2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)備考訓(xùn)練7等差數(shù)列與等比數(shù)列-小題備考含解析

PAGE備考訓(xùn)練7等差數(shù)列與等比數(shù)列——小題備考一、單項選擇題1．在等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，則S16＝()A．288B．144C．572D．722．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則aA．16B．8C．4D．23．已知等差數(shù)列{an}的公差和首項都不為0，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，則eq\f(a1＋a14,a3)＝()A．2B．3C．5D．74．[2024·山東四校聯(lián)考]已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，Sn為其前n項和，S3＝9，且a2－1，a3－1，a5－1構(gòu)成等比數(shù)列，則S5＝()A．15B．－15C．30D．255．[2024·山東師大附中月考]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和是Sn，若－am<a1<－am＋1(m∈N*，且m≥2)，則必定有()A．Sm>0，且Sm＋1<0B．Sm<0，且Sm＋1>0C．Sm>0，且Sm＋1>0D．Sm<0，且Sm＋1<06．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a2·a6·a10＝3eq\r(3)，b1＋b6＋b11＝7π，則taneq\f(b2＋b10,1－a3·a9)的值是()A．1B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(2),2)D．－eq\r(3)7．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若eq\f(a2019,a2020)>－1且Sn有最小值，則使前n項和Sn>0成立的最小自然數(shù)n為()A．4038B．4039C．4040D．40418．[2024·山東萊州一中質(zhì)量檢測]數(shù)列{an}的通項公式為an＝ncoseq\f(nπ,2)，其前n項和為Sn，則S2020等于()A．1010B．2020C．504D．0二、多項選擇題9．數(shù)列{an}滿意a1＝1，且對隨意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)n＝eq\f(nn＋1,2)B．數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前100項和為eq\f(200,101)C．數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前100項和為eq\f(99,100)D．數(shù)列{an}的第100項為5005010．已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且3a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)1>0B．q>0C.eq\f(a3,a2)＝3或－1D.eq\f(a6,a4)＝911．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＋1＝4an＋2，a1＝1，令bn＝an＋1－2an，設(shè)cn＝eq\f(an,2n)，則下列說法正確的是()A．數(shù)列{bn}是等比數(shù)列B．數(shù)列{cn}是等比數(shù)列C．數(shù)列{an}的通項公式an＝(3n－1)2n－2D．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝(3n－4)2n－1＋212．[2024·山東濰坊學(xué)情調(diào)研]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(1,tanA)，eq\f(1,tanB)，eq\f(1,tanC)依次成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中不肯定成立的是()A．a(chǎn)，b，c依次成等差數(shù)列B.eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)依次成等差數(shù)列C．a(chǎn)2，b2，c2依次成等差數(shù)列D．a(chǎn)3，b3，c3依次成等差數(shù)列三、填空題13．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，滿意a2＋a8＝6，S5＝－5，則a6＝________，Sn的最小值為________．14．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}前n項和為Sn，若S1＝2,3Seq\o\al(2,n)－2an＋1Sn＝aeq\o\al(2,n＋1)，則an＝________.15．[2024·山東濟寧模擬]已知數(shù)列{an}的前項和為Sn＝n2，若bn＝eq\f(－1n·n,anan＋1)，則數(shù)列{bn}的前100項的和為________．16．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，滿意a1＝2,3Sn＝(n＋m)an，m∈R，且anbn＝n.則a2＝________；若存在n∈N*，使得λ＋Tn≥T2n成立，則實數(shù)λ的最小值為________．備考訓(xùn)練7等差數(shù)列與等比數(shù)列——小題備考1．解析：a2＋a5＋a12＋a15＝2(a2＋a15)＝36，∴a1＋a16＝a2＋a15＝18，∴S16＝eq\f(16a1＋a16,2)＝8×18＝144，故選B.答案：B2．解析：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，q>0，,a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，,a1q4＝3a1q2＋4a1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2，))∴a3＝a1q2＝4.故選C.答案：C3．解析：由a1，a2，a4成等比數(shù)列，得aeq\o\al(2,2)＝a1a4.∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)∴d2＝a1d∵d≠0，a1≠0∴d＝a1∴eq\f(a1＋a14,a3)＝eq\f(a1＋a1＋13d,a1＋2d)＝eq\f(15a1,3a1)＝5.故選C.答案：C4．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝9，,a1＋2d－12＝a1＋d－1a1＋4d－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2，))∴S5＝5×1＋eq\f(5×4×2,2)＝25.答案：D5．解析：由題意知，a1＋am>0，a1＋am＋1<0，得Sm＝eq\f(ma1＋am,2)>0，Sm＋1＝eq\f(m＋1a1＋am＋1,2)<0.故選A.答案：A6．解析：由題意知a2·a6·a10＝aeq\o\al(3,6)＝3eq\r(3)，b1＋b6＋b11＝3b6＝7π.∴a6＝eq\r(3)，b6＝eq\f(7,3)π，∴taneq\f(b2＋b10,1－a3·a9)＝taneq\f(2b6,1－a\o\al(2,6))＝taneq\f(\f(14π,3),1－3)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,3)))＝－eq\r(3)，故選D.答案：D7．解析：因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，又因為Sn有最小值，所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且前若干項為負數(shù)，從某一項后的項為正數(shù)．