自動控制原理第二章

第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1微分方程式的編寫2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化2.3傳遞函數(shù)2.4系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換2.6信號流圖重點掌握：微分方程傳遞函數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及信號流圖梅遜公式DifferentialEquationsofPhysicalSystems.TheTransferfunctionofLinearSystems.BlockDiagramandSignal-flowGraph.Mason’sgainformulaMathematicalmodel:Descriptionsofthebehaviorofasystemusingmathematics.數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)的輸入、輸出變量以及系統(tǒng)內(nèi)部各個變量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。常用數(shù)學(xué)模型：微分方程（或差分方程）

傳遞函數(shù)（或結(jié)構(gòu)圖）

頻率特性

狀態(tài)空間表達(dá)式（或狀態(tài)模型）由數(shù)學(xué)模型求取系統(tǒng)性能指標(biāo)的主要途徑1、解析法（機理分析法）根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的物理定律列寫運動方程2、實驗法（系統(tǒng)辨識法）給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性建模方法2.1微分方程式的編寫Thedifferentialequationsdescribingthedynamicperformanceofaphysicalsystemareobtainedbyutilizingthephysicallawsoftheprocess.Step1:確定系統(tǒng)中各元件的輸入、輸出變量。Step2:按信號傳遞順序列寫微分方程。Step3:化簡（線性化、消去中間變量），寫出輸入、輸出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。Step4:變換成標(biāo)準(zhǔn)形式。即與輸出量有關(guān)的項寫在方程左邊，與輸入量有關(guān)的項寫在方程右邊，方程兩邊變量的導(dǎo)數(shù)項均按降冪排列。理想元件的微分方程(1)電阻（ElectricalResistance）UiRDifferentialEquationsforIdealElements(2)電容（ElectricalCapacitance）CUi(3)電感（ElectricalInductance）Li(4)質(zhì)量塊（Massblock）FvMU(5)彈簧（Spring）kx1x2F(6)阻尼器（Damper）bv1v2F(7)運算放大器（Operationalamplifier）R1R2UrUc例題講解2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化系統(tǒng)的微分方程描述

系統(tǒng)名稱微分方程微分方程備注非線性系統(tǒng)非線性微分方程線性系統(tǒng)線性微分方程線性定常系統(tǒng)系數(shù)是常數(shù)線性時變系統(tǒng)系數(shù)是隨著時間變化線性系統(tǒng)的重要性質(zhì)：滿足疊加性和均勻性（齊次性）即：如果輸入r1(t)—>輸出y1(t)，輸入r2(t)—>輸出y2(t)

則輸入ar1(t)+br2(t)—>輸出ay1(t)+by2(t)如果某些非線性特性在一定的工作范圍內(nèi)，可以用線性系統(tǒng)模型近似，稱為非線性模型的線性化。小偏差線性化：用臺勞級數(shù)展開，略去二階以上導(dǎo)數(shù)項。1假設(shè)：x,y在平衡點（x0,y0)附近變化，即

x=x0+△x,y=y0+△y2近似處理3數(shù)學(xué)方法

4略去高階無窮小項例題講解****拉氏變換法求解步驟****1、考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進(jìn)行拉氏變換，得到變量s的代數(shù)方程；2、求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式；3、對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。線性定常微分方程的求解求解方法：經(jīng)典法、拉氏變換法附：拉氏變換常用公式已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求uc(t)例：R1C1i1(t)ur(t)uc(t)答案：拉氏變換性質(zhì)Transferfunction:TheratiooftheLaplacetransformoftheoutputvariabletotheLaplacetransformoftheinputvariable,withallinitialconditionsassumedtobezero.零初始條件下，輸出變量的拉氏變換與輸入變量的拉氏變換之比。2.3傳遞函數(shù)線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的性質(zhì)

傳遞函數(shù)是復(fù)變量S的有理真分式函數(shù)，分子多項式的次數(shù)m

低于或等于分母多項的次數(shù)n，所有系數(shù)均為實數(shù)；2)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和元件的結(jié)構(gòu)，與輸入信號無關(guān)；3)傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，可經(jīng)簡單置換而轉(zhuǎn)換；4)傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，它只反應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)特性；零初始條件含義要明確。傳遞函數(shù)分子多項式與分母多項式經(jīng)因式分解可寫為如下形式：傳遞函數(shù)分子多項式的根zi稱為傳遞函數(shù)的零點；分母多項式的根pj稱為傳遞函數(shù)的極點。K*稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益。傳遞函數(shù)的零點和極點

