高等數(shù)學(xué)課件 D11-3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及審斂法

第三節(jié)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)

若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿足證:

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級(jí)數(shù)收斂于S,且故收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂二、絕對(duì)收斂與條件收斂

定義:

對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對(duì)收斂.例如：絕對(duì)收斂；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂

.則稱原級(jí)定理7.

絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.證:

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令例7.

證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.小結(jié)其和分別為*四、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)

*定理8.

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和.(P263定理9)(證明見(jiàn)P263～P266)*定理9.

(絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法)則對(duì)所有乘積按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)與都絕對(duì)收斂,其和為(P265定理10)說(shuō)明:絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)有類似有限項(xiàng)和的性質(zhì),

但條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì).絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì).內(nèi)容小結(jié)2.判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂概念:絕對(duì)收斂條件收斂思考與練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.

作業(yè)

P2661(1),(3),(5);

2(2),(3),(4);

*3(1),(2);

4(1),(3),(5),(6);

5(2),(3),(5)第三節(jié)備用題1.

判別級(jí)數(shù)的斂散性:解:

(1)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.不是p–級(jí)數(shù)(2)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.2.

則級(jí)數(shù)(A)發(fā)散;(B)絕對(duì)