常微分方程教材

常微分方程教材

第九章微分方程

一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求

（1）了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。

（2）掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解

齊次方程。

（3）會用降階法解下列方程：嚴(yán)=f（x）,y"=/（"）,/=o

（4）理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。

（5）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某

些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

（6）會求自由項多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，

以及它們的和與二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特

解和通解。

（7）會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。

二、本章教學(xué)內(nèi)容的重點和難點

1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念；

2、掌握一階和高階微分方程的各種初等積分法；

3、熟悉線性方程的基礎(chǔ)理論，掌握常系數(shù)二階線性齊次

與非齊次方程的解法；

4、會列微分方程及其始值問題去解決實際問題。

三、本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬：

1、分離變量法的理論根據(jù)；

2、常用的變量代換；

3、怎樣列微分方程解應(yīng)用題；

4、黎卡提方程；

5、全微分方程的推廣；

6、二階齊次方程；

7、高階微分方程的補(bǔ)充；

8、求線性齊次方程的另一個線性無關(guān)的解；

9、求線性非齊次方程的一個特解；

10、常數(shù)變易法。

本章的思考題和習(xí)題

解下列方程(第1-6題)

1、(1+x)y'+y=x,y(O)=2

2、f(x)=ex+dx,/可微

3、VTTx^sin2y?=2xsin2y+e2^ux

4、(y4-3x2)dy+xydx-0

5、y"+2H2=o,y(o)=1,y，(0)=-g

6、y=xy'+y'-y'2

7、已知可微函數(shù)小)滿足/f(x)dx_=/(x)_J求/⑴和f(幻；

Jif2(x)+x

8、已知J；f(ax)da=—/(x)+1,何微求/(x)；

9、求與曲線族2/+3V=C相交成45。角的曲線；

10、一容器的容積為100L,盛滿鹽水，含10kg的鹽，現(xiàn)

以每分鐘3L的速度向容器內(nèi)注入淡水沖淡鹽水，又以同樣的

速度將鹽水抽入原先盛滿淡水的同樣大小的另一容器內(nèi)，多余

的水便從容器內(nèi)流出，問經(jīng)過多少時間，兩容器內(nèi)的含鹽量相

等？

§9.1微分方程的基本概念

一、內(nèi)容要點:

先從實例引入建立幾個微分方程的模型，引入微分方程的

一系列概念；

常微分方程：常微分方程的階數(shù)、解、通解、全部解、特

解、積分曲線族的定義；

二、教學(xué)要求和注意點

了解微分方程與微分方程的階、解、通解、初始條件和特

解以及積分曲線

說明1:一個微分方程加上初始條件和初值問題的解是對某實

際問題兩種等價的描述形式。前者強(qiáng)調(diào)的是運(yùn)動的過程，是系

統(tǒng)的機(jī)理；后者強(qiáng)調(diào)的則是運(yùn)動的結(jié)果，是系統(tǒng)的輸出。

說明2：可分離變量的微分方程雖然簡單，但它是求解各種微

分方程的基礎(chǔ)，要求學(xué)生必須熟練掌握。

定義1：稱含有導(dǎo)數(shù)或微分的方程為微分方程，并稱方程種

最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為方程的階數(shù)。

如：y"+y'1+xy=\二階方程；y'z+xy=0一階方程；）三階方程，

寺寺

講方程，都是為了解方程，前兩個方程不好解，第三個方程

好解。解之，V,方程兩邊三次積分，得方程的解

y-x:++C->x+Cj（C|,Cj,G為任意常數(shù)）。當(dāng)尸時，也滿足方

程。可見

y=%+；GY+J+G包括了所有的解的形式。則稱它為通解。

定義2：稱滿足微分方程的函數(shù)為方程的解。若方程的解種

含有相互獨立的任意常數(shù),常數(shù)的個數(shù)恰好等于方程的階數(shù),

則稱此解為方程的通解;稱不含任意常數(shù)的解為方程的特解。

注1:通解與特解只是方程的兩類解，一階方程的解要么是通

解，要么是特解

注2：一階方程的幾種形式：一般形式：F(x,y,/)=0,從這個方

程種有可能解出y，，也有可能解不出來；一階顯式方程：

V=/(x,y)；對稱形式：4=警^或P公+Qdy=O

dx。(羽y)

