數(shù)學(xué)學(xué)案：對(duì)數(shù)及其運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。2.1對(duì)數(shù)及其運(yùn)算1．對(duì)數(shù)的概念在指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）中,對(duì)于實(shí)數(shù)集R內(nèi)的每一個(gè)值x，在正實(shí)數(shù)集內(nèi)都有唯一確定的值y和它對(duì)應(yīng);反之，對(duì)于正實(shí)數(shù)集內(nèi)的每一個(gè)確定的值y，在R內(nèi)都有唯一確定的值x和它對(duì)應(yīng)．因此,在式子y＝ax中，冪指數(shù)x又叫做以a為底y的對(duì)數(shù)．例如:因?yàn)?2＝16，所以2是以4為底16的對(duì)數(shù)；因?yàn)?1＝4,所以1是以4為底4的對(duì)數(shù)；因?yàn)?，所以－eq\f（1，2)是以4為底eq\f(1,2）的對(duì)數(shù)．一般地，對(duì)于指數(shù)式ab＝N，我們把“以a為底N的對(duì)數(shù)b”記作logaN,即b＝logaN（a＞0，且a≠1）．其中，數(shù)a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù),讀作“b等于以a為底N的對(duì)數(shù)”．對(duì)數(shù)的定義可以從以下三個(gè)方面來理解：（1）對(duì)數(shù)式b＝logaN是指數(shù)式N＝ab的另一種表達(dá)形式,其本質(zhì)相同．對(duì)數(shù)式中的真數(shù)N就是指數(shù)式中的冪值N，而對(duì)數(shù)式中的對(duì)數(shù)b就是指數(shù)式中的指數(shù)b，對(duì)數(shù)式與指數(shù)式中各個(gè)量的關(guān)系如圖所示．(2）對(duì)于對(duì)數(shù)式b＝logaN,只有在a＞0,且a≠1，N＞0時(shí)才有意義．①當(dāng)a＜0，N為某些數(shù)值時(shí)，b不存在，如(－2)x＝3沒有實(shí)數(shù)解,所以log(－2)3不存在,為此，規(guī)定a不能小于0，并且由指數(shù)函數(shù)的定義也可知a不能小于0。②當(dāng)a＝0,且N≠0時(shí)，logaN不存在，為此,規(guī)定a≠0。③當(dāng)a＝1，且N不為1時(shí)，b不存在，如log12不存在；而a＝1,N＝1時(shí)，b可以為任何實(shí)數(shù)，不能確定．為此，規(guī)定a≠1.④在logaN＝b中，必須N＞0。這是由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù),因而在ab＝N中，N總是正數(shù)；0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)．(3）指數(shù)式、對(duì)數(shù)式中各個(gè)字母的名稱變化如下表：式子名稱abN指數(shù)式ab＝N底數(shù)指數(shù)冪值對(duì)數(shù)式b＝logaN底數(shù)對(duì)數(shù)真數(shù)【例1－1】已知3m＝7,則有（)A．3＝log7mB．7＝log3mC．m＝log73D．m＝log37解析:由于ax＝Nx＝logaN，則3m＝7m＝log37.答案：D【例1－2】完成下表指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)換．題號(hào)指數(shù)式對(duì)數(shù)式(1)103＝1000（2）log39＝2(3）log210＝x解析：(1）103＝1000log101000＝3；（2）log39＝232＝9；（3）log210＝x2x＝10.答案：（1）log101000＝3;（2)32＝9；（3)2x＝10?！纠?－3】求下列各式中x的值:(1)log2(log5x)＝0；(2）logx27＝；（3)x＝log84.解：(1）∵log2（log5x）＝0，∴l(xiāng)og5x＝1?！鄕＝51＝5。(2)∵logx27＝,∴＝27。∴x＝＝34＝81.(3)∵x＝log84，∴8x＝4.∴23x＝22?！?x＝2，即。2．對(duì)數(shù)恒等式與對(duì)數(shù)的性質(zhì)（1)根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,可得對(duì)數(shù)恒等式.例如等．需注意,當(dāng)冪的底數(shù)和對(duì)數(shù)的底數(shù)相同時(shí)，對(duì)數(shù)恒等式才適用．（2)根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,對(duì)數(shù)logaN(a＞0，且a≠1）具有下列性質(zhì)：①零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即N＞0;②1的對(duì)數(shù)為0,即loga1＝0；③底的對(duì)數(shù)等于1，即logaa＝1.【例2】已知log7［log3（log2x)］＝0，那么等于(）A．B．C．D．解析:由log7［log3(log2x）］＝0,得log3（log2x)＝1，∴l(xiāng)og2x＝3，∴x＝23＝8.∴.答案：C3．常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)（1）以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)．為了簡(jiǎn)便，通常把底數(shù)10略去不寫，并把“l(fā)og”寫成“l(fā)g”，即把log10N記作lgN.①以后如果沒有特別指出對(duì)數(shù)的底，都是指常用對(duì)數(shù)．例如：100的對(duì)數(shù)是2，就是指100的常用對(duì)數(shù)是2,即lg100＝2.②常用對(duì)數(shù)的性質(zhì)：(?。﹍g1＝0;（ⅱ）lg10＝1;(ⅲ）10lgN＝N(N＞0）．