四川省內江市2024-2025學年高二上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題

2024-2025學年四川省內江市高二（上）第一次聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題:本題共9小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．（5分）在平面直角坐標系中，圓心為（1，0），半徑為2的圓的方程是（）A．（x﹣1）2+y2＝2 B．（x+1）2+y2＝2 C．（x﹣1）2+y2＝4 D．（x+1）2+y2＝42．（5分）直線x﹣y+2＝0與x+y﹣2＝0的交點坐標是（）A．（0，2） B．（2，0） C．（1，1） D．（﹣1，1）3．（5分）已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，則下列點在圓C內的是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（2，1） D．（，）4．（5分）已知空間中點A（x，1，2）和點B（2，3，4），且，則實數(shù)x的值是（）A．6或﹣2 B．﹣6或2 C．3或﹣4 D．﹣3或45．（5分）過點（1，2），且與直線x+2y+2＝0垂直的直線方程為（）A．2x﹣y＝0 B．x﹣2y+3＝0 C．2x+y﹣4＝0 D．x+2y﹣5＝06．（5分）已知向量，分別為平面α和平面β的法向量，則平面α與平面β的夾角為（）A．30° B．45° C．60° D．120°7．（5分）一條光線從點P（5，3）射出，與x軸相交于點Q（2，0），經(jīng)x軸反射，則反射光線所在直線的方程為（）A．x+y﹣2＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x﹣y+2＝0 D．x+y+2＝08．（5分）已知（m，n）為直線x+y﹣1＝0上的一點，則的最小值為（）A． B． C．4 D．9．已知直線l：2x+（a﹣3）y﹣a﹣1＝0，當原點O到l的距離最大時，l的方程為（）A．2x+y﹣5＝0 B．x+2y﹣4＝0 C．3x﹣4y+2＝0 D．4x﹣2y+1＝0二、多選題：本題共4小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。（多選）10．（6分）已知向量，，則下列結論正確的是（）A．若，則m＝4，n＝﹣4 B．若，則m＝﹣4，n＝4 C．若，則m﹣n+1＝0 D．若，則n﹣m+1＝0（多選）11．（6分）下列說法正確的有（）A．若直線y＝kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，則（k，b）在第二象限 B．任何一條直線都有傾斜角，都存在斜率 C．過點（2，﹣1）斜率為﹣的點斜式方程為y+1＝﹣（x﹣2） D．直線的斜率越大，傾斜角越大（多選）12．（6分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E、F、G分別是棱AA1、D1C1、BC的中點，下列結論正確的有（）A．A1C1∥平面EFG B．B1D⊥平面EFG C．過E、F、G三點所得正方體的截面的面積為3 D．平面EFG與平面ABCD所成角的正切值為（多選）13．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，則下列說法正確的是（）A．直線BC1與CA1所成的角為90° B．點B與平面ACB1的距離為 C．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為30° D．平面ACD1與平面ABCD所成的角為45°三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共15分。14．（5分）若＝（﹣1，λ，﹣2）與＝（2，﹣1，1）的夾角為120°，則λ的值為．15．（5分）若直線2x﹣y+a＝0始終平分圓x2+y2﹣4x+4y＝0的周長，則a的值為．16．（5分）如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且，，，則x+y+z＝．17．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是線段B1C1，A1D的中點，設．用表示＝．四、解答題18．（13分）已知直線l1：ax﹣（a﹣4）y+2＝0，直線l2：2x+ay﹣1＝0．（1）若l1∥l2，求實數(shù)a的值；（2）若l1⊥l2，求實數(shù)a的值．19．