自動控制原理第2版

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學模型2.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流程圖1數(shù)學模型的一般概念

1、定義人們常將描述系統(tǒng)工作狀態(tài)的各物理量隨時間變化的規(guī)律用數(shù)學表達式或圖形表示出來，這種描述系統(tǒng)各個物理量之間關(guān)系的數(shù)學表達式或圖形稱為系統(tǒng)的數(shù)學模型。2、建模方法通常有兩種方法：機理分析法和實驗辨識法。機理分析法是通過理論推導(dǎo)得出，這種方法是根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律來編寫；實驗辨識法是由實驗求取，即根據(jù)實驗數(shù)據(jù)通過整理編寫出來。本章著重討論機理分析法。22.1.1線性定常系統(tǒng)微分方程的建立目的：通過該方程確定被控量與給定量及擾動量之間的函數(shù)關(guān)系。2.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型方法與步驟:（1）根據(jù)實際情況，確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量。（2）從輸入端開始，按信號傳遞遵循的有關(guān)規(guī)節(jié)列出元件微分方程。（3）消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程。（4）整理，輸入量項=輸出量項。3例1

編寫RC電路微分方程（1）確定輸入、輸出量為ui

、u0（2）根據(jù)電路原理列微分方程（3）消去中間變量，可得電路微分方程42.1.2微分方程的求解1、方法步驟（1）考慮初始條件，對微分方程兩端進行拉氏變換；（2）求出輸出量的拉氏變換表達式；（3）求輸出量的拉氏反變換，得到輸出量的時域解.具體見課本例2-62、解的組成由特解和通解組成.通解決定于方程的特征根，特解決定于輸入量.52.1.3非線性系統(tǒng)的線性化

1、對于單變量函數(shù)，將非線性函數(shù)y=f（x），在其工作點展開成泰勒(Taylor)級數(shù)，然后略去二次以上的高階項，得到線性化方程，用來代替原來的非線性函數(shù)。忽略二階以上各項，可寫成

利用小偏差線性化的數(shù)學處理:靜態(tài)工作點附近的泰勒(Taylor)級數(shù)展開62、對于具有兩個自變量的非線性函數(shù)，設(shè)輸入量為x1(t)和x2(t)，輸出量為y(t)，系統(tǒng)正常工作點為y0＝f(x10,x20)。

在工作點附近展開泰勒(Taylor)級數(shù)得忽略二階以上各項，可寫成

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2.2.1、傳遞函數(shù)的概念和性質(zhì)1、傳遞函數(shù)的定義：線性系統(tǒng)在零初始條件下，輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比。線性定常系統(tǒng)微分方程的一般表達式:

其中為系統(tǒng)輸出量，為系統(tǒng)輸入量在初始情況為零時，兩端取拉氏變換：2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學模型8

移項后得：上式中Xc(s)輸出量的拉氏變換；Xr(s)輸入量的拉氏變換；W(s)為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)。2、傳遞函數(shù)的兩種表達形式

a.傳遞函數(shù)的零極點表示形式

b.傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表示形式93、傳遞函數(shù)的性質(zhì)a.傳遞函數(shù)的概念只適應(yīng)于線性定常系統(tǒng)。b.傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身的特性參數(shù)有關(guān)，而與輸入量變化無關(guān)。

c.傳遞函數(shù)不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運動規(guī)律。

d.傳遞函數(shù)分子多項式階次低于或至多等于分母多項式的階次。10例1RC電路（1）當u1為輸入，u2為輸出時：11例2RLC電路取ur為輸入，uc為輸出,系統(tǒng)微分方程為：零初始條件下，對上式進行拉氏變換得：122.2.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1、比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)/無慣性環(huán)節(jié)）特點：輸入量與輸出量的關(guān)系為一種固定的比例關(guān)系。典型電路132、積分環(huán)節(jié)特點：輸出量隨時間成正比地無限增加3、微分環(huán)節(jié)特點：是積分環(huán)節(jié)的逆運算，其輸出量反映了輸入信號的變化趨勢，實踐中，理想的微分環(huán)節(jié)難以實現(xiàn)。144、慣性環(huán)節(jié)特點：只包含一個儲能元件，使其輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時間上的延遲。