注3：在一階方程種，1和y的關(guān)系是等價的.因此，有時可將x

看成函數(shù)，)看做變量。

§9.2可分離變量的微分方程

一\內(nèi)容要點：

可分離變量的方程及其他可化為變量可分離的方程的定

義及解法。

本單元的講課提綱：

然后再講具體的類型與解法一可分離變量的方程與分離

變量法。重點是微分方程的階、通解與特解等概念，分離變量

法。難點是利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型關(guān)鍵是判別可分離變量

方程的方法，以及具體積分方法。

二、教學(xué)要求和注意點

掌握可分離變量微分方程的解法

注意問題：Jgg通常只表示一個原函數(shù)，積分常數(shù)C有

時寫成InClnQ

定義1：稱能改寫為形式：f(y)dy=g(x)dx的一階方程為可分離變量

方程。

注：不是所有的方程都能這樣，故可分離變量方程為一階線性

方程的特殊情況。

定理1：若尸(丁)=f(y)，G(x)=g(x)，貝!)f(y)dy=g(x)dx的通解為F(y)=G(x)+C

證：(1)先證F(y)=G(x)+C是方程的解。

兩邊對x求導(dǎo)，得/(y)3=g(x)，即f(y)dy=g{x}dx

ax

故F(y)=G(x)+C是方程的解

(2)設(shè)y=e(x)是方程的任一解，則f[(p{x)A(p\x)dx=g(x)dx

兩邊關(guān)于X積分，得J/Mx)]“(x)dr=Jg(x)公

又尸(x)是/(x)的一個原函數(shù)，G(x)是g(x)的一個原函數(shù)

貝！I/取切=G(x)+C,即y=玄幻在尸(y)=G(x)+C中

所以，E(y)=G(x)+C為f(y)dy=g(x)dx的通解。

注1：可分離變量方程的解法：先分離變量，再兩邊積分，即得

通解。

注2：用來確定通解中的任意常數(shù)的條件，稱為方程的初始條

件。

【例1】求sinxcosMr-cosxsinydy=0的通解，并求滿足初始條件y(0)=￡

4

的特解。

解：方程可變?yōu)樾∑兔笮?，兩邊積分，得-lncosx=-lncosy-lnC

cosxcosy"

即C0)5=CcCMS為方程的通解。

又y(0)=],代入，得cos—=CcosO，C=

442

即滿足初始條件的特解為cosy=fcosx

【例2】求上廣，的通解。

解：由"二=“，分離變量，得空“，兩邊積分，得

即為方程的隱式通解。

二、可化為齊次方程的方程

經(jīng)產(chǎn)：+;變換將行如％方程化為齊次方程。

y=Y+kaxaxx-\-bxy+cx

【例3】求上—的通解。

axx+y+1

解：令卜=x+\則空_曰+僅七.

[y=Y+ZdXX+Y+(h+k+\)

令p-"l=°n尸即卜X

[h+k+\=O[k=-l[y=y-l

方程變?yōu)椋?=分，令”！代入，得

axX+YA

占三T，積分，得12uu2=CX2f由"二！代回，得

1-2LLHXX

通解為：1.2四/四丫=以2(其中C為任意常數(shù))

XyXJ

§9.3齊次方程

內(nèi)容要點：

齊次方程的定義及求解公式，可化為齊次方程的定義以及

解法

本單元的講課提綱

齊次方程的判別和解法不算困難，難在尋找相應(yīng)的變量代

換的問題，變量代換法比較靈活，可多舉一些各類型的例題，

讓學(xué)生多見識一些變量代換，以便學(xué)生活躍思路，積累經(jīng)驗。

重點是齊次方程與變量代換法，難點是尋找變量代換。

作業(yè)：同步訓(xùn)練習(xí)題

一、齊次方程

定義1：稱能改寫成形式：，二/百的微分方程為一階齊次方程。

ax

我們下面來看看齊次方程解的情形：

令八匕即尸小代入方程，得

X

〃+**("),分離變量,得苦1

axu-j(u)x

兩邊積分，解出"，再將〃U回代，即得通解。

X

【例1】求(y+行+y2)dx-xdy=O的通解。

解：原方程可化為華二+1甲f,令"二，即尸山代入方程，得

axxVvxjx

“+X包i+G,化簡-^=一如

dxVl+w2%

積分，得u+yll+u2,將回代，得通解為y+G二方=c

XX

二、可化為齊次方程的方程

經(jīng)產(chǎn)：+;變換將行如多二四S方程化為齊次方程。

【例4】求手=3的通解。

axx+y+1

解.令［x=x+/z則"=x_y+(〃_"i)

