2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2第1課時(shí)距離測量問題課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版必修5

PAGE第1課時(shí)距離測量問題[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．學(xué)校體育館的人字形屋架為等腰三角形，如圖所示，測得AC的長度為4米，A＝30°，則其跨度AB的長為()A．12米 B．8米C．3eq\r(3)米 D．4eq\r(3)米解析：△ABC為等腰三角形，A＝30°，∴B＝30°，C＝120°，∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝42＋42－2×4×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝48，∴AB＝4eq\r(3)米．答案：D2．已知兩座燈塔A和B與海洋視察站C的距離都等于akm，燈塔A在視察站C的北偏東20°，燈塔B在視察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離是()A．a(chǎn)km B．eq\r(2)akmC.eq\r(3)akm D．2akm解析：如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，∵AC＝BC＝a，∴由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°＝a2＋a2－2a2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)a(km)，即燈塔A與燈塔B的距離為eq\r(3)akm.答案：C3．如圖，在高速馬路建設(shè)中須要確定隧道的長度，工程技術(shù)人員已測得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC＝BC＝1km，且∠ACB＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()A.eq\r(3)km B．eq\r(2)kmC．1.5km D．2km解析：依據(jù)余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BCcos120°)＝eq\r(1＋1＋2×1×1×\f(1,2))＝eq\r(3)(km)．故選A.答案：A4.如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后到達(dá)N處，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為()A．20(eq\r(6)＋eq\r(2))海里每小時(shí)B．20(eq\r(6)－eq\r(2))海里每小時(shí)C．20(eq\r(6)＋eq\r(3))海里每小時(shí)D．20(eq\r(6)－eq\r(3))海里每小時(shí)解析：由正弦定理得eq\f(MN,sin30°)＝eq\f(20,sin105°)，所以MN＝10(eq\r(6)－eq\r(2))海里，速度為20(eq\r(6)－eq\r(2))海里每小時(shí)．答案：B5．有一長為10m的斜坡，傾斜角為75°，在不變更坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長坡面的方法將它的傾斜角改為30°，則坡底要延長()A．5m B．10mC．10eq\r(2)m D．10eq\r(3)m解析：如圖，設(shè)將坡底加長到B′時(shí)，傾斜角為30°，在△ABB′中，B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m.在△BAB′中，由正弦定理，得BB′＝eq\f(ABsin45°,sin30°)＝eq\f(10×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝10eq\r(2)(m)．所以坡底要延長10eq\r(2)m時(shí)，斜坡的傾斜角將變?yōu)?0°.答案：C6．上海世博園中的世博軸是一條1000m長的直線型通道，中國館位于世博軸的一側(cè)．現(xiàn)測得中國館到世博軸兩端的距離相等，并且從中國館看世博軸兩端的視角為120°.據(jù)此數(shù)據(jù)計(jì)算，中國館到世博軸其中一端的距離是________m.解析：如圖所示，設(shè)A，B為世博軸的兩端點(diǎn)，C為中國館，由題意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，過C作AB的垂線交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500m，∠DCB＝60°，∴BC＝eq\f(1000\r(3),3)m.答案：eq\f(1000\r(3),3)7．一艘海警船從港口A動(dòng)身，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°方向直線航行，30分鐘到達(dá)B處，這時(shí)候接到從C處發(fā)出的一求救信號，已知C在B的北偏東65°，港口A的南偏東70°處，那么B，C兩點(diǎn)的距離是________海里．解析：如圖，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，從而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理可得BC＝eq\f(AB,sin45°)×sin30°＝10eq\r(2).答案：10eq\r(2)8．某人從A處動(dòng)身，沿北偏東60°行走3eq\r(3)km到B處，再沿正東方向行走2km到C處，則A，C兩地距離為________km.解析：如圖所示，由題意可知AB＝3eq\r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°，由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3eq\r(3)×2×cos150°＝49，AC＝7.則A，C兩地距離為7km.答案：79.某海島四周38海里有暗礁，一輪船由西向東航行，初測此島在北偏東60°方向，航行30海里后測得此島在東北方向，若不變更航向，則此船有無觸礁的危急？解析：由題意，在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，所以∠ACB＝15°；由正弦定理得BC＝eq\f(AB,sin∠ACB)·sin∠BAC＝eq\f(30,sin15°)·sin30°＝eq\f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))．過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△BDC中，CD＝eq\f(\r(2),2)BC＝15(eq\r(3)＋1)＞38.