又因為eq\f(a2019,a2020)>－1，使前n項和Sn>0成立的最小自然數(shù)n應(yīng)使eq\f(a2019,a2020)<0，所以a2019<0，a2020>0?S4037＝eq\f(a1＋a4037,2)×4037＝4037×a2019<0；將eq\f(a2019,a2020)>－1兩端同時乘以a2020得a2019>－a2020，即a2019＋a2020>0?S4038＝eq\f(a1＋a4038,2)×4038＝eq\f(a2019＋a2020,2)×4038>0.所以使前n項和Sn>0成立的最小自然數(shù)n為4038.故選A.答案：A8．解析：令bn＝coseq\f(nπ,2)，則{bn}為周期為4的數(shù)列，即當k∈N*時有，當n＝4k－3時，coseq\f(4k－3π,2)＝0，即a4k－3＝0，當n＝4k－2時，coseq\f(4k－2π,2)＝－1，即a4k－2＝－(4k－2)，當n＝4k－1時，coseq\f(4k－1π,2)＝0，即a4k－1＝0，當n＝4k時，coseq\f(4kπ,2)＝1，即a4k＝4k，即a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝2，所以S2020＝(0－2＋0＋4)＋(0－6＋0＋8)＋…＋(0－2014＋0＋2016)＋(0－2018＋0＋2020)＝505×2＝1010.答案：A9．解析：因為an＋1＝an＋n＋1，所以an＋1－an＝n＋1，又a1＝1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝eq\f(nn＋1,2)，數(shù)列{an}的第100項為5050，故A正確，D錯誤．所以eq\f(1,an)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前100項和為2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)－\f(1,101)))))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,101)))＝eq\f(200,101).故B正確，C錯誤．故選AB.答案：AB10．解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意得2×eq\f(1,2)a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q.因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以a1>0，且q>0，故A、B正確；由q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)，所以eq\f(a3,a2)＝q＝3，eq\f(a6,a4)＝q2＝9，故C錯誤，D正確，故選ABD.答案：ABD11．解析：由題意，Sn＋1＝4an＋2，Sn＋2＝4an＋1＋2，兩式相減得，Sn＋2－Sn＋1＝4(an＋1－an)，an＋2＝4an＋1－4an，所以an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，因為bn＝an＋1－2an，所以bn＋1＝2bn，又由題設(shè)得1＋a2＝4＋2＝6，即a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3，所以{bn}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故A正確．由A得bn＝3·2n－1，所以bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，所以eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(3,4)，即cn＋1－cn＝eq\f(3,4).所以數(shù)列{cn}是首項為eq\f(1,2)，公差為eq\f(3,4)的等差數(shù)列．故B錯誤；由B得，cn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)(n－1)＝eq\f(3,4)n－eq\f(1,4)，即eq\f(an,2n)＝eq\f(3,4)n－eq\f(1,4)，所以an＝(3n－1)2n－2，則Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)2n－1＋2.故C，D正確．故選ACD.答案：ACD12．解析：△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(1,tanA)，eq\f(1,tanB)，eq\f(1,tanC)依次成等差數(shù)列，則：eq\f(2,tanB)＝eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)，利用tanα＝eq\f(sinα,cosα)，整理得：eq\f(2cosB,sinB)＝eq\f(cosC,sinC)＋eq\f(cosA,sinA)，利用正弦和余弦定理得：2·eq\f(a2＋c2－b2,2abc)＝eq\f(a2＋b2－c2,2abc)＋eq\f(b2＋c2－a2,2abc)，整理得：2b2＝a2＋c2，即：a2，b2，c2依次成等差數(shù)列．此時對等差數(shù)列a2，b2，c2的每一項取相同的運算得到數(shù)列a，b，c或eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)或a3，b3，c3，這些數(shù)列一般都不行能是等差數(shù)列，除非a＝b＝c，但題目沒有說△ABC是等邊三角形．故選ABD.答案：ABD13．解析：依題意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋8d＝6，,5a1＋10d＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝2.))所以a6＝－5＋10＝5，Sn＝－5n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2－6n，當n＝3時，Sn的最小值為－9.答案：5－914．解析：由S1＝2，得a1＝S1＝2.由3Seq\o\al(2,n)－2an＋1Sn＝aeq\o\al(2,n＋1)，得4Seq\o\al(2,n)＝(Sn＋an＋1)2.又an>0，∴2Sn＝Sn＋an＋1，即Sn＝an＋1.當n≥2時，Sn－1＝an，兩式作差得an＝an＋1－an，即eq\f(an＋1,an)＝2.又由S1＝2,3Seq\o\al(2,1)－2a2S1＝aeq\o\al(2,2)，求得a2＝2.∴當n≥2時，數(shù)列{an}是以a2＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列．a(chǎn)n＝2×2n－2＝2n－1.驗證當n＝1時不成立，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2))15．解析：當n＝1時，a1＝S1＝12＝1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，且當n＝1時，2n－1＝1＝a1，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1，bn＝eq\f(－1n·n,anan＋1)＝(－1)n·eq\f(n,2n－12n＋1)＝(－1)n·eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1)))，則數(shù)列{bn}的前100項的和為eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋\f(1,7)))＋…－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,197)＋\f(1,199)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,199)＋\f(1,201))))