天卜=丫+左'dX~X+Y+(h+k+l)

令y-I=°n尸即尸

［力+攵+1=0k=—ly=Y-l

方程變?yōu)椋汉?汽，令代入，得

dXX+YX

積分，得12MU2^CX29由“=!代回，得

l-2u-uXX

通解為：1一2號一代(其中C為任意常數(shù))

§9.4一階線性微分方程

一\內(nèi)容要點：

一階線性微分方程的形式及求解公式，伯努利方程的形式

及解法

本單元的講課提綱

(1)講線性非齊次的一階方程的解法時，要交待變易常

數(shù)的想法并加強(qiáng)練習(xí)，這對今后講二階線性方程和線性方程組

的常數(shù)變易法是有益的。

(2)導(dǎo)出線性非齊次一階方程的求通解公式以后，可順

利導(dǎo)出滿足條件y(xo)=〉o的特解公式，還應(yīng)指出兩點：第一，當(dāng)

尸(x),Q(x),eC時，線性方程的解總可通過兩次積分求得，第二，揭

示通解結(jié)構(gòu)。重點是解線性非齊次方程的公式法與常數(shù)變易

法。難點是伯努利方程。關(guān)鍵是套求解公式或常數(shù)變易法及湊

微分或令之―Z解伯努利方程。

二、教學(xué)要求和注意點

1、知道解一階線性微分方程的常數(shù)變易法，并掌握一階

非齊次線性方程的通解公式。

2、知道一階非齊次線性方程的通解為對應(yīng)的齊次方程的

通解和非齊次方程的一個特解之和

3、齊次方程與線性齊次方程的作用

一、一階線性微分方程

定義1：稱可轉(zhuǎn)化為形式：*ax+P(x)y=Q⑶(1)的方程為一階線性

方程;若。加。,則(1)式稱為一階線性齊次方程；QMO,(1)

式稱為一階線性非齊次方程。

下面我們來看看方程(1)的解的情形：先看齊次方程：

—ax+P(x)y=Q(2)顯然是可分離變量方程。

得包=-P(x)dx兩邊積分，得尸叱8岫(3)為一階線性齊次方

y9

程(2)的通解。

下面我們求(1)的解，由方程(1)和(2)形式的相似

性，那它們的解也具有某種相似性。我們用一種常數(shù)變易法來

求(1)的解：假設(shè)尸為非齊次方程⑴的解，代入方程,

得

，/\n/、/\一［P(x)以n/、/\-fP(x)cix

c(x)e」-P(x)c(x)eJ+P(x)c(x)eJ=Q(x)

則cr(x)e^PMdx=Q(x)9c\x)=e^PMdxQ(x)

