2024年高考數(shù)學終極押題密卷3（全國乙卷文科）含答案

2024年高考數(shù)學終極押題密卷3（全國乙卷文科）

一.選擇題（共12小題）

I.已知集合人={葉？-2<0},且花4,則〃可以為()

A.-2B.-1C.2D.V2

2

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)三對應的點的坐標是(3,-1),Mz=()

*

1

A.1+3/B.3+iC.-3+iD.-1-3/

3.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A./(x)=-xB./(x)=(1)x

C.f(x)=JCD.f(x)=也

4.養(yǎng)過蜂的人都知道，蜂后產(chǎn)的卵若能受精則孵化為雌蜂，若不能受精則孵化為雄蜂，即雄蜂是有母無

父，雌蜂是有父有母的，因此一只雄蜂的第〃代祖先數(shù)目如務所示：

若用品表示一只雄蜂第〃代祖先的個數(shù)，給出下列結論，其中正確的是（）

?表示雄蜂。表示雌蜂

A.FS+FIO>FIIB.尸9+尸10<八+Fu

C.F9+FH<2FIOD.4F6+FIO>FII

5.己知球O的一個截面的面積為2n,球心O到該截面的距離比球的半徑小1,則球O的表面積為（）

A.8nB.9nC.12nD.167T

6.執(zhí)行如圖所示的程序，輸出S的值為（)

A.-228B.-100C.-64D.-36

7.在△ABC中，a=2底,b=2c,COSA=-3則S"8C=<)

4

A.-？-A/TRB.4C.V15D.2715

8.已知等差數(shù)列｛m｝的前30項目奇數(shù)項的和為A,偶數(shù)項的和為3,且3-A=45,2A=8+615,則“〃=

()

A.3n-2B.3〃-1C.3〃+1D.3〃+2

9.過雙曲線4_%=i（a>0,b〉0）的右焦點廠作一條漸近線的垂線，垂足為A.若乙"O=2N4OP

（。為坐標原點），則該雙曲線的離心率為（）

A.亞~B.c.2D.2應或2

233

10.正三棱柱48C-A由I。的底面邊長是4,側棱長是6,M,N分別為C。的中點，若點P是三

棱柱內(nèi)（含棱柱的表面）的動點，MP〃平面ABiN,則動點P的軌跡面積為（）

A.5A/3B.5C.V39D.V26

II.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是mb,c,Ca+c）（sinA-sinC）+bsinB=asinB,b+2a=4,

CA=3CD-2CB?則線段8長度的最小值為（）

A.2B.C.3D.

33

12.已知函數(shù)f（x）的定義域為R,/（2x-2）為偶函數(shù)，f（x-3）4/（-X+1）=0,當在［-2,-1］時，

i19

f（x）--ax-4（。>0且aWl），且/（?2）=4.則￡|f（k）|=（

axk=l

A.28B.32C.36D.40

填空題（共4小題）

Vx,x>0

13.已知函數(shù)f(x)=,則/(7(-3))=

2X,x<0

14.在△A4C中，點。是3c的中點，點E在4。上，且前J贏+入前，AE=xBA+yBC,則右一)'

3

15.過直線x+)，-4=0上的任意一點M作圓C：,+),2=4的兩條切線，切點分別為4,B,則點N(cos4

sin6)(0W8V2n)到直線/W距離的最大俏.為

16.已知/(公是定義在(0,+0)上的可導函數(shù)，若必(A-)-f(x)=1，/(I)=-A,且時,

Xp

ee

f(xrv)W.f(x+lnx-a)恒成立，則a的取值范圍是

三.解答題(共7小題)

17.已知數(shù)列｛“〃｝的前〃項和為S“，當〃22時，Sn(Sn-an+T)=Sn-i.

(1)證明：數(shù)列｛」一｝是等差數(shù)列；

(2)若&1總，數(shù)列聯(lián)｝的前〃項和為刀?，若mTn《(n2+16)?2n+l恒成立，求正整數(shù)，〃的最大

值.

18,2022年，隨著最低工資標準提高，商品價格上漲，每個家庭的口常消費也隨著提高，某社會機構隨機

調(diào)查了200個家庭的口常消費金額并進行了統(tǒng)計整理，得到數(shù)據(jù)如表：

消費金額(千元)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)57)[7,81

人數(shù)406040302010

(1)求這200個家庭消費金額的平均數(shù)%及方差，(同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代)；

(2)通過進一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)這200個家庭中收入不低于5千的有100個家庭，這些家庭成員到商場購物

時駐留時間互不相同，通過調(diào)查得到如表聯(lián)表:

駐留時間少于1小時駐留時間不少于1小時

低于5千7030

不低于5千4060

能否有99.9%的把握認為家庭成員在商場駐留的時間與家庭收入有關?

