(diào)性也同樣相反.?般地，若在上遞增（減），則在

上遞減（增）.

②與的周期是.

③或（）的周期.

的周期為2（,如圖，翻折無效）.

④的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱中心

（）.

⑤當?一.

⑥與是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，則

⑦函數(shù)在上為增函數(shù).（x）［只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個定義域，為增函數(shù),

同樣也是錯誤的］.

⑧定義域關(guān)于原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域

關(guān)于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函數(shù)：）

奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：是奇函數(shù)，是非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點對稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若的定義域，則一定有.（的定義域，則無此性質(zhì)）

⑨不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）:

是周期函數(shù)（如圖）；為周期函數(shù)（）;

的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：

尸Icoslr+l組圖象

⑩有.

11、三角函數(shù)圖象的作法：

1）、幾何法：

2）、描點法及其特例——五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切

曲線）.

3）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象.

三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等.

函數(shù)y=Asin（3x+q>）的振幅|A|,周期，頻率，相位初相（即當x=0時的相位）.（當

A>0,3>0時以上公式可去絕對值符號），

由丫=4口的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長（當IAI>1）潞檄（當0VIAI

<1）到原來的IAI倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換.（用

y/A替換y）

由丫=4型的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長（0VI3IV1）或縮短

到原來的倍，得到y(tǒng)=sinax的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換.（用3x替

換x）

由y=sinx的圖象上所有的點向左（當<p>0）或向右（當（p<0）平行移動I<pI個單位,

得到y(tǒng)=sin（x+（p）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移.（用x+（p替換x）

由y=sinx的圖象上所有的點向上（當b>0）或向下（當b<0）平行移動IbI個單位,

得到y(tǒng)=sinx+b的圖象叫做沿y軸方向的平移.（用y+（-b潛換y）

由y=sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y=Asin（3x+<p）（A>0,w>0）（xGR）

的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的

區(qū)別。

4、反三角函數(shù)：

函數(shù)y=sinx,的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=arcsiiu,它的定義域是[―1,1],值域

是.

函數(shù)y=cosx,（xG[0,乃]）的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y=arccosx,它的

定義域是[-1,1],值域是[0,〃].

函數(shù)y=tanx,的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y=arctanx,它的定義域是（—8,+8）,

值域是.

函數(shù)y=ctgr,[xG（0,〃）]的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y=arcctgx,它的定義

域是（一8,4-oo）,值域是（0,萬）.

II.競賽知識要點

一、反三角函數(shù).

1.反三角函數(shù)：⑴反正弦函數(shù)是奇函數(shù)，故，（一定要注明定義域，若，沒有與一對應(yīng),

故無反函數(shù)）

注：，，-

⑵反余弦函數(shù)非奇非偶，但有，.

注：①，，.

②是偶函數(shù)，非奇非偶，而和為奇函數(shù).

⑶反正切函數(shù)：，定義域，值域（），是奇函數(shù)，

，?

注：，.

⑷反余切函數(shù)：，定義域，值域（），是非奇非偶.

，（

注：①，.

②與互為奇函數(shù)，同理為奇而與非奇非偶但滿足.

⑵正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集：

的取值范圍解集的取值范圍解集

①的解集②的解集

>1>1

<1<1

③的解集：

③的解集：

二、三角恒等式.

sin3a=3sin<z-4sin3a

組一cos3a=4cos3a-3cosa

組二

組三三角函數(shù)不等式

<<在上是減函數(shù)

若,則

高中數(shù)學第五章-平面向量

考試內(nèi)容：

向量.向量的加法與減法.實數(shù)與向量的積.平面向量的坐標表示.線段的定比分點.平面

向量的數(shù)量積.平面兩點間的距離、平移.

考試要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的兒何表示，了解共線向量的概念.

（2）掌握向量的加法和減法.

（3）掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算.

（5）掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、

角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.

（6）掌握平面兩點間的距離公式，以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用

掌握平移公式.

§05.平面向量知識要點

1.本章知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法；字母表示：a；

坐標表示法a—xi+yj=(x,y).

