考點21 平行四邊形（原卷版）

考點21平行四邊形平行四邊形的性質(zhì)與判定是初中數(shù)學中四邊形知識的開端和基礎，正是在平行四邊形的基礎之上才能逐漸延伸特殊平行四邊形的知識和規(guī)律。中考數(shù)學中，對平行四邊形的單獨考察難度一般不大，但題型較為廣泛，選擇、填空、解答題都有可能；但是，該考點的學習隱含了比較多的思想方法，需要學生在整體復習該考點的過程中注重反證法、轉(zhuǎn)化、類比歸納等思想方法的提升。多邊形平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的判定平行四邊形的存在性考向一：多邊形多邊形與正多邊形正多邊形定義各邊都相等，各角都相等的多邊形為正多邊形多邊形與正多邊形的性質(zhì)n邊形的內(nèi)角和為任意多邊形的外角和為360°任意多邊形的內(nèi)角中，最多有3個銳角n邊形共有條對角線正多邊形都是軸對稱圖形，變數(shù)為偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形1．若一個n邊形從一個頂點最多能引出6條對角線，則n是（）A．5 B．8 C．9 D．102．我們學習多邊形后，發(fā)現(xiàn)凸多邊形的對角線有一定的規(guī)律，①中的四邊形共有2條對角線，②中的五邊形共有5條對角線，③中的六邊形共有9條對角線，…，請你計算凸十邊形對角線的總條數(shù)（）A．54 B．44 C．35 D．273．一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，它為（）邊形．A．10 B．6 C．8 D．124．如果一個多邊形的內(nèi)角和等于其外角和的2倍，那么這個多邊形是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形考向二：平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)定理∶平行四邊形的對邊平行且相等.平行四邊形的對角相等，鄰角互補.平行四邊形的對角線互相平分.利用平行四邊形的性質(zhì)證明邊、角關(guān)系時，一定要找準那些對解題有幫助的性質(zhì)，有時也可以根據(jù)結(jié)論逆向推理看是否符合那些性質(zhì).平行四邊形的問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為三角形全等的判定與性質(zhì)類問題應用。1．關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)，下列描述錯誤的是（）A．平行四邊形的對角線相等 B．平行四邊形的對角相等 C．平行四邊形的對角線互相平分 D．平行四邊形的對邊平行且相等2．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，則∠A的度數(shù)是（）A．130° B．115° C．65° D．50°3．在平行四邊形ABCD中，∠A的角平分線把邊BC分成長度為4和5的兩條線段，則平行四邊形ABCD的周長為（）A．13或14 B．26或28 C．13 D．無法確定4．如圖，在?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于點F，CE平分∠BCD交AD于點E，若AB＝6，AD＝8，則EF的長度為（）A．4 B．5 C．6 D．75．如圖，在?ABCD中，E為邊BC延長線上一點，連結(jié)AE、DE．若△ADE的面積為2，則?ABCD的面積為（）A．5 B．4 C．3 D．26．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．點E為BC的中點，連接EO并延長交AD于點F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列結(jié)論：①S?ABCD＝AB?AC；②AD＝4OE；③EF⊥AC；④S△BOE＝．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1考向三：平行四邊形的判定平行四邊形的判定方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。將平行四邊形問題化為三角形問題來解決，這是問題化為三角形問題來解決，這是解決平行四邊形問題的常用方法。3.在解決平行四邊形的判定問題時，要結(jié)合題判定問題時，要結(jié)合題目條件選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行證明。證明過程中的推理步驟要嚴謹，幾何證明過程中的推理步驟要嚴謹，幾何語言書寫要規(guī)范。1．下列圖形中，一定可以拼成平行四邊形的是（）A．兩個等腰三角形 B．兩個全等三角形 C．兩個銳角三角形 D．兩個直角三角形2．在平面直角坐標系xOy中，已知A（1，﹣1），B（4，2），C（0，3），下列坐標不能與A、B、C構(gòu)成平行四邊形的是（）A．（﹣3，0） B．（5，﹣2） C．（3，6） D．（﹣3，﹣2）3．在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝DC，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD∥BC4．在8×8的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，其中點A，B，C均在格點上，若點A的坐標為（0，0），請在給定的網(wǎng)格中找出格點E，使以點A、B、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，則點E的坐標為．5．如圖，在△ABC中，點F是BC的中點，點E是線段AB的延長線上的一動點，連接EF，過點C作CD∥AB，與線段EF的延長線交于點D，連接CE、BD．求證：四邊形DBEC是平行四邊形．6．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點P以1cm/s的速度由A向D運動，點Q以3cm/s的速度由C向B運動，其中一動點到達終點時，另一動點隨之停止運動，設運動時間為t秒．（1）AP＝，BQ＝，（分別用含有t的式子表示）；（2）當四邊形PQCD的面積是四邊形ABQP面積的2倍時，求出t的值．（3）當點P、Q與四邊形ABCD的任意兩個頂點所形成的四邊形是平行四邊形時，直接寫出t的值．考向四：平行四邊形的存在性問題1.知識儲備：①平行四邊形是中心對稱圖形②中心對稱圖形的性質(zhì)：對稱中心平分中心對稱圖形內(nèi)通過該點的任意線段，且使中心對稱圖形的面積被平分③中點公式：2.方法策略：（1）有3個定點，找第4個點形成平行四邊形時：①設第4個點的坐標②以3個定點組成的3條線段為對角線分類討論③以中心對稱圖形的性質(zhì)為等量關(guān)系列式求解例，如圖所示，平面直角坐標系內(nèi)有A、B、C三點，在平面內(nèi)找第4個點，構(gòu)成平行四邊形；有2個定點，且另外兩個動點均在特殊的位置上時，方法策略同上。如，當如，當A、B已知，點C在直線y=x上，點D在拋物線上，則設C（a,a）；分類還分別分①以AB為對角線，②以AC為對角線，③以BC為對角線；依其性質(zhì)分別表示出D點坐標；將點D坐標再分別帶入拋物線解析式，即可求出a的值，C、D坐標就都能求出來了。1．已知O、A、B的坐標分別是（0，0），（3，1），（﹣1，2），在平面內(nèi)找一點M，使得以點O、A、B、M為頂點的四邊形是平行四邊形，則點M的坐標為．