附.K2________n(ad-bc)2_______

K-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)n=a+b+c+d.

P(心心)0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

19.如圖，四邊形ACOAi與四邊形BCGB是全等的矩形，AB=V2AC斗AAI，若P是AAi的中點.

2

(1)求證：平面P8iCi_L平面。8C；

(2)如果AC=1,求三棱錐Bi-A1C1P與多面體ABCPAi的體積比值.

20.已知拋物線f=2px(￡>0)的焦點尸到準線的距離與雙曲線乂2_工_=］的離心率相等.

3

(I)求拋物線的方程；

(H)若點P(/,?2)在拋物線匕過P作拋物線的兩弦PM與PN,若兩弦所在直線的斜率之積為

-4,求證：直線MN過定點.

21.已知函數(shù)f(x)=xbtx-x--iav2,aER.

(I)當。=2時，證明：WO；

2

e

(II)若函數(shù)"(x)=f(x)-(X-1)/+o?+x在(0,+8)上單調(diào)遞減，求〃的取值范圍.

22.在平面貪角坐標系.1。)，中，以O為極點，/釉的正半軸為極軸建立極坐標系，宜.線Ci的極坐標方程

為8=-^-(pER)-

(1)求直線。的一個參數(shù)方程；

(2)在極坐標系中，方程p=3-3sine表示曲線C2,若直線a與曲線C2相交于M,O,N三點，求

線段MN的長.

23.已知函數(shù)/")=|2x-2|+|x-l|.

(1)求/(x)25的解集；

(2)設/(x)的最小值為機，若正數(shù)a,b,c滿足a+Z?+c=〃?，求必+ac+/?c的最大值.

2024年菁優(yōu)高考數(shù)學終極押題密卷3（全國乙卷文科）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題）

I.已知集合AulH--ZVO},且“E4,則a可以為（）

A.-2B.-1C.—D.V2

2

【考點】元素與集合關系的判斷.

【專題】轉化思想；綜合法；集合；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式的解法求出集合4,然后求出。的范圍，再對各個選項逐個判斷即可求解.

【解答】解：由題意可得集合A=3-皿Vx＜加},

因為GWA,所以

故選項3正確，4C。錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查了元素與集合的關系，屬于基礎題.

2.在復平面內(nèi)，復數(shù),對應的點的坐標是（3,-I）,則2=（）

1

A.1+3/B.3+/C.-3+zD.-1-3/

【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復數(shù)的運算.

【專題】轉化思想：轉化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義得到孑=3-i，結合復數(shù)的運算法則，即可求解.

i

【解答】解：由題意,復平面內(nèi)，復數(shù)三*對應的點的坐標是（3,-1）,

可得鄉(xiāng)=3-i，所以z=（3-0?/'=l+3i.

i

故選:A.

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.

3.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）

A./（x）=-xB./（x）=（-|）x

C.f(x)=/D.f(x)=

【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯推理.

【答案】D

【分析】結合基本初等函數(shù)在定義域上的單調(diào)性分別檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：由?次函數(shù)性質(zhì)可知/Q)=-x在R上是減函數(shù)，不符合題意；

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知/(x)=(2)x在R上是減函數(shù)，不符合題意；

3

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知/(x)=)在R上不單調(diào)，不符合題意：

根據(jù)癌函數(shù)性質(zhì)可知/(%)=/在R上單調(diào)遞增，符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于基礎題.

4.養(yǎng)過蜂的人都知道，蜂后產(chǎn)的卵若能受精則孵化為雌蜂，若不能受精則孵化為雄蜂，即雄蜂是有母無

父，雌蜂是有父有母的，因此一只雄蜂的第〃代祖先數(shù)目如空所示：

若用H表示一只雄蜂第〃代祖先的個數(shù)，給出下列結論，其中正確的是()

簧二耳拳,即第

(&)5-…i-r-6X-r-66

(FJ3......66-I~~i

明)2......i------T-----6

%)1............<?

(F,)1............4

雄峰的家系

?表示雄蜂。表示雌蜂

A.F8+FIO>FIIB.F9+FIO<H+FII

C.F9+FH<2FIOD.4F6+Fio>/rn

【考點】歸納推理.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；推理和證明；邏輯推理.