(3)向量的長度：即向量的大小，記作IaI.

(4)特殊的向量：零向量a=0IaI=0.

單位向量0。為單位向量Ia?I=1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(X”為)=(丫2,尸2)

(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作平行向量也稱

為共線向量.

3.向量的運算

運算類型幾何方法坐標方法運算性質(zhì)

向量的1.平行四邊形法則

加法2.三角形法則

向量的

三角形法則

減法>

數(shù)1.是一個向量，滿足：

乘2.〉0時，同向；

向<0時,異向；

JS.

里=0時,.

向

量是一個數(shù)

的1.時，

數(shù)

JSL

里2.

積

4.重要定理、公式

(1)平面向量基本定理

a,e?是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內(nèi)任一向量，有且僅有一

對實數(shù)人，

42,使。=^262.

(2)兩個向量平行的充要條件

a//ba—ab(b#0)xy—x2yi=0.

(3)兩個向量垂直的充要條件

aLba,6=0?工2+>|第=0.

(4)線段的定比分點公式

設(shè)點。分有向線段所成的比為1，即=4，則

=+(線段的定比分點的向量公式)

(線段定比分點的坐標公式)

當4=1時，得中點公式：

=(+)或

(5)平移公式

設(shè)點。(x,y)按向量a=(力，k)平移后得到點〃(/，y'),

則=+a或

曲線y=/(x)按向量a=(力，k)平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：

y—k=f(x—h)

(6)正、余弦定理

正弦定理：

余弦定理：a2=b'+c'—2bccosA,

b—c~+a—2cacosB,

c'—a'+h'—2abcosC.

(7)三角形面積計算公式：

設(shè)AABC的三邊為a,b,c,其高分別為兒，hb,人,半周長為P,外接圓、內(nèi)切圓的半徑

為R,r.

①Svl/2ah“=l/2bhb=l/lchc②?S^=ahc/4R

@SA=l/2sinC,ab=J/2ac,sinB=l/2cb,sirv4⑤1$△=［海倫公式］

@SA=1/2(b+c-a)如下圖］=1/2(b+a-c)rc=l/2(a+c-fe)",

［注］:到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內(nèi)心，其余3個是旁心.

如圖:A

E

CaB

圖1中的/為SAABC的內(nèi)心，S3Pr

AABCA

圖2中的/為S的一個旁心，S=〃2(h+c-a)ru

附：三角形的五個“心”；

重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.

內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點.

垂心：三角形三邊上的高相交于一點.

旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點.

⑸已知。。是AABC的內(nèi)切圓，若BC=a,AC=b,A8=c［注：s為△48C的半周長，即］

則：①AE==l/2(b+c-a)

②BN==l/2(a+c-b^

@FC==1/2Ca+b-c)

綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊(如圖4).

特例：已知在放△ABC,c為斜邊，則內(nèi)切圓半徑r=(如圖3).

⑹在aABC中，有下列等式成立.

證明：因為所以，所以，結(jié)論！

⑺在△ABC中，。是BC上任意一點，則.

證明：在中，由余弦定理，有①

在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化簡

可得，(斯德瓦定理)

圖5

①若A。是BC上的中線，；

②若AO是/A的平分線，，其中為半周長；

③若AO是8c上的高，，其中為半周長.

（8）AABC的判定：

△ABC為直角ANA+ZB=

〈△A8C為鈍角a/A+ZB<

>△48（；為銳角ZB>

附：證明：，得在鈍角△ABC中，

⑼平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.

空間向量

1.空間向量的概念：

具有大小和方向的量叫做向量

注：⑴空間的一個平移就是一個向量

⑵向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量

⑶空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示

2.空間向量的運算

定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下

運算律：⑴加法交換律：

⑵加法結(jié)合律：

⑶數(shù)乘分配律：

3共線向量

表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平

行向量.平行于記作.

當我們說向量、共線（或〃）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也

可能是平行直線.

4.共線向量定理及其推論：

共線向量定理：空間任意兩個向量、（W），//的充要條件是存在實數(shù)心使=九

推論：如果為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點。，點尸

在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式

其中向量叫做直線的方向向量.