積分，得c(x)=JQ(x)e="C

則”(降)尸岫公+。尸”(4)即為方程(1)的通解。

【例1】求y'-ytgx=secx的通解。

解：由于y-*gx=secx為一階線性非齊次方程，且P(x)=-/gx,Q(x)=secx,

代入(4),得其通解為

y=(jsecxe^'sxdxdx+(x+C)secx

［例2］求先廣的通解。

ax2x-y

解：若將y看成函數(shù)，x作為變量，此方程不是一階線性方程。

故將.看成函數(shù)，y作為變量，則原方程化為：

牛;3進(jìn)一步化簡，牛+2=一八為一階線性方程，

dyydyy

尸(y)=2,Q(y)=-y

y

代入(4),得方程的通解為x=y(C-lny)o

二、貝努力方程一可化為一階線性方程的方程

定義2：稱形如：孚+P(x)y=Q(x)y"的方程為一階貝努力方程。

ax

下面我們看看貝努力方程的解的情形：將方程變形為

二與+P(x)y1=0(x)，令zT,則方程化為

ax

+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)，為一階線性方程，故可用上述方法求解，

ax

最后將zT"代回，即得通解。

【例3】求W+y-y21nx=0的通解。

解：將方程變形，得力,+—為貝努力方程。令代

xx

入

手一匚出,利用(4),得z=lnx+l+Cr93^.z=yT,

dxxx

所以「為原方程的通解。

§9.5全微分方程

一\內(nèi)容要點：

全微分方程的定義及其條件，解的表達(dá)式常見的積分因

子。

本單元的講課提綱

1、全微分方程的解法關(guān)鍵在于首先將方程寫成

P(x,y)dx+Q(x,y')dy=0

驗證字=當(dāng)如果成立，則可把上式寫成〃“=皿+。叱。解為U(3=C,

dyox

求U(x,y)有下列三種方法：

1)線積分法2)偏積分法3)分組觀察湊全微分法

2、若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中生=?，則可以尋求一個積分因子

dyox

〃(x,y)，使得之謠)=目(〃。)，即存在U(無,y)使得dU="(Pdx+Qdy)=o從而

dydx

u(x,y)=c是通解。

二、教學(xué)要求和注意點

判斷和求解全微分方程的方法；尋找積分因子的分組觀察

法；

定義1:如果存在可微函數(shù)u{x,y)，使du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,則稱

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0微全微分方程o

命題：(1)Pdx+Qdy=0為全微分方程。普=當(dāng)

oxdy

(2)Pdx+Qdy=0的通解為”(x,y)=C9其中

u(x,y)=rP(x,y0)dx+PQ(x,y)dyo

【例1］求以+(《+3外=0的通解。

2y

解：令=由于#=等，故方程為全微分方程

2yoxdy

所以u{x,y)=￡P(guān)(x,%)心+J；Q(x，y)dy=￡xdx+￡'(y+；)辦=學(xué)+Iny=C

二、可化為全微分方程的方程一積分因子

定義2：設(shè)Pdx+Qdy^O不是全微分方程，如果存在可微函數(shù)“(X,y)使

“Pdx+”Qdy=0為全微分方程，則稱履x,y)為原方程的積分因子。

注：積分因子不唯一，而且一般也沒有什么固定的方法求解積

分因子，故只有多積累才能有效的解題。

【例2】(1)xdy—ydx=O；(2)xdx+ydy+(x2+y2)x2dx=0

(1)(xdy-ydx)-^r=0=>—dy=Onj?]=0n，=c

xxxyx)x

(2)[xdx+ydy4-(x2+y2)x2dx]~-=0=+，夕+x2dx=0

x+yx+y

n嗎111(/+；/)]+或#)=0="(/+丁2)+；%3=0

§9.6可降階的高階微分方程

一\內(nèi)容要點：

可降階的高階微分方程的三種類型：*=〃%),F(x,y,,y")=O,

E(y，W)=o，找出解的表達(dá)式及解法。

本單元的講課提綱：

1、關(guān)于高階微分方程的解法

求解的思路是通過變量代換把高階方程的求解化為較低

階方程求解，教材介紹了三種可降階方程的類型，對于不屬于

這三類方程的特殊高階方程有時也能通過換元或者全微分等

手段變成這三種類型進(jìn)行求解。

2、嚴(yán)=於)

