2025年高考數學基礎知識篇（核心知識背記手冊）

高考數學基礎知識篇（核心基礎知識背記手冊）目錄TOC\o"1-1"\h\u基礎知識背記01集合 1基礎知識背記02常用邏輯用語 2基礎知識背記03復數 2基礎知識背記04平面向量 3基礎知識背記05基本不等式 4基礎知識背記06三角函數與誘導公式、三角恒等變換 4基礎知識背記07三角函數的圖象及性質 6基礎知識背記08解三角形 7基礎知識背記09函數的基本性質 9基礎知識背記10指數對數冪函數 11基礎知識背記11函數的零點與方程的根 13基礎知識背記12導數 14基礎知識背記13數列 15基礎知識背記14立體幾何 16基礎知識背記15直線與圓 22基礎知識背記16圓錐曲線 25基礎知識背記17排列組合與二項式定理 29基礎知識背記18概率統計 31基礎知識背記01集合1.集合有個元素，子集有個，真子集有個，非空真子集個數為個.2.，3.基礎知識背記02常用邏輯用語1. 充分條件與必要條件對于若則類型中，為條件，為結論若充分性成立，若必要性成立若，，則是的充分必要條件（簡稱：充要條件）若，，則是的充分非必要條件（充分不必要條件）若，，則是的必要非充分條件（必要不充分條件）若，，則是的既不充分也不必要條件2. 全稱量詞命題與存在量詞命題全稱量詞：（任意，所有，全部），含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題存在量詞：：（存在一個，存在兩個，存在一些），含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題3. 全稱量詞命題和存在量詞命題的否定全稱量詞命題的否定全稱量詞命題：，，否定為：，存在量詞命題的否定存在量詞命題：，，否定為：，基礎知識背記03復數1. 虛數單位：，規(guī)定2. 虛數單位的周期3. 復數的代數形式：Z=，叫實部，叫虛部4. 復數的分類5. 復數相等：若6. 共軛復數：若兩個復數的實部相等，而虛部是互為相反數時，這兩個復數叫互為共軛復數；，7. 復數的幾何意義：復數復平面內的點8. 復數的模：，則；基礎知識背記04平面向量1. 向量的運算（1）兩點間的向量坐標公式：，，終點坐標始點坐標（2）向量的加減法，，（3）向量的數乘運算，則：（4）向量的模，則的模（5）相反向量已知，則；已知（6）單位向量（7）向量的數量積（8）向量的夾角（9）向量的投影（10）向量的平行關系（11）向量的垂直關系（12）向量模的運算基礎知識背記05基本不等式1. ，，（積定和最?。?. ，，（和定積最大）3. ，，4. 推廣公式：基礎知識背記06三角函數與誘導公式、三角恒等變換1.特殊角的三角函數值2.同角三角函數的基本關系平方關系：商數關系：3.正弦的和差公式，4.余弦的和差公式，5.正切的和差公式，6.正弦的倍角公式 7.余弦的倍角公式升冪公式：，降冪公式：，8.正切的倍角公式9.推導公式10.輔助角公式，，其中，基礎知識背記07三角函數的圖象及性質1. 三角函數的圖象與性質函函數性質圖象定義域值域最值當時，；當時，．當時，；當時，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸2. 三角函數型函數的圖象和性質（1）正弦型函數、余弦型函數性質，振幅，決定函數的值域，值域為決定函數的周期，叫做相位，其中叫做初相（2）正切型函數性質的周期公式為：3. 三角函數的伸縮平移變換（1）伸縮變換（，是伸縮量）振幅，決定函數的值域，值域為；若↗，縱坐標伸長；若↘，縱坐標縮短；與縱坐標的伸縮變換成正比決定函數的周期，若↗，↘，橫坐標縮短；若↘，↗，橫坐標伸長；與橫坐標的伸縮變換成反比（2）平移變換（，是平移量）平移法則：左右，上下基礎知識背記08解三角形1. 正弦定理（1）基本公式：（其中為外接圓的半徑）（2）變形①②③④（3）應用：邊角互化①②③或（舍）2. 三角形中三個內角的關系，，3. 余弦定理（1）邊的余弦定理，，（2）角的余弦定理，，（3）應用1.求值，求角①在中，已知，求，②在中，已知，求，（4）應用2.判斷三角形的形狀設為最大邊，則為最大角鈍角三角形直角三角形銳角三角形4. 三角形的面積公式基礎知識背記09函數的基本性質1. 定義域①分式函數定義域：②偶次根式函數的定義域：③次冪型函數的定義域：④對數函數的定義域：⑤正切函數的定義域：2. 單調性（1）單調性的運算①增函數（↗）增函數（↗）增函數↗②減函數（↘）減函數（↘）減函數↘③為↗，則為↘，為↘④增函數（↗）減函數（↘）增函數↗⑤減函數（↘）增函數（↗）減函數↘⑥增函數（↗）減函數（↘）未知（導數）（2）復合函數的單調性3. 奇偶性①具有奇偶性的函數定義域關于原點對稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數：，圖象關于原點對稱偶函數：，圖象關于軸對稱③奇偶性的四則運算4. 周期性（差為常數有周期）①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴倍問題）④若，則的周期為：（周期擴倍問題）5. 