5.向量與平面平行：

已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：.

通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量

說明：空間任意的兩向量都是共面的

6.共面向量定理：

如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數(shù)使

推論：空間一點位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使或?qū)臻g任一點，

有①

①式叫做平面的向量表達式

7空間向量基本定理：

如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使

推論：設(shè)是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個

有序?qū)崝?shù)，使

8空間向量的夾角及其表示：

已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有;

若，則稱與互相垂直，記作：.

9.向量的模：

設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.

10.向量的數(shù)量積：.

已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫

做向量在軸上或在上的正射影.

可以證明的長度.

11.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：

(1).(2).(3).

12.空間向量數(shù)量積運算律:

（1）.（2）（交換律）（3）（分配律）.

空間向量的坐標運算

—.知識回顧：

（1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標），y軸是縱軸（對

應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標）.

①令=（a1,即,〃3）,，則

//

（用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：）

②空間兩點的距離公式：.

（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向

量叫做平面的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，

其中，則點B到平面的距離為.

②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所

求二面角的平面角或其補角大?。ǚ较蛳嗤?，則為補角，反方，則為其夾角）.

③證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且CDE三點不共線，則a〃的充要條件是存

在有序?qū)崝?shù)對使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.

高中數(shù)學第六章-不等式

考試內(nèi)容：

不等式.不等式的基本性質(zhì).不等式的證明.不等式的解法.含絕對值的不等式.

考試要求：

(1)理解不等式的性質(zhì)及其證明.

(2)掌握兩個(不擴展到三個)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會

簡單的應(yīng)用.

(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式.

(4)掌握簡單不等式的解法.

(5)理解不等式|a|-|b|W|a+b|W|a|+|b|

§06.不等式知識要點

1.不等式的基本概念

(1)不等(等)號的定義：

(2)不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.

(3)同向不等式與異向不等式.

(4)同解不等式與不等式的同解變形.

2.不等式的基本性質(zhì)

(1)(對稱性)

(2)(傳遞性)

(3)(加法單調(diào)性)

(4)(同向不等式相加)

(5)(異向不等式相減)

(6)

(7)(乘法單調(diào)性)

(8)(同向不等式相乘)

(異向不等式相除)

(倒數(shù)關(guān)系)

(11)(平方法則)

(12)(開方法則)

3.幾個重要不等式

(1)

（2）（當僅當a=b時取等號）

（3）如果a,b都是正數(shù)，那么（當僅當a=b時取等號）

極值定理：若則：

①如果P是定值，那么當，時，S的值最?。?/p>

②如果S是定值，那么當x=）?時，P的值最大.

利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.

（當僅當a=b=c時取等號）

（當僅當a=b時取等號）

（7）

4.兒個著名不等式

（1）平均不等式：如果a力都是正數(shù)，那么（當僅當a=b時取等號）即：平方平均與

算術(shù)平均》幾何平均》調(diào)和平均（°、。為正數(shù)）：

特別地，（當a=6時，）

事平均不等式：

注：例如：.

常用不等式的放縮法：①

②

（2）柯西不等式：

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f（x）,對于定義域中任意兩點有

則稱f（x）為凸（或凹）函數(shù).

5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.

步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.

特例①一元一次不等式以＞人解的討論；

②一元二次不等式ax+bx+c>O(a^O)解的討論.

(2)分式不等式的解法：先移項通分標準化，則

(3)無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

?(§)

(4).指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

(5)對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

(6)含絕對值不等式

①應(yīng)用分類討論思想去絕對值；②應(yīng)用數(shù)形思想;

③應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化

注：常用不等式的解法舉例G為正數(shù))：

②

類似于，③

高中數(shù)學第七章-直線和圓的方程

考試內(nèi)容：

直線的傾斜角和斜率，直線方程的點斜式和兩點式.直線方程的一般式.

兩條直線平行與垂直的條件.兩條直線的交角.點到直線的距離.

用二元一次不等式表示平面區(qū)域.簡單的線性規(guī)劃問題.