【答案】B

【分析】由題意得Fi=B=l,當〃23時.，F(xiàn)“=F”.I+F“2從而利用此性質(zhì)，結合作差法對選項一一

進行判斷，得到答案.

【解答】解：由題意得人="2=1，當〃23時，F(xiàn)^Fn-l+Fn-2,

A選項，F(xiàn)\1=Fl0+F9>FlO+F8,A錯誤;

8選項，F(xiàn)9+FIO=FH<F8+FII,HIE確；

C選項，F(xiàn)Q+FII-2FIO=2F9+FIO-2FIO=2F9-FIO=2F9-尸9-尸8=尸9-尸8>0,

故尸9+QI>2FIO,C錯誤；

。選項，F(xiàn)11-Flo-4尸6=尸9?4尸6=尸8+尸7-4尸6=3尸6+2尸5?4尸6=2/5-F6

=2B-F5-FA=F5-F4>0,

故4尸6+QOVPII,。錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查歸納推理，考查推理論證能力，屬中檔題.

5.已知球O的一個截面的面積為2m球心。到該截面的距離比球的半徑小1,則球。的表面積為（）

A.8nB.9irC.12TTD.16TT

【考點】球的體積和表面積.

【專題】對應思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】設截面圓的半徑為九球的半徑為R,依題意得到片6且（R-1）2+J=R2,即可求出R,

從而求出球的表面枳.

【解答】解：依題意設截面圓的半徑為一，球的半徑為上

???截面的面積為2m.??n/=2m得r=\Q,

又（R1）2]/=/,即（RT）2+（6）2=R2,解得

Q2

???球。的表面積S=4兀R2=4兀X華）=9口,

故選:B.

【點評】本題考查球的表面積的求法，考查運算求解能力，是基礎題.

6.執(zhí)行如圖所示的程序，輸出S的值為（）

A.-228B.?100C.-64D.-36

【考點】程序框圖.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；算法和程序框圖；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)程序框圖循環(huán)計算即可求得結果.

【解答】解：執(zhí)行程序框圖：S=20,x=4；S=12,x=8；S=-4,x=16；

S=-36,x=32：S=-100,x=64>40；輸出S,循環(huán)結束，

故輸出S的值為-100.

故選:B.

【點評】本題考查了程序框圖的語言問題，屬基礎題.

7.在△48C中，a=2底,h=2c,cosA=--?則S”BC=()

4

A.B.4C.V15D.25/15

【考點】正弦定理.

【專題】轉化思想；轉化法；解三角形；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】利用余弦定理得到c=2,b=4,利用同角三角函數(shù)基本公式得到51汕二垣，然后利用面積

4

公式求面積即可.

222

b+ca

【解答】解：a=2V6,b=2c,C0SA=~>

C0SA2bc4

22

所以4c+c-24二」,解得。=2,b=4,

4c24

因為Ae(0,n),

所以sinA二書"=ybcsinA=y義2X4X=>/15-

故選：C.

【點評】本題主要考查余弦定理，屬于基礎題.

8.已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前30項口奇數(shù)項的和為A,偶數(shù)項的和為8,且B-A=45,2A=8+615,則〃“=

()

A.3/i-2B.3n-1C.3〃+lD.3〃+2

【考?點】等差數(shù)列的前n項和.

【專題】計算題：方程思想：轉化思想：綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列：數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，設等差數(shù)列｛?！ǎ墓顬?，/，由等差數(shù)列的性質(zhì)分析可得d=3,A=—1_空-------

2

=15。15=660,變形可得。15=44,由此計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d,

若等差數(shù)列｛加｝的前30項中奇數(shù)項的和為A,偶數(shù)項的和為6,且6-A=45,即154=45,則有4=3；

乂由2A=B+615,變形可得4=9-4+615=45+615=660,

（a1+aon）X15

則有A=--------------=15?15=660,解可得“15=44,

2

則an=a\5+（n-15）d=3n-1.

故選：B.

【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及應用，涉及等差數(shù)列的求和，屬于基礎題.

9.過雙曲線2；_工：=1底＞0,b〉0）的右焦點廠作一條漸近線的垂線，垂足為A.若44/；。=2乙4。尸

（。為坐標原點），則該雙曲線的離心率為（）

A.返B.C.2D.叫2

23

【考點】雙曲線的性質(zhì).