對稱性（和為常數有對稱軸）軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為點對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為6. 周期性對稱性綜合問題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：7. 奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數，為奇函數，則的周期為：②已知為奇函數，為偶函數，則的周期為：基礎知識背記10指數對數冪函數1.指數函數的圖象與性質a>10<a<1圖像定義域R值域(0，+∞)性質（1）過定點（0，1）（2）當x>0時，y>1;x<0時,0<y<1(2)當x>0時，0<y<1;x<0時,y>1(3)在（-，+）上是增函數（3）在（-，+）上是減函數2.指數和對數的互化公式3.對數的性質與運算法則（1）兩個基本對數：①，②（2）對數恒等式：①，②（3）冪的對數：①：②：③：（4）積的對數：（5）商的對數：4.換底公式：；推廣1：對數的倒數式推廣2：5.對數函數的圖象與性質圖象性質（1）定義域：（0,+）（2）值域：R（3）當x=1時，y=0即過定點（1，0）（4）當時，；當時，（4）當時，；當時，（5）在（0,+）上為增函數（5）在（0,+）上為減函數6.冪函數恒過定點（1）冪函數的單調性（2）冪函數的奇偶性基礎知識背記11函數的零點與方程的根1.函數的零點對于函數，我們把的實數叫做函數的零點2.函數的零點與方程的根和圖象與軸交點的關系函數的零點就是方程的實數解，也就是函數的圖象與軸交點的橫坐標方程的實數解函數的零點函數的圖象與軸有交點3.零點存在性定理如果函數在區(qū)間的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數在區(qū)間至少有一個零點，即存在，使得，這個也是方程的解基礎知識背記12導數1. 八大常用函數的求導公式（1）（為常數）（2），例：，，，（3）（4）（5）（6）（7）（8）2. 導數的四則運算（1）和的導數：（2）差的導數：（3）積的導數：（前導后不導前不導后導）（4）商的導數：，3. 復合函數的求導公式函數中，設（內函數），則（外函數）4. 導數的幾何意義（1）導數的幾何意義導數的幾何意義是曲線在點處切線的斜率（2）直線的點斜式方程直線的點斜式方程：已知直線過點，斜率為，則直線的點斜式方程為：5. 導函數與原函數的關系單調遞增單調遞減6. 極值（1）極值的定義在處先↗后↘，在處取得極大值在處先↘后↗，在處取得極小值（2）極值與導數的關系是極值點是極值點，即：是為極值點的必要非充分條件基礎知識背記13數列1. 等差數列通項公式：或2. 等差中項：若，，三個數成等差數列，則，其中叫做，的等差中項3. 若，為等差數列，則，仍為等差數列4. 等差數列前n項和公式：或5. 等差數列的前項和中，，（為奇數）6. 等比數列通項公式：7. 等比中項：若，，三個數成等比數列，則,其中叫做，的等比中項8. 若，為等比數列，則，仍為等比數列9. 等比數列前項和公式：10. 已知與的關系11. 分組求和若為等差數列，為等比數列，則可用分組求和12. 裂項相消求和基礎知識背記14立體幾何1. 平面初等幾何基礎（1）三角形的面積公式：（2）正方形的面積公式：（3）長方形的面積公式：（4）平行四邊形的面積公式：（5）菱形的面積公式：（，為菱形的對角線）（6）梯形的面積公式：（為上底，為下底，為高）（7）圓的周長和面積公式：，2. 立體幾何基礎公式（1）所有椎體體積公式：（2）所有柱體體積公式：（3）球體體積公式：（4）球體表面積公式：（5）圓柱：（6）圓錐：3. 平面圖形的判定定理（1）高中常用的平行四邊形的判定定理①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形②兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）菱形的判定定理①四邊相等的四邊形是菱形②對角線互相垂直平分的四邊形是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）③一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（3）正方形的判定定理①有一個角是直角的菱形是正方形②一組鄰邊相等的矩形是正方形③對角線互相垂直的矩形是正方形（4）矩形的判定定理對角線相等且互相平分的四邊形是矩形4. 平面圖形的對角線平行四邊形的對角線互相平分菱形的對角線互相垂直平分矩形的對角線相等且互相平分正方形的對角線互相垂直平分且相等5. 常見立體幾何的定義、性質及其關系（1）棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行圖形，側面是平行四邊形（即側棱平行且相等）（2）斜棱柱：側棱與底面不垂直的棱柱（3）直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱（4）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱（5）平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體，即：平行六面體的六個面都是平行四邊形6. 