四川省綿陽市2024-2025學年高一上學期11月學生學業(yè)發(fā)展指導（文化學科）測評數學試題 含解析

【考試時間：2024年11月5日14：15—16：15】高中2024級學生學業(yè)發(fā)展指導（文化學科）測評數學本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷由第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）組成，共4頁：答題卡共6頁．滿分150分，測試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫清楚，同時用2B鉛筆將考號準確填涂在“考號”欄目內．2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡的對應框內，案超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．3．考試結束后將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據交集的定義可求.【詳解】，故選：C2.若，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用反例可判斷ABC的正誤，利用不等式的性質可判斷D的正誤.【詳解】取，則，，故AC錯誤；取，則，故B錯誤；對于D，由不等式的性質可得成立，故D正確；故選：D.3.設函數則（）A.12 B.10 C.5 D.2【答案】B【解析】【分析】根據題設條件求出后可求.【詳解】，故選：B4.已知命題，若命題是假命題，則實數的取值范圍為（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】首先求命題為真命題時的取值范圍，再求其補集.【詳解】若命題為真命題，則，解得：或，所以當命題為假命題時，得到取值范圍是.故選：A5.下列函數中，是偶函數，且在上單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據偶函數的定義及冪函數的性質逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，設，則，故為上偶函數，而在為增函數，故A正確；對于B，設，則，故為上奇函數，故B錯誤；對于C，在上為減函數，故C錯誤；對于D，，該函數為反比例函數，為上的奇函數，故D錯誤；故選：A.6.函數的圖象不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】討論，和三種情況，討論函數類型，即可判斷函數的圖象.【詳解】當時，，，為A的圖象；當時，為對勾函數，為B圖象；當時，，函數的零點是，函數的單調遞增區(qū)間是和，為C圖象；不管為何值，都不可能是D的圖象.故選：D7.某公園有如圖所示一塊直角三角形空地，直角邊．現欲建一個如圖的內接矩形花園，點在斜邊上（不包括端點），則花園的面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可求面積最大值.【詳解】設，則，因為，所以，解得，其中，所以花園的面積為，當且僅當即時等號成立，故花園的面積的最大值為，故選：B.8.已知函數，對任意，使得關于的不等式成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判斷函數的單調性，不等式轉化為，結合函數的單調性，利用參變分離，轉化為函數的最值問題，即可求解.【詳解】，在區(qū)間和都是增函數，且，所以函數在上單調遞增，且，所以不等式，即，在恒成立，即，恒成立，即，得或.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，下面有關結論正確的有（）A.定義域為 B.函數在上的值域為C.在上單調遞增 D.函數的圖象關于軸對稱【答案】AB【解析】【分析】根據反例可判斷BC的正誤，求出函數的定義域后可判斷A的正誤，判斷函數的單調性求出函數的值域后可判斷D的正誤.【詳解】因為，故其定義域為，故A正確；而，，故在上不單調遞增，故C錯誤，而，故函數的圖象關于軸對稱，故D錯誤；又當時，因均為增函數，故在上為增函數，故其值域為，故B正確.故選：AB.10.下列敘述中正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.命題“”的否定是“”C.“”的一個必要不充分條件是“”D.集合中只有一個元素的充要條件是【答案】ABC【解析】【分析】對于ACD，根據各選項中條件之間的推出關系可判斷它們的條件關系，根據存在性命題的否定的結構形式可判斷B的正誤，從而可得正確的選項.【詳解】對于A，當時，由，而，成立，但不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確；對于B，命題“”的否定是“”，故B正確；對于C，若，則，故成立，若，成立，但，故“”的一個必要不充分條件是“”，故C成立；對于D，若，則，集合中只有一個元素推不出，但時，，該集合為單元素集合，故集合中只有一個元素的充分不必要條件是，故D錯誤，故選：ABC.11.高斯是著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號．