（15分）在△ABC中，BC邊上的高所在的直線的方程為x﹣2y+1＝0，角A的平分線所在直線的方程為y＝0，若點B的坐標為（1，2）．（1）求點A的坐標．（2）求直線BC的方程．20．（15分）已知兩直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x+2y﹣5＝0．（1）求過兩直線的交點，且垂直于直線3x+4y﹣5＝0的直線方程；（2）已知兩點A（﹣1，1），B（0，2），動點P在直線l1上運動，求|PA|+|PB|的最小值．21．（17分）已知圓C：x2+y2+ax﹣3＝0，圓心坐標為（1，0）．（1）求圓C的一般方程；（2）若點P為圓C上的動點，定點Q（﹣1，4），求滿足條件﹣＝的點M的軌跡方程并判斷它的形狀．22．（17分）如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ＝2AB＝2，點E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點．（1）求證：EF∥平面CPM；（2）求平面QPM與平面CPM夾角的正弦值；（3）若N為線段CQ上的點，且直線DN與平面QPM所成的角為，求N到平面CPM的距離．

2024-2025學年四川省內江市高二（上）第一次聯(lián)考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單選題:本題共9小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．（5分）在平面直角坐標系中，圓心為（1，0），半徑為2的圓的方程是（）A．（x﹣1）2+y2＝2 B．（x+1）2+y2＝2 C．（x﹣1）2+y2＝4 D．（x+1）2+y2＝4【分析】由圓心和半徑直接確定圓的方程．【解答】解：由題意可得方程為（x﹣1）2+y2＝4．故選：C．【點評】本題考查的知識點：圓的方程，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．2．（5分）直線x﹣y+2＝0與x+y﹣2＝0的交點坐標是（）A．（0，2） B．（2，0） C．（1，1） D．（﹣1，1）【分析】建立方程組進行求解即可求出直線交點坐標．【解答】解：由得，即交點坐標為（0，2），故選：A．【點評】本題主要考查直線交點坐標的計算，轉化為方程組是解決本題的關鍵．3．（5分）已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，則下列點在圓C內的是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（2，1） D．（，）【分析】由題意，將選項點的坐標代入圓的方程，可得結論．【解答】解：由題意圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，將（，）代入圓的方程，可得（﹣1）2+（﹣1）2＝＜1，所以（，）在圓C內，故選：D．【點評】本題考查點與圓的位置關系，考查學生的計算能力，比較基礎．4．（5分）已知空間中點A（x，1，2）和點B（2，3，4），且，則實數(shù)x的值是（）A．6或﹣2 B．﹣6或2 C．3或﹣4 D．﹣3或4【分析】根據(jù)空間中兩點間的距離公式，列出方程求出實數(shù)x的值．【解答】解：點A（x，1，2）和點B（2，3，4），且，∴＝2，化簡得（x﹣2）2＝16，解得x＝6或x＝﹣2，∴實數(shù)x的值是6或﹣2．故選：A．【點評】本題考查了空間中兩點間的距離公式與應用問題，是基礎題目．5．（5分）過點（1，2），且與直線x+2y+2＝0垂直的直線方程為（）A．2x﹣y＝0 B．x﹣2y+3＝0 C．2x+y﹣4＝0 D．x+2y﹣5＝0【分析】與直線x+2y+2＝0垂直的直線方程的斜率k＝2，由此能求出過點P（1，2）與直線x+2y+2＝0垂直的直線方程．【解答】解：∵與直線x+2y+2＝0垂直的直線方程的斜率k＝2，∴過點P（1，2）與直線x+2y+2＝0垂直的直線方程為：y﹣2＝2（x﹣1），整理，得2x﹣y＝0．故選：A．【點評】本題考查直線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意直線與直線垂直的性質的合理運用6．（5分）已知向量，分別為平面α和平面β的法向量，則平面α與平面β的夾角為（）A．30° B．45° C．60° D．120°【分析】根據(jù)坐標可求出，根據(jù)夾角的范圍以及平面的夾角與平面法向量之間的關系即可求出答案．【解答】解：由已知可得，，，所以．設θ為平面α與平面β的夾角，則θ∈[0°，90°]，又，所以θ＝60°．故選：C．【點評】本題主要考查二面角以及空間向量的運用，屬于中檔題．7．