(2)以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)(其中e＝2.71828…)．logeN通常記作lnN.自然對(duì)數(shù)有如下性質(zhì):①lne＝1;②elna＝a(a＞0）．【例3】有以下四個(gè)結(jié)論：①lg（lg10）＝0；②ln(lne）＝0；③若10＝lgx，則x＝10；④若e＝lnx，則x＝e2。其中正確的是（）A．①③B．②④C．①②D．③④答案：C4．對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a＞0，且a≠1，M＞0,N＞0，那么：(1）loga（MN)＝logaM＋logaN.對(duì)于（1)，又可表述為：正因數(shù)積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)的各因數(shù)對(duì)數(shù)的和（簡(jiǎn)言之：積的對(duì)數(shù)等于對(duì)數(shù)的和)．此性質(zhì)可以推廣到若干個(gè)正因數(shù)的積：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk.(2）＝logaM－logaN.對(duì)于（2），又可表述為：兩個(gè)正數(shù)商的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)的被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)(簡(jiǎn)言之：商的對(duì)數(shù)等于對(duì)數(shù)的差）．(3)logaMα＝αlogaM。對(duì)于（3），又可表述為：正數(shù)冪的對(duì)數(shù)等于冪指數(shù)乘以同一底數(shù)冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)．由（3)可推出對(duì)數(shù)的幾個(gè)常用結(jié)論:①logaeq\r(n，M)＝eq\f(1,n）logaM；②logaeq\f(1,M）＝－logaM;③logaeq\r（p,Mn）＝eq\f(n,p）logaM，其中M＞0，n，p∈N＋,n，p＞1.談重點(diǎn)牢記對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及其成立的條件1．要把握好對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及其成立的條件，特別是經(jīng)常將對(duì)數(shù)的加減乘除與真數(shù)的加減乘除混淆．注意：loga(MN）≠（logaM）(logaN）；loga（M＋N）≠logaM＋logaN；logaeq\f(M,N)≠eq\f(logaM,logaN).2．指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)對(duì)比表:指數(shù)對(duì)數(shù)性質(zhì)am·an＝am＋nloga（MN）＝logaM＋logaNeq\f（am，an)＝am－nlogaeq\f（M，N）＝logaM－logaN(am)n＝amnlogaMn＝nlogaM3．對(duì)數(shù)運(yùn)算法則口訣：積的對(duì)數(shù)變加法，商的對(duì)數(shù)變減法；冪的乘方取對(duì)數(shù)，要把指數(shù)提到前．【例4－1】計(jì)算：(1）2log122＋log123；(2）lg500－lg5.解：(1）原式＝log1222＋log123＝log124＋log123＝log1212＝1。（2)原式＝＝lg100＝lg102＝2lg10＝2.【例4－2】已知lg2＝0。3010，lg3＝0.4771,求.分析:可以將轉(zhuǎn)化為只含有l(wèi)g2和lg3的形式．解：∵＝＝lg(5×9)＝（lg5＋lg9）＝＝（1－lg2＋2lg3）,又∵lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，∴l(xiāng)geq\r(45）＝eq\f(1，2）（1－0。3010＋2×0。4771）＝0。8266.點(diǎn)技巧巧用常用對(duì)數(shù)的變形由于lg2＋lg5＝lg10＝1，所以lg5＝1－lg2，這是在對(duì)數(shù)運(yùn)算中經(jīng)常用到的結(jié)論．5．換底公式（1)設(shè)logbN＝x，則bx＝N。兩邊取以a為底的對(duì)數(shù),得logabx＝logaN，得xlogab＝logaN，所以x＝eq\f(logaN,logab），即logbN＝eq\f（logaN，logab).即換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab）。(2)公式作用：利用換底公式可以把不同底的對(duì)數(shù)化為同底的對(duì)數(shù),這是解決關(guān)于對(duì)數(shù)運(yùn)算問題的基本思想方法．【例5－1】的值是（)A．B．C．1D．2解析：思路一:將分子、分母利用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)，即。思路二:將分母利用換底公式轉(zhuǎn)化為以2為底的對(duì)數(shù)，即.答案：A【例5－2】計(jì)算。解：原式＝＝－12.6．對(duì)數(shù)定義中的隱含條件根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，對(duì)數(shù)符號(hào)logaN中實(shí)數(shù)a和N滿足的條件是底數(shù)a是不等于1的正實(shí)數(shù)，真數(shù)N是正實(shí)數(shù)．因此討論對(duì)數(shù)問題時(shí)，首先要注意對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)滿足的隱含條件．【例6】已知對(duì)數(shù)log(1－a)(a＋2)有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,得解得－2＜a＜0或0＜a＜1.答案：(－2，0)∪（0，1)7．