【專題】轉化思想：粽合法：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程：數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得NAOF=30°,從而tan30°再由1+（旦）求解?

【解答】解：在Rtz^AFO中，因為NA/O=2NAOP,

所以NA0F=30°,則tan30。&祗■，

故選:B.

【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，化歸轉化思想，方程思想，屬基礎題.

10.正三棱柱ABC-48ICI的底面邊長是4,側棱長是6,M,N分別為5/力，CCi的中點，若點P是三

棱柱內(nèi)（含棱柱的表面）的動點，MP〃平面A81M則動點。的軌跡面積為（)

A.5^3B.5C.V39D.V26

【考點】楂柱的結構特征；軌跡方程.

【專題】數(shù)形結合；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算.

【答案】C

[分析】取/W的中點。，證明平面例QC〃平面AaN得動點P的軌跡為△MQC及其內(nèi)部（挖去點M）.然

后計算△MQC的面積即可.

【解答】解：取4B的中點Q,連接MQ,CQ,MC,

由M,MQ分別為CCi,的中點可得，MC//B\N.MCC平面4BiM

所以BiNu平面AB1N,

所以MC〃平面481M

同理MQ〃A8i得，MQ〃平面A81N,

乂MCAA/Q=M,MC,M0u平面MNQ,

則平面MQC〃平面AB1N,

所以動點。的軌跡為△MQC及其內(nèi)部（挖去點M）,

在正三棱柱ABC-AiBiCi中，△ABC為等邊三角形，。為的中點，則CQJLAA,

平面A8C_L平面ABB\A\,平面A8CCI平面ABB\A[=AB,

則CQ_L平面ABBiAi,QMu平面ABB\A\,

所以CQA-QM,

因為人8=4,所以CQ=2?，

因為側棱長是6,所以AB]=2J15，

所以MQ二后，

則△MQC的面積s』x243xVl3=^39?故動點p的軌跡面積為d的.

2

故選：C.

4G

當

【點評】本題考查空間點的軌跡問題，考查邏輯推理能力與運算求解能力，空間點的軌跡幾種常見情形:

（1）平面內(nèi)到空間定點的距離等于定長，可結合球面得軌跡；（2）與定點的連線與某平面平行，利用

平行平面得點的軌跡；（3）與定點的連線與某直線垂直，利用垂宜平面得點的軌跡；（4）與空間定點連

線與某直線成等角，可結合圓錐側面得軌跡.

II.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,（a+c）（siM-sinC）+加in3=asin>b+2a=4,

CA=3CD-2CB.則線段8長度的最小值為（）

A.2B.c.3D.

33

【考點】正弦定理；余弦定理.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】先通過正弦定理得到d+廬-，再通過余弦定理得到對向量式整理得

9

CD-yCA-f|-CB?通過平方，將向量關系轉化為數(shù)量關系即而2Vb24a2年ab，利用基本不等式

即可求解.

【解答】解：由（a+c）（sinA-sinC）+bsinB=as'\nB及正弦定理，

得(〃+c)(a-c)+b~=ab,即

222

由余弦定理得，c°sC=a三，

2ab2

VCe(0,n),

由也;3而-2江，CD4CA4^

兩邊平方，得而2卷以V林?通V而”

即CD2=^-b2+ya23-abcosC=//毋2等

-y(b+2a)2-^-ab>^-(b+2a”=擊(b+2a)2，

當且僅當］b=2a,即［a=l時取等號，

|b+2a=41b=2

即而2>^.缶+2a/母

???線段CQ長度的最小值為2匹.

3

故選：D.

【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理向量數(shù)量積的性質(zhì)在求解三角形中的應用，屬于中檔題.

12.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,/(2x-2)為偶函數(shù)，/(廠3)■?/(-x+1)=0,當在［-2,-1］時，

119

f(x)=----ax-4(。>。且“W1)，且/(-2)=4.則￡|f(k)|=()

axk=l

A.28B.32C.36D.40

【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷；抽象函數(shù)及其應用.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性，根據(jù)奇偶性、周期性和對稱性即可求值.

【解答】解：因為/(ZL2)是偶函數(shù)，所以/.(-2.2)=f(2x-2),

所以f(-x-2)=/(x-2),所以f(x)=/(-x-4),

所以函數(shù)/(x)關于直線x=-2對稱，

又因為f(A--3)+fC-x+\)=0,所以■/(x-3)=f(-A+1),

所以/(x)=-/(-x-2),所以/(x)關于點(-1,0)內(nèi)心對稱，

所以函數(shù)/(x)的周期為4,

因為當在［-2,-1］時，f(工)」_@乂一4(。>0且“21)，且/(-2)=4,

_X

a

所以4=,+2a-4,解得。=2或。=?4(舍).