2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝18cm，BC＝15cm，點P在AD邊上以每秒2cm的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上，以每秒1cm的速度從點C向點B運動，當一點到達終點停止運動時，另一點也停止運動，則運動時間為秒時，直線PQ在四邊形ABCD內(nèi)部截出一個平行四邊形．3．在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），點B（﹣3，2），點C（0，2），點P從點B出發(fā)，以2個單位每秒的速度沿射線BC運動，點Q從點A出發(fā)，開始以1個單位每秒的速度向原點O運動，到達原點后立刻以原來3倍的速度沿射線OA運動，若P，Q兩點同時出發(fā)，設運動時間為t秒，則當t＝時，以點A，Q，C，P為頂點的四邊形為平行四邊形．4．如圖，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，動點M從點D出發(fā)，按折線DCBAD方向以2cm/s的速度運動，動點N從點D出發(fā)，按折線DABCD方向以1cm/s的速度運動．（1）若動點M，N同時出發(fā)，t秒時，N走過cm，M走過cm；（2）若動點M，N同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘兩點第一次相遇？（3）若點E在線段BC上，且BE＝3cm，若動點M，N同時出發(fā)，相遇時停止運動，經(jīng)過幾秒鐘，點A，E，M，N組成平行四邊形？1．（2022?湘西州）一個正六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為（）A．1080° B．720° C．540° D．360°2．（2022?河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是（）A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 C．α﹣β＞0 D．無法比較α與β的大小3．（2022?西寧）若正n邊形的一個外角是36°，則n＝．4．（2022?通遼）正多邊形的每個內(nèi)角為108°，則它的邊數(shù)是（）A．4 B．6 C．7 D．55．（2022?資陽）小張同學家要裝修，準備購買兩種邊長相同的正多邊形瓷磚用于鋪滿地面．現(xiàn)已選定正三角形瓷磚，則選的另一種正多邊形瓷磚的邊數(shù)可以是．（填一種即可）6．（2022?廣東）如圖，在?ABCD中，一定正確的是（）A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC7．（2022?大慶）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在E處．若∠1＝56°，∠2＝42°，則∠A的度數(shù)為（）A．108° B．109° C．110° D．111°8．（2022?無錫）如圖，在?ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，點E在AD上，∠EBA＝60°，則的值是（）A． B． C． D．9．（2022?達州）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，BC邊的中點，點F在DE的延長線上．添加一個條件，使得四邊形ADFC為平行四邊形，則這個條件可以是（）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF10．（2022?畢節(jié)市）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點P為BC邊上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ長度的最小值為．11．（2022?益陽）如圖，在?ABCD中，AB＝8，點E是AB上一點，AE＝3，連接DE，過點C作CF∥DE，交AB的延長線于點F，則BF的長為（）A．5 B．4 C．3 D．212．（2022?邵陽）如圖，在等腰△ABC中，∠A＝120°，頂點B在?ODEF的邊DE上，已知∠1＝40°，則∠2＝．13．（2022?常德）如圖，已知F是△ABC內(nèi)的一點，F(xiàn)D∥BC，F(xiàn)E∥AB，若?BDFE的面積為2，BD＝BA，BE＝BC，則△ABC的面積是．14．（2022?廣西）如圖，在?ABCD中，BD是它的一條對角線．（1）求證：△ABD≌△CDB；（2）尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）連接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度數(shù)．15．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是AD的中點，連接BO并延長交CD的延長線于點E，連接BD，AE．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）若BD＝CD，判斷四邊形ABDE的形狀，并說明理由．16．（2022?揚州）如圖，在?ABCD中，BE、DG分別平分∠ABC、∠ADC，交AC于點E、G．（1）求證：BE∥DG，BE＝DG；（2）過點E作EF⊥AB，垂足為F．若?ABCD的周長為56，EF＝6，求△ABC的面積．17．（2022?溫州）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，O是DF的中點，EO的延長線交線段BD于點G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．（2）當AD＝5，tan∠EDC＝時，求FG的長．1．（2022?懷化）一個多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形2．（2022?煙臺）一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰外角的度數(shù)比為3：1，則這個正多邊形是（）A．正方形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形3．（2022?福建）四邊形的外角和度數(shù)是．4．（2022?株洲）如圖所示，已知∠MON＝60°，正五邊形ABCDE的頂點A、B在射線OM上，頂點E在射線ON上，則∠AEO＝度．5．（2022?遂寧）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A、F分別在正方形BMGH的邊BH、GH上．若正方形BMGH的邊長為6，則正六邊形ABCDEF的邊長為．6．（2022?湘潭）在?ABCD中（如圖），連接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，則∠BCD＝（）A．80° B．100° C．120° D．140°7．（2022?內(nèi)江）如圖，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點M，則DM的長為（）A．2 B．4 C．6 D．88．（2022?朝陽）將一個三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數(shù)為（）A．100° B．80° C．70° D．60°9．