設，用表示不超過的最大整數，也被稱為“高斯函數”，例如：，．已知函數，下列說法中正確的是（）A若，則B.方程在區(qū)間上有4個實數根C.函數在上單調遞增D.，都有【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據高斯函數的定義可得，故可判斷A的正誤，對于B，分段討論后可判斷其正誤，對于C，利用反例可判斷其正誤，結合A的范圍及高斯函數的定義可判斷其正誤.【詳解】對于A，因為x表示不超過的最大整，故，故，所以，，，所以，故A正確；對于B，當時，，此時的解為；當時，，此時的解為；當時，，此時的解為；當時，，此時的解為；當時，，不是的解，故方程在區(qū)間上有4個實數根，故B正確；對于C，，故在0,+∞上不是單調遞增，故C錯誤；對于D，由A的分析可得，故，故D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：對于函數新定義題，應根據新定義研究函數的性質，必要時需分段討論.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數的定義域為______．【答案】【解析】【分析】根據具體函數的形式，列不等式，即可求解.【詳解】函數的定義域需滿足，解得：，且，所以函數的定義域是.故答案為：13.已知是定義在上的奇函數，若，則______．【答案】【解析】【分析】利用奇函數的性質計算可求得的值.【詳解】因為，，所以，又因為是定義在上的奇函數，所以，又，所以，解得.故答案為：.14.若關于的方程有四個不同的實數根，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】把原方程解轉化為在0,+∞上有兩個不同的正數解，利用判別式及韋達定理可求參數的范圍.【詳解】令，則，則原方程可化為，因為關于的方程有四個不同的實數根，故在0,+∞上有兩個不同的正數解，故，解得.故答案為：.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）四、解答題：共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出結合，根據補集并集的定義可求.（2）根據條件關系可得集合的包含關系，從而得到關于的不等式組，求出其解后可得的取值范圍．【小問1詳解】當時，，而，故.【小問2詳解】因為“”是“”的充分不必要條件，故是的真子集，故，故.16.已知冪函數的圖象關于軸對稱，且在上單調遞增．（1）求的值及函數的解析式；（2）若，求實數的取值范圍．【答案】（1），.（2）或.【解析】【分析】（1）根據單調性可得，再根據奇偶性可得，從而得到函數解析式；（2）根據單調性和奇偶性可得，解該不等式可得實數的取值范圍．【小問1詳解】因為在上單調遞增，故即，而為整數，故，因為冪函數的圖象關于軸對稱，故為偶數，故，此時.【小問2詳解】因為，故，所以，所以或.17.已知，且．（1）若，求的最小值及此時相應的值；（2）若，求的最小值，并求出此時的值．【答案】（1）的最小值為，此時.（2）的最小值為，此時.【解析】【分析】（1）根據基本不等式求得，故可求其的最小值及對應的的值；（2）利用“1”的代換結合基本不等式可求的最小值及對應的的值，從而可求原代數式的最小值.【小問1詳解】因為，所以，當或（舍），故，當且等號成立，故的最小值為，此時.【小問2詳解】因為，故，又，故，當且僅當時等號成立，而，故的最小值為，此時.18.某文旅公司設計文創(chuàng)作品，批量生產并在旅游景區(qū)進行售賣．經市場調研發(fā)現，若在旅游季在文創(chuàng)作品的原材料上多投入萬元，文創(chuàng)作品的銷售量可增加千個，其中每千個的銷售價格為萬元，另外每生產1千個產品還需要投入其他成本0.5萬元．（1）求該文旅公司在旅游季增加的利潤與（單位：萬元）之間的函數關系；（2）當為多少萬元時，該公司在旅游季增加的利潤最大？最大為多少萬元？【答案】（1）（2）當（萬元）時，該公司在旅游季增加的利潤最大，最大為萬元.【解析】【分析】（1）由利潤公式，結合與的函數關系式，分段寫出函數解析式；（2）根據（1）的結果，分段求函數的最值，再比較即可求解.【小問1詳解】本季度增加的利潤，當時，，當時，，所以該公司增加的利潤與（單位：萬元）之間的函數關系式為；【小問2詳解】，當時，，當，即時，等號成立，當時，是減函數，當時，取得最大值16，因為，所以當（萬元）時，該公司在旅游季增加的利潤最大，最大為萬元.19.定義在上的函數滿足：對任意，都存在唯一，使得，則稱函數是“型函數”（其中）．（1）判斷是否為“型函數”？并說明理由；（2）是否存在實數，使得函數是“型函數”，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由；（3）若函數是“型函數”，求實數的取值范圍．【答案】（1）不是“型函數”（2）（3）【解析】【分析】（1）分別求函數在和時函數值的范圍，再結合定義，即可判斷；（2）根據的定義域求的取值范圍，結合“型函數”的定義以及函數的單調性求得的取值范圍；（3）對進行分類討論，根據函數的單調性分別求兩段函數的范圍，再結合“型函數”的定義，即可求解.【小問1詳解】函數，當時，，當時，，當時，，不存在，使，所以不是“型