數(shù)學(xué)學(xué)案：互動課堂第二講二圓錐曲線的參數(shù)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂重難突破本課時要掌握橢圓、雙曲線、拋物線的參數(shù)方程,并能應(yīng)用于設(shè)圓錐曲線上的點(diǎn)，從而討論最值、距離或定值等問題。難點(diǎn)是對參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義或物理意義的理解.一、圓錐曲線的參數(shù)方程的實(shí)際意義圓錐曲線的參數(shù)方程不是無本之末、無源之水，而是來源于實(shí)際生活,是實(shí)際生活的抽象。例如，在軍事上,在一定高度下作水平飛行的飛機(jī)將炸彈進(jìn)攻投向目標(biāo),要知道炸彈離開飛機(jī)后的各個時刻所處的位置.像這樣的實(shí)際問題顯然炸彈所處的位置與離開飛機(jī)的時間密切相關(guān),通過時間就可以將炸彈各個時刻所處橫、縱位置給確定，從而可知其所處位置,是否能擊中目標(biāo)就可以及時得知，這時顯然通過建立相應(yīng)的參數(shù)方程比建立普通方程容易，這也更有利于實(shí)際需要。再比如在研究人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道時，常常也選擇其參數(shù)方程的形式來予以研究。這樣的例子還有很多。二、圓錐曲線的參數(shù)方程1.橢圓=1（a〉0，b〉0)的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))。要注意:(1)參數(shù)φ的幾何意義是點(diǎn)（假設(shè)為M)的離心角,不是OM的旋轉(zhuǎn)角。(2)通常規(guī)定φ∈［0,2π）。2.雙曲線=1(a>0，b〉0）的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)).同樣需注意:（1)參數(shù)φ是點(diǎn)（假設(shè)為M)所對應(yīng)的圓的半徑的旋轉(zhuǎn)角(也稱為點(diǎn)M的離心角)，不是OM的旋轉(zhuǎn)角.(2）通常規(guī)定φ∈[0,2π），且φ≠，φ≠.3。拋物線y2=2px(其中p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)的參數(shù)方程為(t為參數(shù)）.需強(qiáng)調(diào)，參數(shù)t表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù),且t∈(-∞,+∞).4.圓錐曲線的參數(shù)方程的特點(diǎn)。橢圓與雙曲線的參數(shù)方程都與三角函數(shù)有著密切的關(guān)系.橢圓的參數(shù)方程與正弦、余弦函數(shù)有著密切的關(guān)系，這與橢圓的有界性和正弦、余弦函數(shù)的有界性有著一定的關(guān)系。而雙曲線的參數(shù)方程與正割、正切函數(shù)有著密切的關(guān)系，這也與雙曲線的圖形分布和正割、正切函數(shù)的值域有著密切的關(guān)系.拋物線的參數(shù)方程是一、二次函數(shù)形式，同樣這也與拋物線的圖形分布和一、二次函數(shù)的值域相對應(yīng)著。5.從課本的推導(dǎo)過程來看,好像一條圓錐曲線的參數(shù)方程形式的確是唯一的,但事實(shí)上,同一條圓錐曲線的參數(shù)方程形式也不唯一，例如橢圓的參數(shù)方程可以是的形式，也可以是的形式，它們二者只是形式上不同而已,但實(shí)質(zhì)上都是表示同一個橢圓(通過消參數(shù)即可看出)，同樣對于雙曲線、拋物線亦是如此。6.當(dāng)圓錐曲線的普通方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式時，也可表示為參數(shù)方程形式，如（a>b>0)可表示為(φ為參數(shù));同時要注意在使用參數(shù)方程時所含變量的取值范圍。例如,實(shí)數(shù)x、y滿足=1,試求x—y的最大值與最小值，并指出何時取得最大值與最小值.分析：本題的思考方式也許容易想到由已知方程予以變形代換，但容易看到會出現(xiàn)開方，很不利于求x—y的最大值與最小值.這時，根據(jù)已知條件可考慮借助于相應(yīng)的參數(shù)方程來求解，借助于正弦、余弦的有界性從而把問題解決.求解的過程可如下：解：由已知可設(shè)則x-y=(4cosθ+1）-（3sinθ—2)=（4cosθ-3sinθ）+3=5cos（θ+α)+3，其中cosα=,sinα=。