高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 橢圓的幾何性質(zhì)（第4課時）直線與橢圓的位置關系（三）課件 新人教B版選修2-1-新人教B版高二選修2-1數(shù)學課件

第4課時直線與橢圓的位置關系(三)第一章2.2.2

橢圓的幾何性質(zhì)題型探究TIXINGTANJIU題型一定點問題可得a2＝2b2，(2)設橢圓E的左頂點是A，若直線l：x－my－t＝0與橢圓E相交于不同的兩點M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過點A，試判定直線l是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標.解由x－my－t＝0得x＝my＋t，把它代入E的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，因為以MN為直徑的圓過點A，所以AM⊥AN，＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2因為M，N與A均不重合，所以t≠－2，由于點T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0，反思感悟求定點問題，需要注意兩個方面：一是抓“特值”，涉及的定點多在兩條坐標軸上，所以可以先從斜率不存在或斜率為0的特殊情況入手找出定點，為解題指明方向.二是抓“參數(shù)之間的關系”，定點問題多是直線過定點，所以要抓住問題的核心，實質(zhì)就是求解直線方程中參數(shù)之間的關系，所以要熟悉直線方程的特殊形式，若直線的方程為y＝kx＋b，則直線y＝kx＋b恒過點(0，b)，若直線方程為y＝k(x－a)，則直線恒過點(a,0).(1)求橢圓C的標準方程；(2)如圖所示，橢圓C的左頂點為A，過原點O的直線(與坐標軸不重合)與橢圓C交于P，Q兩點，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點.試問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(與直線PQ的斜率無關)？并說明理由.題型二定值問題例2

已知橢圓C：

＝1過A(2,0)，B(0,1)兩點.(1)求橢圓C的方程及離心率；解由題意得a＝2，b＝1，(2)設P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.證明設P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，又A(2,0)，B(0,1)，從而四邊形ABNM的面積為定值.反思感悟(1)求定值問題的常用方法：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.(2)定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關.在這類問題中選擇消元的方向是非常關鍵的.由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cos60°＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1||MF2|(1＋cos60°)，由|F1F2|＝4得c＝2，從而b＝2，(2)設N(0,2)，過點P(－1，－2)作直線l，交橢圓C于異于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，證明：k1＋k2為定值.證明當直線l的斜率存在時，設斜率為k，顯然k≠0，則其方程為y＋2＝k(x＋1)，得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.Δ＝56k2＋32k>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，綜上，k1＋k2為定值.(1)求橢圓E的方程；題型三存在性問題解當直線l與x軸垂直時不滿足條件.故可設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝k(x－2)＋1，代入橢圓方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，反思感悟解決探索性問題的注意事項探索性問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在.(1)當條件和結論不唯一時要分類討論；(2)當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；(3)當條件和結論都不知，按常規(guī)方法解題很難