2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)評價四十三第六章概率3.1離散型隨機(jī)變量的均值含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE四十三離散型隨機(jī)變量的均值1．春節(jié)期間，國人發(fā)微信拜年已成為一種時尚，若小李的40名同事中，給其發(fā)微信拜年的概率為1，0.8，0.5，0的人數(shù)分別為8，15，14，3，則通常狀況下，小李應(yīng)收到同事的拜年微信數(shù)為()A．27B．37C．38D．8【解析】選A.通常狀況下，小李應(yīng)收到同事拜年微信的條數(shù)為1×8＋0.8×15＋0.5×14＋0×3＝27.2．(2024·玉林高二檢測)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(k,4)))＝ak(k＝1，2，3，4)，a為常數(shù)，則()A．a(chǎn)＝eq\f(1,5) B．Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X>\f(1,2)))＝eq\f(7,10)C．P(X<4a)＝eq\f(1,5) D．EX＝eq\f(1,2)【解析】選B.因?yàn)閍(1＋2＋3＋4)＝1，所以a＝eq\f(1,10)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X>\f(1,2)))＝eq\f(3,10)＋eq\f(4,10)＝eq\f(7,10)，P(X<4a)＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X<\f(2,5)))＝eq\f(1,10)，EX＝eq\f(1,4)×eq\f(1,10)＋eq\f(2,4)×eq\f(2,10)＋eq\f(3,4)×eq\f(3,10)＋eq\f(4,4)×eq\f(4,10)＝eq\f(3,4).3．(2024·淄博高二檢測)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq\f(1,3)eq\f(1,6)缺失數(shù)據(jù)則隨機(jī)變量X的期望為()A．eq\f(13,4)B．eq\f(11,4)C．eq\f(13,6)D．eq\f(11,6)【解析】選C.由分布列的概率的和為1，可得：缺失的數(shù)據(jù)為1－eq\f(1,3)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,2).所以隨機(jī)變量X的期望為：1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,2)＝eq\f(13,6).4．若隨機(jī)變量X的概率分布列如表：X024P0.30.20.5則E(5X＋2019)等于()A．2031B．12C．2.4D．15.2【解析】選A.據(jù)題意，得EX＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，所以E(5X＋2019)＝5EX＋2019＝5×2.4＋2019＝2031.5．已知隨機(jī)變量X的分布列如下，EX＝7.5，則ab的值是()X4a910P0.30.1b0.2A.1.8B．2.4C．2.8D．3.6【解析】選C.由題意得：0.3＋0.1＋b＋0.2＝1，解得b＝0.4，又EX＝4×0.3＋0.1a＋9×0.4＋10×0.2＝7.5，解得a＝7，所以ab＝7×0.4＝2.8.6．(2024·長沙高二檢測)離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝n)＝na，n＝1，2，3，則EX＝________．【解析】因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝n)＝na，n＝1，2，3，所以a＋2a＋3a＝1，解得a＝eq\f(1,6)，所以EX＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(2,6)＋3×eq\f(3,6)＝eq\f(7,3).答案：eq\f(7,3)一、單選題(每小題5分，共20分)1．(2024·寧波高二檢測)甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率為eq\f(1,3)，乙、丙打中的概率均為eq\f(t,4)(0<t<4)，若甲、乙、丙都打中的概率是eq\f(9,48)，設(shè)ξ表示甲、乙兩人中中靶的人數(shù)，則ξ的數(shù)學(xué)期望是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(2,5)C．1D．eq\f(13,12)【解析】選D.因?yàn)閑q\f(9,48)＝eq\f(1,3)×eq\f(t,4)×eq\f(t,4)，t＝3，列出分布列，利用期望公式計(jì)算．ξ的全部可能取值為0，1，2，則ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,6)eq\f(7,12)eq\f(1,4)所以Eξ＝eq\f(7,12)＋2×eq\f(1,4)＝eq\f(13,12).2．(2024·呼和浩特高二檢測)一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目ξ的期望為()A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4【解析】選C.由題意知ξ＝0，1，2，3，因?yàn)楫?dāng)ξ＝0時，表示前三次都沒射中，第四次還要射擊，但結(jié)果不計(jì)，所以P(ξ＝0)＝0.43，因?yàn)楫?dāng)ξ＝1時，表示前兩次都沒射中，第三次射中，所以P(ξ＝1)＝0.6×0.42，因?yàn)楫?dāng)ξ＝2時，表示第一次沒射中，其次次射中，所以P(ξ＝2)＝0.6×0.4，因?yàn)楫?dāng)ξ＝3時，表示第一次射中，所以P(ξ＝3)＝0.6，所以Eξ＝2.376.3．某日A，B兩個沿海城市受臺風(fēng)攻擊的概率相同，已知A市或B市至少有一個受臺風(fēng)攻擊的概率為0.36，若用X表示這一天受臺風(fēng)攻擊的城市個數(shù)，則EX＝()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【解析】選D.設(shè)A，B兩市受臺風(fēng)攻擊的概率均為p，則A市或B市都不受臺風(fēng)攻擊的概率為(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)，P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以EX＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.4．已知隨機(jī)變量X的分布列為XabcPabc則對于隨意0<a<b<c<1，EX的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C．