四個公理與一個定理公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.7. 空間中點線面的位置關系點與直線的位置關系點在直線上點不在直線上點與面的位置關系點在平面上點不在平面上線與線的位置關系平行，相交，，異面線與面的位置關系面與面的位置關系平行，相交，與重合8. 長方體（正方體、正四棱柱）的體對角線的公式（1）已知長寬高求體對角線：（2）已知三條面對角線求體對角線：9. 球體問題（1）球體體積公式：，球體表面積公式：（2）正方體、長方體、正四棱錐的外接球問題（類型Ⅰ）球心體心，直徑體對角線已知長寬高，，求體對角線，公式為：，（3）直棱柱的外接球問題（類型Ⅱ），其中為直棱柱的高，為底面外接圓半徑（可用正弦定理求解）（4）墻角問題可轉化為類型Ⅰ（5）側棱底面問題可轉化為類型Ⅱ10. 空間中的平行關系（1）線線平行①三角形、四邊形中位線，②平行四邊形的性質（對邊平行且相等）③內錯角、同位角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行（2）線面平行的判定定理：平面外一直線與平面內一直線平行，則線面平行圖形語言符號語言（3）線面平行的性質定理若線面平行，經過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行圖形語言符號語言（4）面面平行的判定定理判定定理1：一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，則面面平行圖形語言符號語言判定定理2：一個平面內有兩條相交直線分別于另一個平面內兩條相交直線平行，則面面平行圖形語言符號語言（5）面面平行的性質定理性質定理1：兩平面互相平行，一個平面內任意一條直線平行于另一個平面性質定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行11. 空間中的垂直關系（1）線線垂直①等腰三角形（等邊三角形）的三線合一證線線垂直②勾股定理的逆定理證線線垂直③菱形、正方形的對角線互相垂直（2）線面垂直的判定定理判定定理：一直線與平面內兩條相交直線垂直，則線面垂直圖形語言符號語言（3）線面垂直的性質定理性質定理1：一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內的任意一條直線圖形語言符號語言性質定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行圖形語言符號語言（4）面面垂直的判定定理判定定理：一個平面內有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直（或：一個平面經過另一個平面的垂線，則面面垂直）圖形語言符號語言（5）面面垂直的性質定理性質定理：兩平面垂直，其中一個平面內有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于另一個平面圖形語言符號語言12. 異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）13. 線面角直線與平面所成角，(為平面的法向量).14. 二面角的平面角（，為平面，的法向量）.15. 點到平面的距離（為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）.基礎知識背記15直線與圓1.兩點間的距離公式，，2.中點坐標公式，，為的中點，則：3.三角形重心坐標公式4.直線的斜率與傾斜角的定義及其關系（1）斜率：表示直線的變化快慢的程度；，直線遞增，，直線遞減，（2）傾斜角：直線向上的部分與軸正方向的夾角，范圍為（3）直線的斜率與傾斜角的關系：不存在5.兩點間的斜率公式，，6.直線的斜截式方程，其中為斜率，為軸上的截距7.直線的點斜式方程已知點，直線的斜率，則直線方程為：8.直線的一般式方程9.兩條直線的位置關系（1）平行的條件①斜截式方程：，，②一般式方程：，，（2）重合的條件①斜截式方程：，，②一般式方程：，，（3）垂直的條件①斜截式方程：，，②一般式方程：，，10.點到直線的距離公式點，直線，點到直線的距離為：11.兩條平行線間的距離公式，，12.圓的標準方程，其中圓心坐標為，半徑為13.圓的一般方程（）配方可得：，圓心坐標為，半徑為14.表示圓的充要條件：15.點與圓的位置關系已知點，圓的方程為：若，點在圓內若，點在圓上若，點在圓外16.直線與圓的位置關系直線，圓代數關系，其中為聯立方程根的個數，幾何關系，其中為圓心到直線的距離17.圓上一點的切線方程18.圓與圓的位置關系設圓的半徑為，設圓的半徑為，兩圓的圓心距為若，兩圓外離，若，兩圓外切，若，兩圓內切若，兩圓相交，若，兩圓內含，若，同心圓兩圓外離，公切線的條數為4條；兩圓外切，公切線的條數為3條；兩圓相交，公切線的條數為2條；兩圓內切，公切線的條數為1條；兩圓內含，公切線的條數為0條；19.