（2022?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF⊥AC，垂足為F．若AB＝6，AC＝8，DE＝4，則BF的長為（）A．4 B．3 C． D．210．（2022?廣州）如圖，在?ABCD中，AD＝10，對角線AC與BD相交于點O，AC+BD＝22，則△BOC的周長為．11．（2022?泰安）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，則點B的坐標為．12．（2022?河北）依據(jù)所標數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是（）A．B． C．D．13．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，點E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長是（）A．8 B．16 C．24 D．3214．（2022?安徽）如圖，?OABC的頂點O是坐標原點，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C，y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點B．若OC＝AC，則k＝．15．（2022?臨沂）如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N是對角線BE上的兩點．添加下列條件中的一個：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四邊形AMDN是平行四邊形的是（填上所有符合要求的條件的序號）．16．（2022?日照）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點O在坐標原點，點E是對角線AC上一動點（不包含端點），過點E作EF∥BC，交AB于F，點P在線段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P點的橫坐標為m，則m的取值范圍是（）A．4＜m＜3+ B．3﹣＜m＜4 C．2﹣＜m＜3 D．4＜m＜4+17．（2022?煙臺）如圖，在?ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于點F，BE∥DF，交AD的延長線于點E．若∠A＝40°，求∠ABE的度數(shù)．18．（2022?桂林）如圖，在?ABCD中，點E和點F是對角線BD上的兩點，且BF＝DE．（1）求證：BE＝DF；（2）求證：△ABE≌△CDF．19．（2022?鞍山）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．20．（2022?長沙）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝AD．（1）求證：AC⊥BD；（2）若點E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點，連接EF，EF＝，AO＝2，求BD的長及四邊形ABCD的周長．21．（2022?大慶）如圖，在四邊形ABDF中，點E，C為對角線BF上的兩點，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．連接AE，CD．（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）若AE＝AC，求證：AB＝DB．22．（2022?畢節(jié)市）如圖1，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）如圖2，E，F(xiàn)，G分別是BO，CO，AD的中點，連接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周長．1．（2022?河南模擬）如圖，?OABC的頂點O（0，0），C（13，0），OA＝3，點B在第一象限，將?OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到?OA'B'C'，當點A的對應點A'落在x軸正半軸上時，點B的對應點B'恰好落在BC的延長線上，則點B'的坐標是（）A．（5，﹣12） B．（8，﹣12） C．（8，﹣13） D．（12，﹣8）2．（2022?東營二模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB3．（2022?營口模擬）如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AO，AB于點M，N；②以點O為圓心，以AM長為半徑作弧，交OC于點M′；③以點M′為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠COB內(nèi)部交前面的弧于點N′；④過點N′作射線ON′交BC于點E，若AB＝8，則線段OE的長為（）A．4 B．5 C．3 D．3.54．（2022?威縣校級模擬）如圖，已知?ABCD，點E，F(xiàn)在對角線AC上，且AE＝CF，連接DE，DF，BE，BF．求證：四邊形DEBF為平行四邊形．以下是排亂的證明過程：①∴四邊形DEBF為平行四邊形；②∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OD＝OB，OA＝OC；③連接BD，交AC于點O；④∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，證明步驟正確的順序是（）A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①5．（2022?永豐縣模擬）如圖，?ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD，BC上，DE＝BF＝3，EF⊥AD，若EF＝8，AE＝9，AB的長為（）A．6 B． C．9 D．106．（2022?蘭陵縣一模）如圖1，平行四邊形ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角．要在對角線BD上找點N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案是（）A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是 C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是7．（2023?定遠縣校級一模）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，AE平分∠BAD，交BC于點E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，連接OE，下列結(jié)論：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四邊形ABCD＝AC?CD；④S四邊形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2023?槐蔭區(qū)模擬）已知一個多邊形的內(nèi)角和比外角和多180°，則它的邊數(shù)為．9．（2022?碑林區(qū)校級模擬）一個正多邊形的每個外角為45°，則這個正多邊形的對角線共有條．10．（2022?鹿城區(qū)校