2024春新教材高中數學第八章立體幾何初步8.3.1棱柱棱錐棱臺的表面積和體積分層演練含解析新人教A版必修第二冊

PAGE棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積A級基礎鞏固1.若某長方體同一頂點上的三條棱長分別為1,2,3,則該長方體的表面積為 ()A.22 B.20 C.10 D.11解析:所求長方體的表面積S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22.答案:A2.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則三棱錐D1-ACD的體積是 ()A.16 B.13 C.解析:三棱錐D1-ACD的體積V=13S△ACD×D1D=13×12答案:A3.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,假如AB=3,AC=1,AA1=2,那么直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為 ()A.2 B.3 C.4 D.6解析:因為AB⊥AC,所以S△ABC=AB·AC2所以V棱柱ABC-A答案:B4.如圖所示,某幾何體的下半部分為正方體ABCD-A'B'C'D',上半部分為正四棱錐S-ABCD,若幾何體的高為5,棱AB=2,則該幾何體的體積為12.解析:V正方體=23=8,V四棱錐S-ABCD=13×22×(5-2)=4.所以該幾何體的體積V=V正方體+V四棱錐S-ABCD=125.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,截下一個棱錐C-A1DD1,求棱錐C-A1DD1的體積與剩余部分的體積之比.解:已知長方體可以看成直四棱柱,設它的底面ADD1A1的面積為S,高為h,則它的體積為V=Sh.而棱錐C-A1DD1的底面積為12S,高為h故V棱錐C-A1DD1=余下部分的體積為Sh-16Sh=5所以棱錐C-A1DD1的體積與剩余部分的體積之比為1∶5.B級實力提升6.已知長方體中過一個頂點的三條棱長的比是1∶2∶3,體對角線的長是214,則這個長方體的體積是 ()A.6 B.12 C.24 D.48解析:設長方體中過一個頂點的三條棱長分別為x,2x,3x,又體對角線長為214,則x2+(2x)2+(3x)2=(214)2,解得x=2.所以三條棱長分別為2,4,6.所以V長方體=2×4×6=48.答案:D7.在三棱錐P-ABC中,D,E分別為PB,PC的中點,記三棱錐D-ABE的體積為V1,三棱錐P-ABC的體積為V2,則V1V2解析:如圖所示,設點C到平面PAB的距離為h,三角形PAB的面積為S,則V2=13Sh,V1=V棱錐E-ADB=13×12S×12h=112Sh,8.如圖所示,已知長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V,P是DD1的中點,Q是AB上的動點,求三棱錐P-CDQ的體積.解:設長方體的長、寬、高分別為AB=a,BC=b,AA1=c,則有V=abc.由題意知,PD=12c,S△CDQ=12CD·AD=1所以V三棱錐P-CDQ=13S△CDQ·PD=13×12ab×12c=19.有位油漆工用一把長度為50cm,橫截面半徑為10cm的圓柱形刷子給一塊面積為10m2的木板涂油漆,且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速滾動前進,則油漆工完成任務所需的時間是多少?(精確到0.01s)解:由題意可知,圓柱形刷子滾動一周涂過的面積就等于圓柱的側面積,50cm=0.5m,10cm=0.1m.因為圓柱的側面積為S側=2π×0.1×0.5=0.1π(m2),且圓柱形刷子以每秒5周的速度勻速滾動,所以圓柱形刷子每秒滾過的面積為0.5πm2.所以油漆工完成任務所需的時間t=100.5π=20πC級挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.開放性問題現有一個棱長為1的正方體禮品盒,須要買一張正方形彩紙將其完全包住,請你設計一個方案,在不將彩紙撕開的狀況下,所買彩紙費用最少.(注:彩紙按面積收費)解:如圖①為棱長為1的正方體禮品盒,先把正方體