（5分）一條光線從點P（5，3）射出，與x軸相交于點Q（2，0），經(jīng)x軸反射，則反射光線所在直線的方程為（）A．x+y﹣2＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x﹣y+2＝0 D．x+y+2＝0【分析】由題意利用反射定律，可得反射光線所在直線經(jīng)過點Q（2，0），點P′（5，﹣3），再用兩點式求得反射光線QP′所在的直線方程．【解答】解：由題意可得反射光線所在直線經(jīng)過點Q（2，0），設點P（5，3）關于x軸的對稱點為P′（5，﹣3），則根據(jù)反射定律，點P′（5，﹣3）在反射光線所在直線上，故反射光線所在直線的方程為＝，即x+y﹣2＝0，故選：A．【點評】本題主要考查反射定律，用兩點式求直線的方程，屬于基礎題．8．（5分）已知（m，n）為直線x+y﹣1＝0上的一點，則的最小值為（）A． B． C．4 D．【分析】轉化為兩點間的距離之和，求出對稱點，即可求解結論．【解答】解：設P（m，n）為直線x+y﹣1＝0上的一點，則為點P（m，n）到原點O和到點A（﹣2，0）的距離之和，即|PO|+|PA|．設O（0，0）關于直線x+y﹣1＝0對稱的點為B（a，b），則，得，即B（1，1）．易得|PO|＝|PB|，當A，P，B三點共線時，|PO|+|PA|取到最小值，且最小值為．故選：A．【點評】本題主要考查點關于直線的對稱點，考查計算能力，屬于基礎題．9．已知直線l：2x+（a﹣3）y﹣a﹣1＝0，當原點O到l的距離最大時，l的方程為（）A．2x+y﹣5＝0 B．x+2y﹣4＝0 C．3x﹣4y+2＝0 D．4x﹣2y+1＝0【分析】首先求出直線l過定點A（2，1），然后當OA⊥l時，原點O到l的距離最大，即可求解．【解答】解；由2x+（a﹣3）y﹣a﹣1＝0可得2x﹣3y﹣1+a（y﹣1）＝0，令，解得，故直線l過定點A（2，1），當OA⊥l時，原點O到l的距離最大，因為，所以直線l的斜率為﹣2，所以直線l的方程為y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0．故選：A．【點評】本題主要考查恒過定點的直線，屬于基礎題．二、多選題：本題共4小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。（多選）10．（6分）已知向量，，則下列結論正確的是（）A．若，則m＝4，n＝﹣4 B．若，則m＝﹣4，n＝4 C．若，則m﹣n+1＝0 D．若，則n﹣m+1＝0【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示計算得出m，n的值判斷A，B；根據(jù)向量垂直的坐標表示計算得出m，n的關系判斷C，D．【解答】解：若，則，得m＝4，n＝﹣4，故A正確，B錯誤；若，則，即m﹣n+1＝0，故C正確，D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查空間向量的坐標運算，屬于基礎題．（多選）11．（6分）下列說法正確的有（）A．若直線y＝kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，則（k，b）在第二象限 B．任何一條直線都有傾斜角，都存在斜率 C．過點（2，﹣1）斜率為﹣的點斜式方程為y+1＝﹣（x﹣2） D．直線的斜率越大，傾斜角越大【分析】A中，由直線y＝kx+b過第一、二、四象限得出k、b的取值范圍，判斷點（k，b）所在象限；B中，說明傾斜角為90°時斜率不存在；C中，由點斜式方程寫出對應的直線方程；D中，在[0°，180°）時，直線的斜率越大，不滿足傾斜角也越大．【解答】解：對于A，若直線y＝kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，則k＜0，b＞0，所以點（k，b）在第二象限，選項A正確；對于B，任何一條直線都有傾斜角，但是不一定都存在斜率，如傾斜角為90°時斜率不存在，所以選項B錯誤；對于C，由點斜式方程知，過點（2，﹣1）斜率為﹣的點斜式方程為y+1＝﹣（x﹣2），所以選項C正確；對于D，在[0°，90°）內，直線的斜率越大，傾斜角就越大；在（90°，180°）時，直線的斜率越大，傾斜角也越大；在[0°，180°）時，直線的斜率越大，不滿足傾斜角也越大；所以選項D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查了直線方程的應用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是基礎題．（多選）12．（6分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E、F、G分別是棱AA1、D1C1、BC的中點，下列結論正確的有（）A．