(0，1)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))【解析】選B.由隨機(jī)變量的期望定義可得出EX＝a2＋b2＋c2，因?yàn)?<a<b<c<1，且a＋b＋c＝1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2>2ab,a2＋c2>2ac,b2＋c2>2bc))，三式相加并化簡可得a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，故(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ac＋2bc＋2ab＝a2＋b2＋c2＋2(ac＋bc＋ab)<3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2>eq\f(（a＋b＋c）2,3)＝eq\f(1,3)，所以EX>eq\f(（a＋b＋c）2,3)＝eq\f(1,3)，又因?yàn)镋X＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝1－2(ab＋bc＋ca)<1，所以eq\f(1,3)<EX<1.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．國際象棋競賽中規(guī)定，勝方得1分，負(fù)方得0分，和棋得0.5分．某青少年國際象棋公開賽中，某選手每場競賽得分的分布列如表：X10.50Pabc且eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝8，則該選手進(jìn)行一場競賽得分的期望可能是()A．0.3B．0.5C．0.7D．0.8【解析】選BCD.由隨機(jī)變量X的分布列可知，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為EX＝a＋eq\f(1,2)b，易知0<a<1，0<b<1，所以8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝eq\f(2a,b)＋eq\f(b,2a)＋2≥2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＋2＝4，即a＋eq\f(1,2)b≥eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時等號成立．6．(2024·莆田高二檢測)設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量ξ的分布列如表，則下列結(jié)論正確的有()ξ012Pp－p2p21－pA.Eξ隨著p的增大而增大 B．Eξ隨著p的增大而減小C．P(ξ＝0)<P(ξ＝2) D．P(ξ＝2)的值最大【解析】選BC.由題意Eξ＝p2＋2(1－p)＝(p－1)2＋1，由于0<p<1，所以Eξ隨著p的增大而減小，A錯，B正確；又p－p2＝p(1－p)<1－p，所以C正確；p＝eq\f(3,4)時，P(ξ＝2)＝eq\f(1,4)，而P(ξ＝1)＝＝eq\f(9,16)>eq\f(1,4)，D錯．三、填空題(每小題5分，共10分)7．若P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，則E(2X－3)＝________．【解析】由題意得：EX＝p，所以E(2X－3)＝2EX－3＝2p－3.答案：2p－38．已知隨機(jī)變量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且Eη＝7，若ξ的分布列如表所示，則n的值為________．ξ1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)【解析】η＝4ξ－2，Eη＝4Eξ－2＝7，Eξ＝eq\f(9,4)，所以Eξ＝1×eq\f(1,4)＋2m＋3n＋4×eq\f(1,12)＝eq\f(9,4)，且概率和eq\f(1,4)＋m＋n＋eq\f(1,12)＝1，解得n＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)四、解答題(每小題10分，共20分)9．(2024·昆明高二檢測)東方商店欲購進(jìn)某種食品(保質(zhì)期兩天)，此商店每兩天購進(jìn)該食品一次(購進(jìn)時，該食品為剛生產(chǎn)的).依據(jù)市場調(diào)查，該食品每份進(jìn)價8元，售價12元，假如兩天內(nèi)無法售出，則食品過期作廢，且兩天內(nèi)的銷售狀況互不影響，為了了解市場的需求狀況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)該產(chǎn)品在本地區(qū)100天的銷售量如表：銷售量(份)15161718天數(shù)20304010(視樣本頻率為概率)(1)依據(jù)該產(chǎn)品100天的銷售量統(tǒng)計(jì)表，記兩天中一共銷售該食品份數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望；(2)以兩天內(nèi)該產(chǎn)品所獲得的利潤期望為決策依據(jù)，東方商店一次性購進(jìn)32或33份，哪一種得到的利潤更大？【解析】(1)依據(jù)題意可得P(ξ＝30)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,25)，P(ξ＝31)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,10)×2＝eq\f(3,25)，P(ξ＝32)＝eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×2＋eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝33)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,10)×2＋eq\f(3,10)×eq\f(2,5)×2＝eq\f(7,25)，P(ξ＝34)＝eq\f(3,10)×eq\f(1,10)×2＋eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(11,50)，P(ξ＝35)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,10)×2＝eq\f(2,25)，P(ξ＝36)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(1,100)，ξ的分布列如下：ξ30313233343536peq\f(1,25)eq\f(3,25)eq\f(1,4)eq\f(7,25)eq\f(11,50)eq\f(2,25)eq\f(1,100)Eξ＝30×eq\f(1,25)＋31×eq\f(3,25)＋32×eq\f(1,4)＋33×eq\f(7,25)＋34×eq\f(11,50)＋35×eq\f(2,25)＋36×eq\f(1,100)＝32.8.(2)當(dāng)購進(jìn)32份時，利潤為32×4×eq\f(21,25)＋(31×4－8)×eq\f(3,25)＋(30×4－16)×eq\f(1,25)＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6，當(dāng)購進(jìn)33份時，利潤為33×4×eq\f(59,100)＋(32×4－8)×eq\f(1,4)＋(31×4－16)×eq\f(3,25)＋(30×4－24)×eq\f(1,25)＝77.88＋30＋12.96＋3.84＝124.68，125.6>124.68，所以當(dāng)購進(jìn)32份時，利潤更高．10．(2024·黃岡高二檢測)某城市為激勵人們乘坐地鐵出行，地鐵公司確定依據(jù)乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段實(shí)惠政策，不超過30站的地鐵票價如下表：乘坐站數(shù)x0<x≤1010<x≤2020<x≤30票價(元)369現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過30站，甲、乙乘坐不超過10站的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,3)；甲、乙乘坐超過20站的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3).(1)求甲、乙兩人付費(fèi)相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付費(fèi)用之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】(1)由題意知甲乘坐超過10站且不超過20站的概率為1－eq\f(1,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，乙乘坐超過10站且不超過20站的概率為1－eq\f(1,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，設(shè)“甲、乙兩人付費(fèi)相同”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，所以甲、乙兩人付費(fèi)相同的概率是eq\f(1,3).(2)由題意可知X的全部可能取值為：6，9，12，15，18.P(X＝6)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,12)，P(X＝9)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，P(X＝12)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝15)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)，P(X＝18)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).因此X的分布列如下：X69121518Peq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,6)所以X的數(shù)學(xué)期望EX＝6×eq\f(1,12)＋9×eq\f(1,6)＋12×eq\f(1,3)＋15×eq\f(1,4)＋18×eq\f(1,6)＝eq\f(51,4).依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖甲所示；依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)難等級的頻率分布條形圖如圖乙所示．(1)以此頻率作為概率，試估計(jì)該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)難的概率；(2)該河流域某企業(yè)，在8月份，若沒受1、2級災(zāi)難影響，利潤為500萬元；若受1級災(zāi)難影響，則虧損100萬元；若受2級災(zāi)難影響，則虧損1000萬元．現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對方案：方案防控等級費(fèi)用(單位：萬元)方案一無措施0方案二防控1級災(zāi)難40方案三防控2級災(zāi)難100試問，如僅從利潤考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？說明理由．【解析】(1)依據(jù)甲圖，記該河流8月份“水位小于40米”為事務(wù)A1，“水位在40米至50米之間”為事務(wù)A2，“水位大于50米”為事務(wù)A3，它們發(fā)生的概率分別為：P(A1)＝(0.02＋0.05＋0.06)×5＝0.65，P(A2)＝(0.04＋0.02)×5＝0.30，P(A3)＝0.01×5＝0.05.記該地8月份“水位小于40米且發(fā)生1級災(zāi)難”為事務(wù)B1，“水位在40米至50米之間且發(fā)生1級災(zāi)難”為事務(wù)B2，“水位大于50米且發(fā)生1級災(zāi)難”為事務(wù)B3，所以P(B1)＝0.1，P(B2)＝0.2，P(B3)＝0.6，記“該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)難”為事務(wù)B.則P(B)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＋P(A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝0.65×0.10＋0.30×0.20＋0.05×0.60＝0.155，估計(jì)該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)難的概率為0.155.(2)以企業(yè)利潤為隨機(jī)變量，選擇方案一，則利潤X1(萬元)的取值為：500，－100，－1000，由(1)知P(X1＝500)＝0.65×0.9＋0.30×0.75＋0.05×0＝0.81，P(X1＝－100)＝0.155，P(X1＝－1000)＝0.65×0＋0.30×0.05＋0.05×0.40＝0.035，X1的分布列為X1500－100－1000P0.810.1550.035則該企業(yè)在8月份的利潤期望EX1＝500×0.81＋(－100)×0.155＋(－1000)×0.035＝354.5(萬元).選擇方案二，則X2(萬元)的取值為：460，－1040，由(1)知P(X2＝460)＝0.81＋0.155＝0.965，P(X2＝－1040)＝0.035，X2的分布列為：X2460－1040P0.9650.035則該企業(yè)在8月份的利潤期望EX2＝460×0.965＋(－1040)×0.035＝407.5(萬元)，選擇方案三，則該企業(yè)在8月份的利潤為：EX3