數(shù)學(xué)01-新高三開學(xué)摸底考試卷（新高考專用）

2024屆新高三開學(xué)摸底考試卷（新高考專用）01數(shù)學(xué)?全解全析一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，B=，則（）A.{－2，－1，1} B.{－2，0，1} C.{－2，－1} D.{－1，1}【答案】A【詳解】，則或，所以.故選：A.2．已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.【答案】C【詳解】由題：，，，所以.3．已知向量，且，則（）A. B. C.2 D.－2【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋裕喌?故選：D.4．已知函數(shù)f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1,3] B．(1,3)C．(0,1) D．(1，＋∞)【答案】A【詳解】令t(x)＝6－ax，因?yàn)閍>0，所以t(x)＝6－ax為減函數(shù)．又由函數(shù)f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上單調(diào)遞減，可得函數(shù)t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,6－2a≥0，))解得1<a≤3.5．橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【詳解】由題意可得，由橢圓方程可得，，解的方程可得的值.解答：橢圓的焦點(diǎn)在軸上，即有，由橢圓方程可得，，，由長軸長是短軸長的2倍，可得，解得；故選：D.6．已知直線是圓C：的對稱軸，過點(diǎn)A作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|=（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【詳解】圓C：即，圓心為(3,1)，半徑為r=3，由題意可知過圓的圓心(3,1)，則，解得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，切點(diǎn)為B則，.故選:C7．等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)甲：，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【詳解】當(dāng)時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．由題，當(dāng)數(shù)列為時，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選B．8．已知sin＋eq\r(3)cosα＝eq\f(1,3)，則sin等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,9)C．－eq\f(1,9)D．－eq\f(7,9)【答案】D【解析】∵sin＋eq\r(3)cosα＝eq\f(1,3)，∴sinαcos

eq\f(π,3)－cosαsin

eq\f(π,3)＋eq\r(3)cosα＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,2)sinα－eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\r(3)cosα＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝eq\f(1,3)，∴cos＝eq\f(1,3)，∴sin＝sin＝cos2＝2cos2－1＝－eq\f(7,9).多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．維生素C又叫抗壞血酸，是一種水溶性維生素，是高等靈長類動物與其他少數(shù)生物的必需營養(yǎng)素，現(xiàn)從獼猴桃、柚子兩種食物中測得每100克維生素的含量（單位：mg），得到數(shù)據(jù)如下.則下列說法不正確的是（）獼猴桃柚子A.每100克柚子維生素C含量的眾數(shù)為121B.每100克柚子維生素C含量的75%分位數(shù)為121C.每100克獼猴桃維生素C含量的平均數(shù)高于每100克柚子維生素C含量的平均數(shù)D.每100克獼猴桃維生素C含量的方差高于每100克柚子維生素C含量的方差【答案】BC【詳解】對于A選項(xiàng)，每100克柚子維生素C含量的眾數(shù)為121，A對；對于B選項(xiàng)，每100克柚子維生素C含量的75%分位數(shù)為122，B錯；對于C選項(xiàng)，每100克獼猴桃維生素C含量的平均數(shù)為，每100克柚子維生素C含量的平均數(shù)為，C錯；對于D選項(xiàng)，每100克獼猴桃維生素C含量的方差為，每100克柚子維生素C含量的方差為，D對.故選：BC.10．牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：），環(huán)境溫度是（單位：），其中則經(jīng)過分鐘后物體的溫度將滿足且）.現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是（