A1C1∥平面EFG B．B1D⊥平面EFG C．過E、F、G三點所得正方體的截面的面積為3 D．平面EFG與平面ABCD所成角的正切值為【分析】取A1D1，C1C，AB的中點M，N，K，由正方體的結構特征可知E，M，F(xiàn)，N，G，K共面，且為正六邊形．由MF∥A1C1，得A1C1∥平面EFG，A選項正確；通過證明平面EFG∥平面A1C1B，B1D⊥平面A1C1B，得B1D⊥平面EFG，B選項正確；正六邊形EMFNGK的邊長為，然后求出截面的面積即可判斷C；因為B1D⊥平面EFG，B1B⊥平面ABCD，所以平面EFG與平面ABCD所成角等于直線B1D與B1B所成角，解直角三角形DB1B即可．【解答】解：取A1D1，C1C，AB的中點M，N，K，由正方體的結構特征可知E，M，F(xiàn)，N，G，K共面，且為正六邊形．A選項，因為MF∥A1C1，A1C1?平面EFG，MF?平面EFG，所以A1C1∥平面EFG，正確；B選項，因為MF∥A1C1，EK∥A1B，所以MF∥平面A1C1B，EK∥平面A1C1B，又MF與EK為相交直線，所以平面EFG∥平面A1C1B，正確；在正方體中，B1D⊥平面A1C1B，所以B1D⊥平面EFG．C選項，正六邊形EMFNGK的邊長為，所以面積為，正確．D選項，因為B1D⊥平面EFG，B1B⊥平面ABCD，所以平面EFG與平面ABCD所成角等于直線B1D與B1B所成角．在直角三角形DB1B中，tan∠DB1B＝，錯誤．故選：ABC．【點評】本題以正方體為背景考查幾何體的截面問題，線面平行與線面垂直的判定，面面角，屬于中檔題．（多選）13．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，則下列說法正確的是（）A．直線BC1與CA1所成的角為90° B．點B與平面ACB1的距離為 C．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為30° D．平面ACD1與平面ABCD所成的角為45°【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量相關公式求解線線角，點到平面的距離，面面角和線面角的大小．【解答】解：以D1為坐標原點，以D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，A選項，則B（1，1，1），C1（0，1，0），C（0，1，1），A1（1，0，0），B1（1，1，0），A（1，0，1），故，故，故直線BC1與CA1所成的角為90°，故A正確；B選項，設平面ACB1的法向量為，則，則，令y＝1得，x＝1，z＝1，故，故點B到平面ACB1的距離為，故B正確；C選項，因為DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DD1⊥AC，因為四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，因為BD∩DD1＝D，BD，DD1?平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D，故平面BB1D1D的一個法向量為，設直線BC1與平面BB1D1D所成的角大小為θ，顯然，故直線BC1與平面BB1D1D所成的角為30°，故C正確；D選項，設平面ACD1的法向量為，則，則，令x1＝1，則y1＝1，z1＝﹣1，故，平面ABCD的法向量為，故，故平面ACD1與平面ABCD所成的角不為45°，故D不正確．故選：ABC．【點評】本題考查空間向量在立體幾何中的應用，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共15分。14．（5分）若＝（﹣1，λ，﹣2）與＝（2，﹣1，1）的夾角為120°，則λ的值為λ＝17或λ＝﹣1．【分析】根據(jù)已知條件，結合空間向量的夾角公式，即可求解．【解答】解：∵＝（﹣1，λ，﹣2）與＝（2，﹣1，1），∴，，∴，解得λ＝17或λ＝﹣1．故答案為：λ＝17或λ＝﹣1．【點評】本題主要考查空間向量的夾角公式，屬于基礎題．15．（5分）若直線2x﹣y+a＝0始終平分圓x2+y2﹣4x+4y＝0的周長，則a的值為﹣6．【分析】根據(jù)題意，可求出圓心C的坐標，利用點在直線上求出a的值．【解答】解：圓x2+y2﹣4x+4y＝0可化為（x﹣2）2+（y+2）2＝8，圓心為C（2，﹣2）．因為直線2x﹣y+a＝0始終平分圓x2+y2﹣4x+4y＝0的周長，所以圓心C（2，﹣2）在直線上，可得2×2﹣（﹣2）+a＝0，解得a＝﹣6．故答案為：﹣6．【點評】本題主要考查直線的方程、圓的方程及其性質等知識，屬于基礎題．16．（5分）如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且，，，則x+y+z＝．【分析】利用空間向量的加法與減法運算可得出關于、、的表達式，可得出x、y、z的值，由此可得出x+y+z的值．【解答】解：因為，，則，，＝，所以，，，，故．故答案為：．【點評】本題考查的知識點：向量的線性運算，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．17．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是線段B1C1，A1D的中點，設．用表示＝+（+）．【分析】根據(jù)平面向量的基本定理化簡即可．【解答】解：＝+＝+＝+（+）＝+（+）．故答案為：+（+）．【點評】本題考查平面向量基本定理的應用，屬于基礎題．四、解答題18．（13分）已知直線l1：ax﹣（a﹣4）y+2＝0，直線l2：2x+ay﹣1＝0．（1）若l1∥l2，求實數(shù)a的值；（2）若l1⊥l2，求實數(shù)a的值．【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行公式計算即可求參，再檢驗是否重合；（2）根據(jù)兩條直線垂直公式計算即可求參．【解答】解：（1）因為l1∥l2，所以a2+2（a﹣4）＝0，整理得a2+2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）＝0，解得a＝2或a＝﹣4．當a＝﹣4時，l1：﹣4x+8y+2＝0，l2：2x﹣4y﹣1＝0，l1，l2重合；當a＝2時，l1：2x+2y+2＝0，l2：2x+2y﹣1＝0，符合題意．故a＝2．（2）因為l1⊥l2，所以2a﹣a（a﹣4）＝0，解得a＝6或a＝0．【點評】本題考查了兩條直線位置關系的應用，屬于基礎題．19．（15分）在△ABC中，BC邊上的高所在的直線的方程為x﹣2y+1＝0，角A的平分線所在直線的方程為y＝0，若點B的坐標為（1，2）．（1）求點A的坐標．（2）求直線BC的方程．【分析】（1）通過聯(lián)立方程組求得A點坐標；（2）先算出直線BC的斜率，再利用點斜式求得直線BC的方程．【解答】解：（1）由，解得，可得A（﹣1，0）；（2）BC邊上的高所在直線x﹣2y+1＝0的斜率為，所以直線BC的斜率為﹣2，可得直線BC的方程為y﹣2＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣4＝0．【點評】本題主要考查直線的方程、垂直的兩條直線的斜率關系等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于基礎題．20．（15分）已知兩直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x+2y﹣5＝0．（1）求過兩直線的交點，且垂直于直線3x+4y﹣5＝0的直線方程；（2）已知兩點A（﹣1，1），B（0，2），動點P在直線l1上運動，求|PA|+|PB|的最小值．【分析】（1）聯(lián)立方程，求出交點，再由垂直關系得出斜率，進而寫出直線方程；（2）由對稱性得出點B（0，2）關于直線l1對稱的點為C（x，y），進而結合圖像得出最值．【解答】解：（1）聯(lián)立，解得x＝1，y＝2，因為所求直線垂直于直線3x+4y﹣5＝0，所以所求直線的斜率為，故所求直線方程為，即4x﹣3y+2＝0；（2）設點B（0，2）關于直線l1對稱的點為C（x，y），，解得，則，故|PA|+|PB|的最小值為．【點評】本題考查直線的方程的求法和對稱性問題的求解，屬于中檔題．21．（17分）已知圓C：x2+y2+ax﹣3＝0，圓心坐標為（1，0）．（1）求圓C的一般方程；（2）若點P為圓C上的動點，定點Q（﹣1，4），求滿足條件﹣＝的點M的軌跡方程并判斷它的形狀．【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程求解；（2）設點M的坐標為（x，y），點P（x0，y0），由＝可得，再代入圓C的方程化簡整理即可．【解答】解：（1）因為圓C的圓心為（1，0），所以，即a＝﹣2，則圓C的一般方程為x2+y2﹣2x﹣3＝0；（2）設點M的坐標為（x，y），點P（x0，y0），易得，，由得＝，所以解得，因為點P（x0，y0）為圓C上的動點，所以滿足，所以（2x+1）2+（2y﹣4）2﹣2（2x+1）﹣3＝0，化簡得點M的軌跡方程為x2+y2﹣4y+3＝0，因為02+（﹣4）2﹣4×3＝4＞0，所以點M的軌跡的形狀為圓．【點評】本題主要考查了圓的一般方程和標準方程，考查了求動點的軌跡方程，屬于中檔題．22．（17分）如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，A