曲線與方程的概念.由已知條件列出曲線方程.

圓的標準方程和一般方程.圓的參數(shù)方程.

考試要求：

（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點

斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程.

（2）掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式能夠根據(jù)

直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系.

（3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.

（4）了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用.

（5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標法.

（6）掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程.

§07.直線和圓的方程知識要點

一、直線方程.

1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，

其中直線與軸平行或重合時，其傾斜角為o,故直線傾斜角的范圍是.

注：①當或時，直線垂直于軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的宜線不存在斜率外，其余每?條直線都有

惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應(yīng)確定.

2.直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.

特別地，當直線經(jīng)過兩點，即直線在軸，軸上的截距分別為時，直線方程是：.

注：若是一直線的方程，則這條直線的方程是，但若則不是這條線.

附：直線系：對于直線的斜截式方程，當均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定的直線，如果

變化時，對應(yīng)的直線也會變化.①當為定植，變化時，它們表示過定點（0,）的直線束.②當

為定值，變化時，它們表示一-組平行直線.

3.⑴兩條直線平行：

〃兩條直線平行的條件是：①和是兩條不重合的直線.②在和的斜率都存在的前提下得到的.

因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導致結(jié)論的錯誤.

(一般的結(jié)論是：對于兩條直線，它們在軸上的縱截距是，則〃，且或的斜率均不存在，即

是平行的必要不充分條件，且)

推論：如果兩條直線的傾斜角為則〃.

⑵兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線和的斜率分別為和，則有這里的前提是的斜率都存在.

②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.(即是垂直的充要條件)

4.直線的交角：

⑴直線到的角(方向角)；直線到的角，是指直線繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時所轉(zhuǎn)

動的角，它的范圍是，當時.

⑵兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個角中最小的正

角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是，當，則有.

5.過兩直線的交點的直線系方程為參數(shù)，不包括在內(nèi))

6.點到直線的距離：

⑴點到直線的距離公式：設(shè)點，直線到的距離為，則有.

注：

1.兩點P|(X|,yi)、P2(X”2)的距離公式：.

特例：點P(x,y)到原點0的距離：

2.定比分點坐標分式。若點P(x,y)分有向線段淇中Pi(X|,yi)R(X2,y2)4iJ

特例，中點坐標公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標公式。

3.直線的傾斜角(0°<<180°)、斜率：

4.過兩點.

當(即直線和x軸垂直)時，直線的傾斜角=,沒有斜率

⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線，它們之間的距離為，則有.

注；直線系方程

I.與直線：Ar+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+"?=0.(機eR,C*/n).

2.與直線：Ar+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+〃?=0.(zneR)

3.過定點(小J|)的直線系方程是：A(x-Xi)+B(y-yD=0(A,B不全為0)

4.過直線/]、心交點的直線系方程：(A[X+B].y+Ci)+入(Ajx+B^+C?)=0(aeR)注：

該直線系不含12.

7.關(guān)于點對稱和關(guān)于某直線對稱：

⑴關(guān)于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.

⑵關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱

直線距離相等.

若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.

⑶點關(guān)于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程①），過兩對

稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對稱點.

注：①曲線、直線關(guān)于直線（）對稱的解法：y換x,x換y.例：曲線/（x,），）=0關(guān)于直線

y=x-2對稱曲線方程是如+2-2）=0.

②曲線C:八X,y）=0關(guān)于點（a,b）的對稱曲線方程是/（a-x,2b-y）=0.

二、圓的方程.

1.⑴曲線與方程：在直角坐標系中，如果某曲線上的與一個二元方程的實數(shù)建立了如下關(guān)

系：

①曲線上的點的坐標都是這個方程的解.

②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.

⑵曲線和方程的關(guān)系，實質(zhì)上是曲線上任一點其坐標與方程的一種關(guān)系，曲線上任一點是方

程的解：反過來，滿足方程的解所對應(yīng)的點是曲線上的點.

注：如果曲線C的方程是f（x,y）=0,那么點Po（x（）,y）線C