）（參考數(shù)值A(chǔ)．若，則B．若，則紅茶下降到所需時間大約為7分鐘C．若，則其實(shí)際意義是在第3分鐘附近，紅茶溫度大約以每分鐘的速率下降D．紅茶溫度從下降到所需的時間比從下降到所需的時間多【答案】ABC【詳解】由題知，根據(jù)指對數(shù)運(yùn)算、以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，依次討論各選項(xiàng)求解．由題知，A：若，即，所以，則，A正確；B：若，則，則，兩邊同時取對數(shù)得，所以，所以紅茶下降到所需時間大約為7分鐘，B正確；C：表示處的函數(shù)值的變化情況，若，所以實(shí)際意義是在第3分鐘附近，紅茶溫度大約以每分鐘的速率下降，故正確；為指數(shù)型函數(shù)，如圖，可得紅茶溫度從下降到所需的時間比從下降到所需的時間少，故D錯誤.故選：ABC．11．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.若，則C.若f(x)是增函數(shù)，則是減函數(shù)D.若f(x)是減函數(shù)，則是增函數(shù)【答案】BD【詳解】令函數(shù)，則，則在R上單調(diào)遞增．當(dāng)時，；當(dāng)時，．A不正確，B正確．，是增函數(shù)，若是增函數(shù)，則的單調(diào)性不確定；若是減函數(shù)，則是增函數(shù)．C不正確，D正確．故選：BD．12．我們把所有棱長都相等的正棱柱（錐）叫“等長正棱柱（錐）”，而與其所有棱都相切的稱為棱切球，設(shè)下列“等長正棱柱（錐）”的棱長都為1，則下列說法中正確的有（）A.正方體的棱切球的半徑為B.正四面體的棱切球的表面積為C.等長正六棱柱的棱切球的體積為D.等長正四棱錐的棱切球被棱錐5個面（側(cè)面和底面）截得的截面面積之和為【答案】BCD【詳解】正方體的棱切球的半徑為正方體面對角線的一半，長度為，故A錯誤；如圖，四面體為棱長為1的正四面體，取中點(diǎn)E，BC中點(diǎn)F，連接EF，則EF為其棱切球的直徑，，則，則其棱切球的半徑為，棱切球的表面積為，故B正確；如圖，為等長正六棱柱，其棱切球的半徑為棱錐的棱長1，則其棱切球的體積為，故C正確；由棱切球的定義可知，棱切球被每一個面所截，截面為該面的內(nèi)切圓，則等長正四棱錐的底面內(nèi)切圓的面積為，每一個側(cè)面正三角形的內(nèi)切圓的半徑r滿足，則，四個側(cè)面三角形的內(nèi)切圓的面積為，則等長正四棱錐的棱切球被棱錐5個面（側(cè)面和底面）截得的截面面積之和為，故D正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．現(xiàn)從4名男志愿者和3名女志愿者中，選派2人分別去甲、乙兩地?fù)?dān)任服務(wù)工作，若被選派的人中至少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有___________種.(用數(shù)字作答)【答案】36【詳解】依題意分兩種情況討論，①選一名男志愿者與一名女志愿者，則有種選派方法；②選兩名男志愿者，則有種選派方法；綜上可得一共有種選派方法；故答案為：3614．《九章算術(shù)》中將正四棱臺體（棱臺的上下底面均為正方形）稱為方亭.如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，，方亭的四個側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭四個側(cè)面的面積之和為，則方亭的體積為______.【答案】【詳解】由題意得，設(shè)，則，.過點(diǎn)，在平面內(nèi)分別作，，垂足分別為點(diǎn)、，在等腰梯形中，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，所以，，則，因?yàn)?，，，所以，所以，在中，由勾股定理得，所以等腰梯形的面積為，所以.所以，，方亭的高，故方亭的體積為.故答案為：15．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間(0，π)上恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，則ω的取值范圍是【答案】【詳解】由題意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx＋eq\f(π,3)∈.根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，π)上恰有三個極值點(diǎn)，知eq\f(5π,2)<πω＋eq\f(π,3)≤eq\f(7π,2)，得eq\f(13,6)<ω≤eq\f(19,6).根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，π)上恰有兩個零點(diǎn)，知2π<πω＋eq\f(π,3)≤3π，得eq\f(5,3)<ω≤eq\f(8,3).綜上，ω的取值范圍為16．已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A、B是雙曲線C的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率.【答案】【詳解】因?yàn)闉殡p曲線的右焦點(diǎn)，所以.由題知雙曲線的一條漸過線的方程為，不妨設(shè)，則，所以，則，由此得因此點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)樗陔p曲線上，所以，化簡得，解得四、解答題：共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．（1）求B的大??；（2）若，△ABC的面積為，求△ABC的周長．【詳解】（1）由正弦定理得，所以，得，因?yàn)?，所以，得，又，所以．?）由，得，由余弦定理，得，得，得，所以的周長為．18．如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,平面底面,為的中點(diǎn),是棱(不與端點(diǎn)重合)上的點(diǎn),,,.

(1)求證:平面平面;

(2)當(dāng)?shù)拈L為何值時,平面與平面所成的角的大小為?【解析】(1),為的中點(diǎn),,

,,

四邊形為平行四邊形,.

,.

,,.

又平面平面,平面平面,

平面,.又,平面.

平面,平面平面.

(2)由(1)可知平面.如圖,以為原點(diǎn),分別以,,所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則,,,,,

,,,,

.

設(shè),則,且,得,

.

設(shè)平面的法向量為,

則,即,

令,則,,

平面的一個法向量為.

設(shè)平面的法向量為,

則,即

令,則,,

平面的一個法向量為.

平面與平面所成的銳二面角的大小為,

,

.

.

即當(dāng)時,平面與平面所成的角大小為19．已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－a，a∈R.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝1時，令g(x)＝eq\f(2fx,x2).證明：當(dāng)x>0時，g(x)>1.【詳解】(1)解函數(shù)f(x)＝ex－ax－a的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得f′(x)＝ex－a，當(dāng)a≤0時，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)a>0時，令f′(x)＝ex－a>0，解得x>lna，令f′(x)<0，解得x<lna，即f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a≤0時，f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)a>0時，f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)證明當(dāng)a＝1時，g(x)＝eq\f(2ex－x－1,x2)，當(dāng)x>0時，eq\f(2ex－x－1,x2)>1?ex>1＋x＋eq\f(x2,2)?eq\f(\f(1,2)x2＋x＋1,ex)<1，令F(x)＝eq\f(\f(1,2)x2＋x＋1,ex)－1，x>0，F(xiàn)′(x)＝eq\f(－\f(1,2)x2,ex)<0恒成立，則F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)<F(0)＝eq\f(1,e0)－1＝0，因此eq\f(\f(1,2)x2＋x＋1,ex)<1成立，所以當(dāng)x>0時，g(x)>1，即原不等式得證．20．已知數(shù)列是以d為公差的等差數(shù)列，為的前n項(xiàng)和．(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，可得，后由等差數(shù)列性質(zhì)可得公差，即可得通項(xiàng)公式；（2）由題可得，.后由是以d為公差的等差數(shù)列，可得數(shù)列是以為首項(xiàng)．4為公比的等比數(shù)列，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，后由分組求和法可得的前n項(xiàng)和．【詳解】（1））因?yàn)?，所以，所?所以.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)閿?shù)列是以首項(xiàng)為，公比為4等比數(shù)列.所以.因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以.化簡得.因?yàn)?，所以，?所以.因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)．4為公比的等比數(shù)列所以.所以.則數(shù)列的前n項(xiàng)和為：.21．甲、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結(jié)束比賽時，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即.(i)求的取值范圍；(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實(shí)際含義.【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；（ii）證明見解析，比賽局?jǐn)?shù)越多，對實(shí)力較強(qiáng)者越有利【詳解】（1），即采用3局2勝制，所有可能取值為，，的分布列如下表：23所以的數(shù)學(xué)期望為.（2）采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3