弦長公式設，，則或：20.圓上一點到圓外一點的距離的最值21.圓上一點到圓上一點的距離的最值22.圓上一點到直線距離的最值23.過圓內一點的最長弦和最短弦最長弦：直徑；最短弦：垂直于直徑基礎知識背記16圓錐曲線1. 橢圓的定義2. 數學表達式3. 橢圓的標準方程焦點在軸上的標準方程？橢圓標準方程為：焦點在軸上的標準方程？橢圓標準方程為：4. 橢圓中，，的基本關系5. 橢圓的幾何性質焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程范圍頂點坐標，，，，長軸長軸長，長半軸長短軸短軸長，短半軸長焦點，，焦距焦距，半焦距對稱性對稱軸為坐標軸，對稱中心為離心率離心率對橢圓的影響越大，橢圓越扁越小，橢圓越圓，圓6. 雙曲線的定義7. 數學表達式：8. 雙曲線的標準方程焦點在軸上的標準方程？焦點在軸上的標準方程？標準方程為：標準方程為：9. 雙曲線中，，的基本關系10. 雙曲線的幾何性質焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程范圍頂點坐標，，，，實軸實軸長，實半軸長虛軸虛軸長，虛半軸長焦點，，焦距焦距，半焦距對稱性對稱軸為坐標軸，對稱中心為漸近線方程離心率離心率對雙曲線的影響越大，雙曲線開口越闊越小，雙曲線開口越窄11. 拋物線的定義平面上一動點到定點的距離與到定直線：的點的軌跡叫做拋物線12. 圖形13. 數學表達式14. 標準方程的推導設，由定義可知：，等式兩邊同時平方得：15. 拋物線的標準方程及其幾何性質焦點位置軸正半軸軸負半軸軸正半軸軸負半軸圖形標準方程焦點坐標準線方程16. 通徑通徑長：，半通徑長：17. 焦半徑（拋物線上的點到焦點的距離）基礎知識背記17排列組合與二項式定理1.分類計數原理（加法原理）.2.分步計數原理（乘法原理）.3.排列數公式==.(，∈N*，且)．注:規(guī)定.4.組合數公式===(∈N*，，且).5.排列數與組合數的關系.6．單條件排列以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）①定位緊貼：個元在固定位的排列有種.②浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；③插空：兩組元素分別有k、h個（），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數有種.（3）兩組元素各相同的插空個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？當時，無解；當時，有種排法.（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數為.7．分配問題（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個人，各得件，其分配方法數共有.（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數共有.8.二項式定理;二項展開式的通項公式.基礎知識背記18概率統計1.等可能性事件的概率.2.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．3.個互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．4.獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).5.個獨立事件同時發(fā)生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．6.次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率7.離散型隨機變量的分布列的兩個性質（1）;（2）.8.數學期望9.數學期望的性質（1）.（2）若～,則.(3)若服從幾何分布,且，則.10.方差11.標準差=.12.方差的性質(1)；(2）若～，則.(3)若服從幾何分布,且，則.13.方差與期望的關系.14.正態(tài)分布密度函數，式中的實數μ，（>0）是參數，分別表示個體的平均數與標準差.15.對于，取值小于x的概率..16. 條件概率條件概率的定義條件概率的性質已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當P(B)>0時，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當P(A)>0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．17. 條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡18. 全概率公式一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA