數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：向量的概念及表示

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1.向量、相等向量、共線向量的概念【例1】判斷下列各命題的真假.(1）向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等;（2）向量a與向量b平行，且a與b方向相同或相反；（3）兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量,終點(diǎn)相同；（4）兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；（5）與共線，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上；（6）有向線段就是向量，向量就是有向線段.思路分析：考查向量的基本概念及表示.解：（1）真命題。與互為相反向量。（2）假命題。若a、b中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的.(3）真命題。（4）假命題.終點(diǎn)相同并不能說明這兩個(gè)向量的方向相同或相反。（5）假命題。共線向量所在的直線可以重合也可以平行.（6）假命題。向量是用有向線段來表示的，但并不是有向線段.溫馨提示對(duì)于零向量它比較特殊,它與任一向量平行。解題時(shí)加以注意。2．共線向量（平行向量）的概念理解【例2】如右圖D、E、F分別是等腰Rt△ABC各邊中點(diǎn),∠BAC=90°.(1)寫出圖中與、長(zhǎng)度相等的向量；(2）分別寫出圖中與向量、共線的向量.思路分析：長(zhǎng)度相等的向量包括相等向量、相反向量以及模相等的所有向量.共線與否只看方向不看大小。解：（1)與長(zhǎng)度相等的向量有、、、、。與長(zhǎng)度相等的向量有、。(2）與共線的向量有、、。與共線的向量有，，.溫馨提示共線向量有以下四種情況：方向相同且模相等;方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共線向量.3.向量的模與零向量【例3】下列四個(gè)命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（)①若|a|=0，則a=0②若｜a|=｜b|，則a=b或a=—b③若a∥b，則|a|=|b｜④若a=0，則—a=0A。1B.2C。3思路分析：考查零向量與向量的模的概念。解：分清0與0的區(qū)別，知①錯(cuò)誤；兩個(gè)向量模相等，它們有無數(shù)種位置關(guān)系,故②不正確；兩向量平行模不一定相等，故③錯(cuò)誤。④正確。答案：A溫馨提示①容易忽略0與0的區(qū)別；②誤認(rèn)為模相等時(shí)向量相等,把向量的模同實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等同起來。【例4】給出下列命題,其中正確命題的個(gè)數(shù)是（)①零向量是唯一沒有方向的向量②平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個(gè)③a與b共線,b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量④相等的向量必是共線向量A。1個(gè)B.2個(gè)C。3個(gè)D。4個(gè)解析：①零向量方向任意.②平面內(nèi)的單位向量有無數(shù)個(gè).③a與c方向可能相反.答案:A各個(gè)擊破類題演練1如圖B、C是線段AD的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)最多可以寫出多少個(gè)互不相等的非零向量？思路分析：大小相等、方向相同的向量是相等的.只需從大小和方向兩方面思考即可.解:可設(shè)AD的長(zhǎng)度為3,那么長(zhǎng)度為1的向量有6個(gè)，其中==，==；長(zhǎng)度為2的向量有4個(gè)，其中=，；長(zhǎng)度為3的向量有2個(gè)，所以最多可以寫出6個(gè)互不相等的向量.變式提升1（1）如圖，D、E、F分別是正△ABC的各邊中點(diǎn)，則在以A、B、C、D、E、F六個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中，找出與向量平行的向量。解：與向量平行的向量有7個(gè),分別是、、、、、、。(2）判斷下列命題的真假，并注意體會(huì)它們之間的聯(lián)系與不同.①若a∥b，則a=b.()②若|a|=｜b|,則a=b.（）③若｜a|=｜b｜,則a∥b。（)④若a=b，則｜a|=｜b｜。（)答案:（1）假命題;（2）假命題；(3）假命題;（4）真命題.類題演練2不相等的兩個(gè)向量a和b，有可能是平行向量嗎?若不可能,請(qǐng)說明理由；若有可能，請(qǐng)把各種可能的情形一一列出.解：不相等的兩個(gè)向量有可能平行.有如下三種情況：情況1：兩個(gè)向量a和b中有一個(gè)是零向量而另一個(gè)是非零向量；情況2：兩個(gè)向量a和b都為非零向量，且方向相同；情況3：兩個(gè)向量a和b都為非零向量，且方向相反。變式提升2判斷下列命題是否正確.（1)若a∥b，則a與b的方向相同或相反；(2）共線的向量。若起點(diǎn)不同,則終點(diǎn)一定不同。解：（1)錯(cuò)。若a、b中有一零向量，其方向不定。（2）錯(cuò)。如圖，與共線，雖起點(diǎn)不同，但終點(diǎn)卻相同。類題演練3下列命題中，正確的是（）A.｜a|=｜b｜a=bB.|a|〉|b|a〉bC.a=ba∥bD。|a｜=0a=0解法1:(直接法）∵如果兩個(gè)向量相等，則這兩個(gè)向量必定平行?！鄳?yīng)選C。解法2：（排除法)由向量的定義知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量，數(shù)字0是兩個(gè)不同的概念,零向量是不等于數(shù)字0的?！鄳?yīng)排除D，∴應(yīng)選C。答案：C變式提升3根據(jù)圖形回答下列問題。（1）寫出與共線的向量;(2）寫出與的模大小相等的向量；（3）寫出與相等的向量.思路分析：利用三角形中位線定理解決線段的平行和相等問題，再將線段的平行、相等轉(zhuǎn)化為共線的向量、相等的向量.解：(1）∵E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，∴EFBC.又∵D是BC的中點(diǎn)，∴與向量共線的向量有：，，，，，，。(2）與模相等的向量有：,，，，.（3)與相等的向量有:,。溫馨提示零向量在共線