所以此船無觸礁的危急．10.如圖，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前進(jìn)eq\r(30)km到達(dá)D處，看到A在他的北偏東45°方向，B在北偏東75°方向，試求這兩座建筑物之間的距離．解析：依題意得，CD＝eq\r(30)(km)，∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，∠DAC＝45°.在△BDC中，由正弦定理得BC＝eq\f(DCsin∠BDC,sin∠DBC)＝eq\f(\r(30)sin30°,sin120°)＝eq\r(10)(km)．在△ADC中，由正弦定理得AC＝eq\f(DCsin∠ADC,sin∠DAC)＝eq\f(\r(30)sin60°,sin45°)＝3eq\r(5)(km)．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠＝(3eq\r(5))2＋(eq\r(10))2－2×3eq\r(5)×eq\r(10)cos45°＝25.所以AB＝5(km)，即這兩座建筑物之間的距離為5km.[B組實(shí)力提升]11．江岸邊有一炮臺高30米，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距()A．10米 B．100米C．30米 D．20米解析：如圖，過炮臺頂部A作水平面的垂線，垂足為B，設(shè)A處觀測小船C的俯角為45°，A處觀測小船D的俯角為30°，連接BC，BD，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30米，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，可得BD＝eq\r(3)AB＝30eq\r(3)米，在△BCD中，BC＝30米，BD＝30eq\r(3)米，∠CBD＝30°，由余弦定理可得：CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos30°＝900，∴CD＝30(負(fù)值舍去)．答案：C12．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析：如圖，在△ADC中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60eq\r(3)(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－eq\r(3))(m)．所以BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m)．故選C.答案：C13．甲船在島B的正南A處，AB＝10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B動(dòng)身以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是________．解析：設(shè)行駛x小時(shí)后甲到點(diǎn)C，乙到點(diǎn)D，兩船相距ykm，則∠DBC＝180°－60°＝120°.∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos120°＝28x2－20x＋100＝28(x2－eq\f(5,7)x)＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,14)))2－eq\f(25,7)＋100∴當(dāng)x＝eq\f(5,14)(小時(shí))＝eq\f(150,7)(分鐘)時(shí)，y2有最小值．∴y最?。鸢福篹q\f(150,7)分鐘14．一蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕獲到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105°，爬行10cm捕獲到另一只小蟲，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°爬行回到它的動(dòng)身點(diǎn)，那么x＝________.解析：如圖所示，設(shè)蜘蛛原來在O點(diǎn)，先爬行到A點(diǎn)，再爬行到B點(diǎn)，易知在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，則∠AOB＝60°，由正弦定理知：x＝eq\f(AB·sin∠ABO,sin∠AOB)＝eq\f(10×sin45°,sin60°)＝eq\f(10\r(6),3)(cm)．即x的值為eq\f(10\r(6),3)cm.答案：eq\f(10\r(6),3)cm15．為保障高考的公允性，高考時(shí)每個(gè)考點(diǎn)都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要求在考點(diǎn)四周1千米處不能收到手機(jī)信號，檢查員抽查青島市一考點(diǎn)，在考點(diǎn)正西約1.732千米有一條北偏東60°方向的馬路，在此處檢查員用手機(jī)接通電話，以每小時(shí)12千米的速度沿馬路行駛，最長須要多少分鐘，檢查員起先收不到信號，并至少持續(xù)多少時(shí)間，該考點(diǎn)才算合格？解析：如圖所示，考點(diǎn)為A，檢查起先處為B，設(shè)馬路上C、D兩點(diǎn)到考點(diǎn)的距離為1千米．在△ABC中，AB＝eq\r(3)≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°，由正弦定理sin∠ACB＝eq\f(sin30°,AC)·AB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合題意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1，在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD為等邊三角形，∴CD＝1，∴eq\f(BC,12)×60＝5，∴在BC上需5分鐘，CD上需5分鐘．答：最少須要5分鐘檢查員起先收不到信號，并持續(xù)至少5分鐘才算合格．16.如圖所示，某觀測站C在城A的南偏西20°的方向，從城A動(dòng)身有一條走向?yàn)槟掀珫|40°的馬路，在C處觀測到距離C處31km的馬路上的B處有一輛汽車正沿馬路向A城駛?cè)ィ旭偭?0km后到達(dá)D處，測得C，D兩處的距離為21km，這時(shí)此車距離A城多少千米？解析：在△BCD中，BC＝31km，BD＝20km，CD＝21km，由余弦定理得cos∠BDC＝eq\f(BD2＋CD2－BC2,2BD·CD)＝eq\f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq\f(1,7).∴cos∠ADC＝eq\f(1,7)，∴sin∠ADC＝eq\r(1－cos