只需逐步積分即可求解，在求積分過程中每次都需增加一

個常數(shù)，最后的解應(yīng)包含n個常數(shù)。

3、可降階的二階微分方程

通常的二階微分方程為小V，y”O(jiān),有四個變數(shù),僅當(dāng)缺少誡y

時一定可以降階求解。

二、教學(xué)要求和注意點

解方程1/(3)中令一〃半的作用，上P半的導(dǎo)出過程

ayay

說明1：求解全微分方程可暫不引入偏導(dǎo)數(shù)概念，對X求導(dǎo)時

把y看成常數(shù)即可，對積分因子只須介紹用目測可以解

決的簡單情形；對于全微分的原函數(shù)概念可在格林公式

以后介紹。

說明2：高階線性微分方程的應(yīng)用背景非常廣泛，要針對不同

的專業(yè)選擇不同的問題引入課題，這樣能使學(xué)生對微

分方程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣。

定義1：稱二階及二階以上的微分方程為高階微分方程。

一、嚴(yán)方⑴一連續(xù)積分n次即得其通解。

［例1］八，

連續(xù)積分兩次，得，y=e'+qx+c2

二、＜=/（2，）一跟標(biāo)準(zhǔn)形式相比，缺少y。

令p=y，，JB!|p'=y"9則p'=f（x,p）,設(shè)其通解為p=°（尤,c）

則y'=（p（x,c）f兩邊積分即得通解。

【例2】求+的通解。

解：令令P7,則占“則”+〃一（一階線性方程）

2x

利用（4）,得通解：p=x-2x+2+cte~

又P=V，所以通解了=%3_%2+21_年-*+。2

二、y"=/（y，y'）一一缺少X

令PT，則力字條p華,代入，得產(chǎn)=，（y，P）

ayaxayay

設(shè)其通解為〃=9（y,c）,貝!Jy=°（y,c）,即——積分即得。

3

【例3】y"=2y9y(O)=/(O)=l求特解。

解：令〃=了，則y"=p平，從而P曰=2y3,pdp=2y3dy

ayay

積分，得由y(o)=y(0)=1,得q=0

所以p=±y2由y'(O)=l知「=”當(dāng)

ax

所以-'=X+。2由y(O)=l知4=-1r=

y\-x

【例5】求y』+(y)2的通解。

解：此題既缺少一又缺少y。從理論上，按以上兩種方法都

能算出結(jié)果，但可能難度有差別。

此題課堂上當(dāng)場做，檢查學(xué)生的能力。

§9.7高階線性微分方程

一\內(nèi)容要點：

二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，高階線性微分方程的解的

結(jié)構(gòu)，常數(shù)變易法，函數(shù)組線性無關(guān)的充分必要條件。

本單元的教學(xué)提綱

1、關(guān)于二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)

①齊次線性方程和非齊次線性方程都有解的可加性。

②非齊次線性方程的通解可表示為一個特解與相應(yīng)齊次

線性方程的通解之和。

③線性方程的通解包括了該方程的所有解。

2、關(guān)于二階線性方程只須知道齊次方程的一個特解，則

利用常數(shù)變易法可求出它的全部解。

3、對于二階非齊次線性方程而言，若相應(yīng)的二階齊次線

性方程的通解為C1yI(x)+C2y2(x)，也可用常數(shù)變易法找出其特解。

本單元的作業(yè)：

二、教學(xué)要求和注意點

二階線性齊次方程中，通解中所含特解的線性無關(guān)性

一、函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)

定義1：設(shè)%。),％甕),…,y“(x)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，如果存在不

全為零的數(shù)匕公??“使得

匕%+A2y2+…+匕”三。則稱NG)，%。)，…,y"(x)在區(qū)間I上線性相關(guān)。否則，

稱…,%")在區(qū)間I上線性無關(guān)。

命題1:設(shè)%(x),%(x)是定義在I上的函數(shù)，則M(X),〉2(X)線性無關(guān)。中

>2(X)

不恒為常數(shù)。

注1：若%(x),%(x)線性無關(guān),則Ky(x)+?2y2(為無法合并成陽X)，但當(dāng)

必(戲％3線性相關(guān)可以合并。

二、二階線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)

定義2：稱形如：y〃+P(x)y，+Q(x)y=/(x)的方程為二階線性非齊次方

程。若/(x)=0，則方程為齊次的，若/(x)#0,則稱方程為非齊次

的。

定理1：設(shè)M(x),當(dāng)(x)是)嚴(yán)+P(x)y，+Q(x)y=0的兩個線性無關(guān)的解，則

GM(x)+c2y2(幻為方程的通解。

定理2：設(shè)y*是/+P(x)y'+Q(x)y=/(x)的特解。。兇(%)+02%(無)是對應(yīng)的齊

次方程的通解，則

y=y*+qy（x）+c2y2（X）是y"+P（X）y'+Q（X）y=/（X）的通解。

定理3：設(shè)y；,y；分別是y"+P(x)y+Q(x)y=./；(x)與y"+P(x)y'+Q(x)y=f2(x)，則y；

+),；是

/+P(x)y'+Q(x)y=fi(x)+啟x)的解。

【例1】設(shè),=延》2，,‘2=祀'+二,為=打-2，一"*是某二階線性非齊次方程

的解，求該方程的通解。

解：Xdf，丫2』-力，又白工不恒為常數(shù)