0

j

S平面?zhèn)鬟f函數(shù)分子多項式與分母多項式也可分解為如下形式：K稱為傳遞系數(shù)或增益，在頻率法中使用較多典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

一般可將自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型看作由若干個典型環(huán)節(jié)所組成。研究和掌握這些典型環(huán)節(jié)的特性將有助于對系統(tǒng)性能的了解。c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)—比例環(huán)節(jié)系數(shù)拉氏變換:比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù):1．比例環(huán)節(jié)微分方程:K

比例環(huán)節(jié)方框圖KR(S)C(S)特點:輸出不失真,不延遲,成比例地R(s)C(s)G(s)==K復(fù)現(xiàn)輸入信號的變化.K=-R1R2

比例環(huán)節(jié)實例(a)-∞++urR1ucR2由運算放大器構(gòu)成的比例環(huán)節(jié)(b)線性電位器構(gòu)成的比例環(huán)節(jié)K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)r(t)c(t)iK=i(c)傳動齒輪構(gòu)成的比例環(huán)節(jié)2．慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的微分方程:+c

(t)=Kr(t)dc(t)dtT—時間常數(shù)—比例系數(shù)式中KT拉氏變換：TsC

(s)+C

(s)=KR(s)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù):R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=

慣性環(huán)節(jié)方框圖R(S)C(S)1+Ts1單位階躍信號作用下的響應(yīng):R(s)=1sKTs

+

11s·C(s)=拉氏反變換得:c(t)=K(1–e)tT-

單位階躍響應(yīng)曲線特點:

輸出量不能瞬時完成與輸入量完全一致的變化.r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632-∞++R1R0urucC

慣性環(huán)節(jié)實例(a)運算放大器構(gòu)成的慣性環(huán)節(jié)R1CS+1R1/R0G(s)=–R(s)C(s)G(s)==1TsTTsC(s)=R(s)=r(t)dc(t)dtT微分方程：—積分時間常數(shù)3．積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：拉氏變換：

積分環(huán)節(jié)方框圖R(S)C(S)Ts11TC(t)=t1TS1S·C(s)=1TS2=R(s)=1S積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)：

單位階躍響應(yīng)曲線

輸出量與輸入量對時間的積分成正比，具有滯后作用和記憶功能.特點:r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T

積分環(huán)節(jié)實例(a)由運算放大器構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)-∞++RucCur1RCSG(s)=–4．微分環(huán)節(jié)R(S)C(S)Ts理想微分環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型：—微分時間常數(shù)

微分環(huán)節(jié)方框圖單位階躍響應(yīng)函數(shù)：c(t)=dr(t)dtTTR(s)C(s)G(s)==TsC(t)=Tδ(t)

單位階躍響應(yīng)曲線

理想脈沖實際中是不可能實現(xiàn)的，實際的物理裝置中常用近似理想微分環(huán)節(jié)。r(t)t0c(t)c(t)r(t)G(s)=RCs(a)

近似理想微分環(huán)節(jié)實例-Δ∞++RucCur運算放大器構(gòu)成的微分環(huán)節(jié)+-uc+-CRur(b)RC電路構(gòu)成的微分環(huán)節(jié)RCsRCS+1G(s)=TsTs+1=T=RC<<1G(s)Ts實用微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng):單位階躍響應(yīng)曲線C(s)TsTs+1=1s=1s+1/T

c(t)=etT-特點:

輸出量反映了輸入量的變化率，而不反映輸入量本身的大小.r(t)r(t)t0c(t)c(t)1采用運算放大器構(gòu)成的比例微分環(huán)節(jié)：R1ucC1R2ur-Δ∞++

由于微分環(huán)節(jié)的輸出只能反映輸入信號的變化率，不能反映輸入量本身的大小，故常采用比例微分環(huán)節(jié)。

傳遞函數(shù)：單位階躍響應(yīng)：c(t)=KTδ(t)+K=K[Tδ(t)+1]R(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)

單位階躍響應(yīng)曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)5.振蕩環(huán)節(jié)微分方程：+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—時間常數(shù)—阻尼比ζT傳遞函數(shù)：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζG(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=—自然振蕩頻率

振蕩環(huán)節(jié)方框圖S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)單位階躍響應(yīng)：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e

單位階躍響應(yīng)曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)1ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常見振蕩環(huán)節(jié)的實例：（1）彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機械位移系統(tǒng)