對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)、求值問題（1)同底數(shù)的對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值一是“拆"，將積、商的對(duì)數(shù)拆成對(duì)數(shù)的和、差．如log3eq\f(9，5)＋log35＝log39－log35＋log35＝log39＝2.二是“收”，將同底數(shù)的對(duì)數(shù)和、差合成積、商的對(duì)數(shù)．如，log3eq\f（9,5）＋log35＝log3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(9，5)×5)）＝log39＝2.三是“拆”與“收"相結(jié)合．(2)不同底數(shù)的對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值常用方法是利用換底公式,轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)式．通常是先分別換底,化簡(jiǎn)后再將底數(shù)統(tǒng)一進(jìn)行計(jì)算．也可以在方向還不清楚的情況下，統(tǒng)一將不同的底換為常用對(duì)數(shù)等，再進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值．對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值,要靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)、換底公式和一些常見的結(jié)論，如lg2＋lg5＝1,logab·logba＝1等．【例7】求下列各式的值:（1);（2）2log32－＋log38－log5125;（3）log2(1＋＋)＋log2（1＋－)．分析：根據(jù)各個(gè)式子的特點(diǎn)，綜合運(yùn)用積、商、冪的對(duì)數(shù)公式變形求解．解：(1）原式＝.（2)原式＝2log32－（log325－log332)＋log323－log553＝2log32－(5log32－2）＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(3)log2（1＋＋)＋log2(1＋－)＝log2［（1＋＋）(1＋－）］＝log2[(1＋）2－()2]＝＝＝。點(diǎn)技巧對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算時(shí)，通常要將底數(shù)、真數(shù)進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解,將不同底數(shù)化為同底數(shù)，在計(jì)算過程中常常會(huì)逆用運(yùn)算法則．8．利用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)用對(duì)數(shù)logax和logby等表示其他對(duì)數(shù)時(shí)，首先仔細(xì)觀察a，b和所要表示的對(duì)數(shù)底數(shù)的關(guān)系，利用換底公式把所要表示的對(duì)數(shù)底數(shù)換為a，b.解決此類題目時(shí)，通常用到對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)總結(jié)：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：loga(MN)＝logaM＋logaN；logaeq\f（M，N）＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM（n∈R)．換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab）(a＞0，且a≠1;b＞0,且b≠1;N＞0)．【例8－1】已知lg2＝a，lg3＝b,則log36＝（）A．B．C．D．解析：由換底公式得.答案:B【例8－2】已知log189＝a,18b＝5，求log3645。（用a，b表示)解:∵18b＝5，∴b＝log185。∴。點(diǎn)技巧巧用換底公式巧用換底公式是解決本題的關(guān)鍵，其中“l(fā)og182＝log18eq\f（18，9)＝1－log189＝1－a”是點(diǎn)睛之筆．9．與對(duì)數(shù)有關(guān)的方程的求解問題關(guān)于對(duì)數(shù)的方程有三類：第一類是形如關(guān)于x的方程logaf（x）＝b，通常將其化為指數(shù)式f(x）＝ab,這樣解關(guān)于x的方程f(x)＝ab即可，最后要注意驗(yàn)根．例如：解方程log64eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(15，16）))＝－eq\f(2,3)，將其化為指數(shù)式為，又,則x－eq\f（15，16)＝eq\f（1，16)，所以x＝1，經(jīng)檢驗(yàn)x＝1是原方程的根．第二類是形如關(guān)于x的方程logf（x)n＝b，通常將其化為指數(shù)式[f(x）]b＝n，這樣解關(guān)于x的方程［f(x）]b＝n即可，最后要注意驗(yàn)根．例如,解方程log（1－x)4＝2，將其化為指數(shù)式為(1－x）2＝4，解得x＝3或x＝－1，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是增根，原方程的根是x＝－1.第三類是形如關(guān)于x的方程f（logax)＝0,通常利用換元法，設(shè)logax＝t,轉(zhuǎn)化為解方程f（t)＝0得t＝p的值，再解方程logax＝p,化為指數(shù)式則x＝ap,最后要注意驗(yàn)根．【例9－1】解方程lg2x－lgx2－3＝0。分析：利用換元法，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程．解：原方程可化為lg2x－2lgx－3＝0.設(shè)lgx＝t,則有t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3,∴l(xiāng)g