Y2e-e

所以，九八線性無關(guān)。故通解為y=co+C2(eJe7)+W+e2，

§9.8常系數(shù)齊次線性微分方程

內(nèi)容要點：

二階常系數(shù)齊次線性方程的定義，特征方程、通解、n階常

系數(shù)齊次線性方程的定義，特征方程、通解。

本單元的講課提綱

高階微分方程一般都很難求得通解，只有常系數(shù)線性微分

方程的解法已經(jīng)完全解決，一般形式可寫成

嚴(yán)++???+=0

其中”是常數(shù)，由于假設(shè)＞=為它的解，經(jīng)求導(dǎo)代入方程消

去",后得到的相應(yīng)的特征方程

n

r++…+pn=0

這是n次方程,它一定有n個根八，…”其中彳可以是k重實根，

也可以是k重共甄復(fù)根每一個，都對應(yīng)齊次方程的一個特

解,共得到n個線性無關(guān)的特解，利用線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，

可構(gòu)成n個任意常數(shù)的通解。

本單元的作業(yè)：

說明1：把求解常系數(shù)線性齊次微分方程的問題化成求解多項

式代數(shù)方程的問題，這不僅僅是一種普通的求方程解的技巧，

在線性控制系統(tǒng)中系統(tǒng)和不同的環(huán)節(jié)都可以用常系數(shù)線性微

分方程來描述，用拉普拉斯變換導(dǎo)出它的傳遞函數(shù)也是一個多

項式代數(shù)方程，這說明常系數(shù)線性齊次微分方程和多項式代數(shù)

方程之間有著本質(zhì)上的聯(lián)系。通過對多項式代數(shù)方程的分析，

可以得到控制系統(tǒng)的特性。

說明2：用特征方程求解常系數(shù)線性齊次微分方程要求熟練

一、二階常系數(shù)線性齊次方程的解

二、定義:稱形如力力+分=。（1）,其中陷為常數(shù)的方程為二階

常系數(shù)線性齊次方程.\

下面我們來討論其解的結(jié)構(gòu).

命題1：e”是y"+W+qy=0的解o廠是r2+pr+q=0的解,并稱r2+pr+q=0⑵

是⑴的特征方程.

（D當(dāng)特征方程⑵有兩個不同的實根.時，則時方

程⑴的兩個解,且且不恒為常數(shù)，從而方程⑴的通解為

%

，2X

y=qe*+c2e?

(ii)當(dāng)釬一時,則y3是⑴的一個解.現(xiàn)在求另一個線性無關(guān)

的解％.設(shè)與?⑴，代入⑴得

e

e"〃”+(2r+〃)〃'+(，+pr+(7)J=0,2r+/?=0,r2+pr+(7=0^f\)\=0

rx

則w(x)=q+c2x取w(x)=x,則%=xe

,xrx

通解為：y=cxe+c2xe

(ill)當(dāng)=a土4,則％=e爐，%=**,應(yīng)用歐拉公式,得

y=^(cos/Jx+zsin0x),y2=e*(cos像一isinJ3x)

構(gòu)造k仙+%)=*s如f)=*C。自

顯然仆線性無關(guān)，故通解為：y=e"(qcos^￥+c2sinpx)

［例1］求通解(1)/+2/+y=0(2)y+2/-3=0(3)y"+y=0

解：(1)特征方程為r2+2r+l=0貝!|4=弓=一1

xx

從而通解為y=cxeT+c2xe~

(2)特征方程為產(chǎn)+2-3=0則八=一3,與=1

3j!

從而通解為y=cte~+c2e'

(3)特征方程為/+i=o貝()八2=±，

叢叫項胖力y=c]cosx+c2sinx

二.n階常系數(shù)線性齊次方程

y(">+%y("T+??-+*y'+any=O(1)

特征方程為r"+%尸+…+%+q=0(2)

(i)當(dāng)⑵中有單根時,(1)的通解中含:c*；

(ii)當(dāng)⑵中有人重根時,(1)的通解中含：(c*2x+.??+3”，

(iii)當(dāng)⑵中有一對單復(fù)根時，力=?！?,(1)的通解中含:

產(chǎn)(qCOS/&+C2sin(3x)

(iv)當(dāng)⑵中有左重單復(fù)根時,(1)中的通解含有：

kxrxkirx

(q+c2xd---Fckx~)ecos/3x+(q-^c2x^---^-ckx~)esin/3x

［例2］求*一2)，,〃+2y〃=0通解.

解：特征方程為――2/+2/=0則「乃=0,/=1±?

則y的通解為y=q+。21+/(。3cosx+Qsin尤)

§9.9常系數(shù)非齊次線性微分方程

一\內(nèi)容要