（2）他激直流電動機

（3）RLC電路1LCs2+RCs+1=Ur(s)Uc(s)G(s)=1/CeTdTms2+Tms+1=Ud(s)N(s)G(s)=R(s)C(s)G(s)==e

-τs=eτs1c(t)=r(t–τ)·

1(t–τ)R(S)C(S)e-τs6．時滯環(huán)節(jié)—延時時間數(shù)學(xué)模型：

時滯環(huán)節(jié)方框圖傳遞函數(shù)：時滯環(huán)節(jié)作近似處理得1+τs1G(s)=eτs1=1+τS+2!2S2+···

1τ

階躍響應(yīng)曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)τ比例環(huán)節(jié):G(s)=K積分環(huán)節(jié):G(s)=1/s微分環(huán)節(jié)：G(s)=s時滯環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

說明：1、環(huán)節(jié)是具有相同形式傳遞函數(shù)的元部件的分類。2、不同的元部件可以有 相同的傳遞函數(shù)；3、若輸入輸出變量選擇不同，同一部件可以有不同的傳遞函數(shù)；4、任一傳遞函數(shù)都可看作典型環(huán)節(jié)的組合。2.4系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖由許多對信號進(jìn)行單向運算的方框和一些信號流向線組成，它包括：信號線：表示信號傳遞通路與方向。方框：表示對信號進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。比較點：對兩個以上的信號進(jìn)行加減運算。“+”表示相加，“-”表示相減。引出點：表示信號引出或測量的位置。同一位置引出的信號數(shù)值和性質(zhì)完全相同。R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(-)（1）、首先按照系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和工作原理， 分解出各環(huán)節(jié)并寫出它的傳遞函數(shù)；（2）、繪出各環(huán)節(jié)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖， 方框圖中標(biāo)明它的傳遞函數(shù)，并以箭頭 和字母符號表明其輸入量與輸出量， 按照信號的傳遞方向把各方框圖依次連接起來， 就構(gòu)成了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。繪制動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的步驟

例題講解2.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換

系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖直觀地反映了系統(tǒng)內(nèi)部各變量之間的動態(tài)關(guān)系。將復(fù)雜的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行化簡可求出傳遞函數(shù)。等效變換：被變換部分的輸入量和輸出量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，在變換前后保持不變。（1）串聯(lián)兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)的變換如圖：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效可得n個環(huán)節(jié)的串聯(lián)G

(s)=Σ

Gi(s)ni=1R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=(2)并聯(lián)兩個環(huán)節(jié)的并聯(lián)等效變換如圖：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)++G2(s)R(s)C(s)G1(s)等效n個環(huán)節(jié)的并聯(lián)G

(s)=Σ

Gi(s)ni=1E(s)=R(s)B(s)+–=R(s)E(s)C(s)H(s)+–1±

G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反饋連接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±環(huán)節(jié)的反饋連接等效變換：根據(jù)框圖得：則另：得：等效R(s)C(s)1±

G(s)H(s)G(s)=C

(s)=E(s)G(s)（4）綜合點和引出點的移動1)

綜合點之間或引出點之間的位置交換引出點之間的交換：b綜合點之間交換：bc±aa±b±c±cba±c±baaaaaa2）綜合點相對方框的移動F(s)R(s)G(s)C(s)±R(s)前移：R(s)C(s)G(s)±F(s)R(s)±C(s)1G(s)F(s)后移：±C(s)G(s)F(s)R(s)C(s)G(s)±F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±3)引出點相對方框的移動C(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)G(s)1C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)后移：R(s)R(s)C(s)G(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：開環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)反饋量與誤差信號的比值E(s)B(s)Gk(s)=E(s)B(s)=G1(s)G2(s)H

(s)=G

(s)H

(s)

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)1．給定信號R(s)作用_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)

系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：D

(s)=0典型結(jié)構(gòu)圖可變換為：_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):R(s)C(s)Ф

(s)==1+G(s)H(s)G(s)2．?dāng)_動信號D(s)作用R

(s)=0D(s)

動態(tài)結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換成:前向通道:G1(s)H(s)G2(s)D(s)C(s)反饋通道:閉環(huán)傳遞函數(shù)為：D(s)C(s)Фd(s)==1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)_R(s)E(s)H(s)G2(s)G1(s)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)1．給定信號R(s)作用R(s)作用下誤差輸出的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖:_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)

前向通道:

反饋通道:R(s)E(s)D

(s)=0R(s)E(s)Фer(s)==1+G1(s)G2(s)H(s)1+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)2．?dāng)_動信號D(s)作用_B(s)H(s)G1(s)G2(s)