5、一階微分環(huán)節(jié)156、振蕩環(huán)節(jié)特點：振蕩的程度與阻尼系數(shù)有關(guān)。7、二階微分環(huán)節(jié)式中：

——自然振蕩角頻率

——阻尼比

162.3(1)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各組成元件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學圖形，它表示了系統(tǒng)的輸入輸出之間的關(guān)系。

2.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成于繪制1、結(jié)構(gòu)圖的組成G(S)H(S)Xf(S)E(S)Xr(S)XC(S)-a信號線：帶箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞方向。b引出點（分離點）：表示信號引出或測量的位置。c比較點（相加點）：對兩個以上信號加減運算。d方框：方框圖內(nèi)輸入環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。172、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟：（1）確定系統(tǒng)輸入量與輸出量。（2）將復(fù)雜系統(tǒng)劃分為若干個典型環(huán)節(jié)。（3）求出各典型環(huán)節(jié)對應(yīng)的傳遞函數(shù)。（4）作出相應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖。（5）按系統(tǒng)各變量的傳遞順序，依次將各元件的結(jié)構(gòu)圖連接起來。見例2-122.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化結(jié)構(gòu)圖的變換必須遵循的原則是：變換前后的數(shù)學關(guān)系保持不變，因而也稱為結(jié)構(gòu)圖的等效變換。常用的結(jié)構(gòu)圖變換方法可歸納為兩類：一類是環(huán)節(jié)的合并，另一類是信號的分支點或相加點的移動。181、環(huán)節(jié)的合并

法則一環(huán)節(jié)串聯(lián)，傳遞函數(shù)相乘。19法則二環(huán)節(jié)并聯(lián)，傳遞函數(shù)相加。20法則三反饋連接212、信號相加點及分支點的移動（原則:換位前后的輸入/輸出信號間關(guān)系不變）

法則四相加點從環(huán)節(jié)輸入端移到輸出端

22法則五相加點從環(huán)節(jié)輸出端移到輸入端

23法則六分支點從環(huán)節(jié)輸入端移到輸出端

法則七分支點從環(huán)節(jié)輸出端移到輸入端

24注意：相加點和分支點一般不能變位

252.3.3閉環(huán)傳遞函數(shù)1、給定輸入單獨作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)2、擾動輸入單獨作用下的閉環(huán)系統(tǒng)263、誤差傳遞函數(shù)：誤差信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比。（1）給定輸入單獨作用下的閉環(huán)系統(tǒng)（2）擾動輸入單獨作用下的閉環(huán)系統(tǒng)4)給定輸入和擾動輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的總的輸出量和偏差輸出量272.3(2)控制系統(tǒng)的信號流圖e1abcdfghC(s)R(s)2.3.4信號流圖的組成1、節(jié)點：表示變量；2、支路：相當于乘法器.信號在支路上沿箭頭單方向傳遞.※與信號流圖有關(guān)的常用術(shù)語：源節(jié)點：輸入節(jié)點，一般代表輸入變量，只連輸出支路。阱節(jié)點：輸出節(jié)點，只連輸入支路，不連輸出支路，一般代表輸出變量.混合節(jié)點：既連接輸入支路，又連接輸出支路.前向通路：信號從輸入節(jié)點向輸出節(jié)點傳遞時，每個節(jié)點只通過一次的通路.回路：起點和終點在同一節(jié)點，且信號通過每一節(jié)點不多于一次的閉合通路.不接觸回路：同一系統(tǒng)沒有公共節(jié)點的回路。282.3.5信號流圖的繪制（根據(jù)結(jié)構(gòu)圖）用節(jié)點代替信號線，支路代替方框.2.3.6梅森增益公式Pk—從R(s)到C(s)的第k條前向通路傳遞函數(shù)C(s)R(s)=∑Pk△k△△稱為系統(tǒng)特征式△=其中:—所有單獨回路增益之和∑La∑LbLc—所有兩兩互不接觸回路增益乘積之和∑LdLeLf—所有三個互不接觸回路增益乘積之和△k稱為第k條前向通路的余子式△k求法:去掉第k條前向通路后所求的△-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…