當(dāng)cos（θ+α）=1，即θ+α=2kπ,k∈Z時,cosθ=cos(2kπ-α)=cosα=,sinθ=sin(2kπ—α)=-sinα=-，x=4×+1=,y=3×(-）-2=-時，x-y的最大值為8,同理,當(dāng)x=—,y=—時，x-y的最小值為—2?；顚W(xué)巧用【例1】已知A、B分別是橢圓=1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動，求△ABC的重心G的軌跡的普通方程。解析:本題有兩種思考方式，求解時把點(diǎn)C的坐標(biāo)設(shè)為一般的(x1，y1）的形式或根據(jù)它在該橢圓上運(yùn)動也可以設(shè)為（6cosθ，3sinθ)的形式，從而予以求解。解:由動點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動,故據(jù)此可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6cosθ,3sinθ)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x,y），則由題意可知點(diǎn)A（6，0)、B(0，3）。由重心坐標(biāo)公式可知由此消去θ得到+（y—1)2=1，即為所求。點(diǎn)評：本題的解法體現(xiàn)了橢圓的參數(shù)方程對于解決相關(guān)問題的優(yōu)越性。運(yùn)用參數(shù)方程顯得很簡單，運(yùn)算更簡便。【例2】在橢圓=1(a>b>0)的第一象限的上求一點(diǎn)P，使四邊形OAPB的面積最大，并求最大面積.解析:如圖，將四邊形的OAPB分割成△OAP與△OPB,則P點(diǎn)縱坐標(biāo)為△OAP的OA邊上的高,P點(diǎn)橫坐標(biāo)為△OPB的OB邊上的高。解:設(shè)P(acosθ，bsinθ），S△APB=S△OAP+S△OPB=absinθ+abcosθ=ab（sinθ+cosθ）=absin（+θ).當(dāng)θ=時，四邊形OAPB面積最大，最大面積為ab，此時，P點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b）.點(diǎn)評:用參數(shù)方程解決一些最值、距離或定值等問題,非常有效?！纠?】在橢圓7x2+4y2=28上求一點(diǎn)，使它到直線l：3x—2y—16=0的距離最短,并求出這一最短距離。解:把橢圓方程化為=1的形式，則可設(shè)橢圓上點(diǎn)A坐標(biāo)為（2cosα,sinα），則A到直線l的距離為(其中β=arcsin）.∴當(dāng)β—α=時，d有最小值，最小值為。此時α=β-，∴sinα=-cosβ=-，cosα=sinβ=.∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(）?！纠?】一炮彈在某處爆炸，在F1（-5000,0)處聽到爆炸聲的時間比在F2（5000，0）處晚秒，已知坐標(biāo)軸的單位長度為1米，聲速為340米/秒，爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？并求爆炸點(diǎn)所在的曲線的參數(shù)方程。解析：本題與實(shí)際生活緊密相關(guān),主要考查學(xué)生能否將所學(xué)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際生活中來解決相關(guān)的問題,并注意曲線的普通方程與參數(shù)方程之間的關(guān)系.解：由聲速為340米/秒可知F1、F2兩處與爆炸點(diǎn)的距離差為340×=6000米。因此爆炸點(diǎn)在以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線上.因?yàn)楸c(diǎn)離F1處比F2處更遠(yuǎn),所以爆炸點(diǎn)D應(yīng)在靠近F2處的一支上。設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y），則PF1—PF2=6000，即2a=6000，a=3000,而c∴b2=50002—30002=40002.又PF1—PF2=6000>0，∴x〉0.∴所求的雙曲線方程為=1（x>0）。故所求曲線的參數(shù)方程為〔θ∈(-，）〕.點(diǎn)評:在F1處聽到爆炸聲比F2處晚秒,相當(dāng)于爆炸點(diǎn)離F1