黑龍江省哈爾濱市師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2024-2025學(xué)年度高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．命題，，則是（

）A．， B．，C．， D．，2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．若函數(shù)，則（）A． B．2 C． D．44．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．5．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．6．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．或C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)7．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．給定函數(shù)，，對(duì)于，用表示，中的最大者，記為，下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)是偶函數(shù) B．函數(shù)的最大值是C．函數(shù)在遞增 D．函數(shù)有四個(gè)單調(diào)區(qū)間10．已知函數(shù)，若有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．11．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：對(duì)于實(shí)數(shù)，符號(hào)x表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則y=x稱為高斯函數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)無(wú)最大值 B．函數(shù)的最小值為C．函數(shù)在上遞增 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．13．若不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．矩形（）的周長(zhǎng)為，把沿向折疊，折過(guò)去后交于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，三角形的面積最大，最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．計(jì)算下列各式的值：(1)(2).16．設(shè)且，函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)．(1)求的值及函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．17．如今中國(guó)已經(jīng)成為全球最大的新能源汽車消費(fèi)市場(chǎng)，并且建成了高效的協(xié)同產(chǎn)業(yè)體系，2024年上半年新能源汽車銷售469萬(wàn)輛，同比增長(zhǎng)29.7%.某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，每生產(chǎn)x（千輛）獲利（萬(wàn)元），關(guān)系如下：，該公司預(yù)計(jì)2024年全年其他成本總投入為萬(wàn)元.由市場(chǎng)調(diào)研知，該種車銷路暢通，供不應(yīng)求.記2024年的全年利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元）.(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)2024年產(chǎn)量為多少千輛時(shí)，該企業(yè)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由.18．已知函數(shù).(1)若，求在區(qū)間上的值域；(2)若方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．對(duì)于函數(shù)，若存在，使得，則稱為函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”;若存在，使得，則稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.記函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別為和，即．(1)設(shè)函數(shù)，求和；(2)證明：若為連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，則；(3)若，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．D【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題判斷即可.【詳解】∵存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，∴命題，，則是，.故選：D.2．C【分析】分別確定集合和，再根據(jù)交集的概念求.【詳解】因?yàn)椋?所以.故選：C3．A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式代入求值即可.【詳解】∵，∴.故選：A.4．D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念判斷即可.【詳解】顯然是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；由，知是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；由，知是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；令，由知不是奇函數(shù)，由知不是偶函數(shù)，故D正確.故選：D.5．A【分析】根據(jù)解析式有意義的條件列不等式組，解不等式組可得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意：.所以所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?故選：A6．C【分析】利用冪函數(shù)的定義和單調(diào)性可求的值，故可判斷AB的正誤，再根據(jù)奇偶性的定義可判斷CD的正誤.【詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除A，B；所以，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.7．D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以函?shù)為偶函數(shù)；設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，，所以，即所以函?shù)在0,+∞上單調(diào)遞增.由函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，在上單調(diào)遞減.所以且.故選：D8．B【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，且，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）.故選：B9．AD【分析】可作出函數(shù)草圖，數(shù)形結(jié)合，判斷各選項(xiàng)的準(zhǔn)確性.【詳解】如圖：對(duì)A：由圖可知，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)B：由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由圖象可知，函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由圖象可知，函數(shù)在和0,1上單調(diào)遞減，在和1,+∞上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有四個(gè)單調(diào)區(qū)間.故D正確.故選：AD10．BC【分析】數(shù)形結(jié)合，可判斷A的真假；根據(jù)時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱性，可判斷B的真假；根據(jù)時(shí)，函數(shù)的解析式即對(duì)數(shù)的運(yùn)算可判斷C的真假；舉反例可說(shuō)明D是錯(cuò)誤的.【詳解】左函數(shù)草圖如下：對(duì)A：由圖可知，若有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則，故錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)椋谊P(guān)于直線對(duì)稱，所以，故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，所以，，由，故C正確；對(duì)D：因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC11．ACD【分析】利用“高斯函數(shù)”的定義，得出的圖象，結(jié)合圖象，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，依此，可得的圖象如圖所示，由圖知，的值域?yàn)?，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由圖知，是周期函數(shù)，且，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD.12．【分析】求的遞增區(qū)間，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為求在定義域上的減區(qū)間.【詳解】由得，令，由于函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸，開口向上，∴在?∞,0上遞減，在（0，＋∞）遞增，又由函數(shù)是定義域內(nèi)的減函數(shù)，∴原函數(shù)在（-∞，-2）上遞增．故答案為（-∞，-2）.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題.13．【分析】先分情況討論的符號(hào)，再由可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切恒成立，所以若，則不等式可化為：，對(duì)一切恒成立，故滿足題意；若，則.綜上可知：.故答案為：14．【分析】由題意可得，結(jié)合即可求得，結(jié)合勾股定理得到，再根據(jù)三角形的面積公式可得，再利用基本不等式，即可求解.【詳解】如上圖所示，設(shè)，則，又，得到，即，易知，得，所以，又，得到，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的面積的最大值為，故答案為：，.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.（2）根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）解：由指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得：.（2）解：由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)，可得：.16．(1)2；(2)2【分析】（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求出函數(shù)的定義域；（2）依題意可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）由函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，得，即，所以，解得或（舍），所以，由，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?）由（1）知，又，所以當(dāng)時(shí)取得最大值4，且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值．17．(1)；(2)當(dāng)2024年產(chǎn)量為4千輛時(shí)，該企業(yè)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是480萬(wàn)元.【分析】（1）根據(jù)給定的信息，由求出解析式即得.（2）按分段求出最大值，再比較大小即得.【詳解】（1）依題意，，而，所以函數(shù)的解析式為，即.（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，而，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)2024年產(chǎn)量為4千輛時(shí)，該企業(yè)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是480萬(wàn)元.18．(1)(2)(3)【分析】（1）利用換元法令，，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）由（1）知利用換元法可得，，方程有實(shí)根即等價(jià)于即有實(shí)數(shù)根且大于零，從而可得，即可求解；（3）若對(duì)任意的，總存在，使得，可得,由復(fù)合函數(shù)知識(shí)可得函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，從而求出，則只需令在上恒成立即可，分離參數(shù)可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，因?yàn)?，所以，所以可得一個(gè)二次函數(shù)，所以當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值，所以.所以時(shí)，在區(qū)間上的值域?yàn)?（2）由（1）知當(dāng)令，，，則，即有實(shí)數(shù)根，此時(shí)實(shí)數(shù)根大于零，所以可得，解得：.所以方程有實(shí)根，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.（3）由題意得，若對(duì)任意的，總存在，使得，可得,由函數(shù)可得當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，函數(shù)為增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)定義可得函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，由（2）知當(dāng)令，，，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)均單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）主要利用換元后轉(zhuǎn)化為一般的二次函數(shù)在具體區(qū)間求最值問(wèn)題；（2）中轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問(wèn)題來(lái)求出相應(yīng)的不等式組，即可求解；（3）中由題可得,再結(jié)合指數(shù)型復(fù)合函數(shù)求出，從而可轉(zhuǎn)化為含參二次函數(shù)在定區(qū)間求解最值問(wèn)題.19．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）已知函數(shù)的解析式，利用“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的概念求集合和.（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用“”證明集合相等.（3）把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“存在，使得，，且”，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化