一,

a

所以當在［-2,7］時，f(%)二皮)X-2X-4，

所以/(?2)=4,/(-1)=0,/(-3)=/(-1)=0,/(0)=-/(-2)=-4,/(I：=/(1-4)

=/(-3)=0,/(2)=/(-2)=4,/(3)=/(-1)=0,/(4)=/(0)=-4,

所以l<(2)|<(3)|+［f(4)|=8,

19

所以￡If(k)|=4X8+|f(l)|+|f(2)|+|f(3)1=36，

k=l

故選：C.

【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與周期性，考查轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題.

二,填空題(共4小題)

Vx,x》0A歷

13.已知函數(shù)f(x)=|，則/(/(-3))

2X,x<04

【考點】分段函數(shù)的應用；函數(shù)的值.

【專題】計算題：方程思想；轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【答案】Y2.

4

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出了(-3)的值，進而計算可得答案.

Vx,x>0Q1

/，Y。’所以儀⑶小專

【解答】解：根據(jù)題意，因為f(X)=<

則f(f(-3))=f

故答案為：亞.

4

【點評】本題考查函數(shù)值的計算，涉及分段函數(shù)的解析式，屬于基礎題.

I4.在△ABC中，點。是8c的中點，點石在A。上，且施▲以+入正，AE=xBA+yBC*則

3

5

一?

9-

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【答案】二.

9

【分析】由平面向量共線定理的推論求出入，再根據(jù)平面向最基本定理求出r)，，即可得解.

【解答】解：因為點￡)是“。的中點,

所以標=標+BD=AB4前，

施［欣+入正］或+2人而，

Oo

因為E,A,。三點共線，所以上+2人口，解得人」,

33

即嬴=4贏4而，

o0

所以踴=AB+BE=AB-^-BA+1-BD=李鴻麗=-jBA

乂AE=xBA+yBC，所以x=-f，yg，

所以入x-y="?X(——)—―=-"■—■

y3'3"39

故答案為：上.

9

【點評】本題考查平面向量的線性運算和平面向量基本定理，屬于中檔題.

15.過直線x+)，-4=0上的任意一點M作圓C：/+『=4的兩條切線，切點分別為4,B,則點N(cos。,

sin0)(0<6<2TT)到直線A8距離的最大值為+」.

【考點】直線與圓的位置關系：圓的切線方程.

【專題】方程思想；轉化法；直線與圓：數(shù)學運算.

【答案】V2+1.

【分析】設M(m,〃)為直線x+y-4=0上的一點，求出以CM為直徑的圓的方程，聯(lián)立可得48所在

直線方程，寫出N到AB距離的最大值，再由三角函數(shù)求最值得答案.

【解答】解：設M(m,〃)為直線x+y?4=0上的一點，則〃?+〃?4=0,

過點/作圓C：/+/=4的切線，切點分別為A,B,則有CALWA,CB1,MB,

則點A,5在以CM為直徑的圓上,

以CM為直徑的圓的圓心為(典—)?半徑為r=』CM=

222

則其方程為

變形可得-mx-ny=0,

x2+y2=4

聯(lián)立I可得inx+ny-4=0,

22

x+y-mx-ny=0

又m+n-4=0,.,?〃0+(4-/n)y-4=0,

變形可得〃？(x-y)+4v-4=0,可知直線A8過定點(1,1),

，點N(cos0,sin8)(0<0<2K)到直線AB距離的最大值為:

V(cos?-1)2+(sin9-l)2=^3-2(sin9+cosB)=^3-272sin(84)

<73+272<V2+1.

即點N(cose,sin0)(OW0V2n)到直線48距離的最大值為加+1.

故答案為：V2+1.

【點評】本題考查直線與圓、圓與圓位置關系的應用，考查化歸與轉化思想，考查運算求解能力，是中

檔題.

16.已知/G)是定義在(0,+8)上的可導函數(shù)，若洶(x)-f(x)=旦，/(I)=-A,且時,

Xp

e6

f(x^v)Wf(x+bvc?a)恒成立，則。的取值范圍是[1?e,1).

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題.

【專題】轉化思想；轉化法；導數(shù)的概念及應用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【答案】[1?e,1).

【分析】根據(jù)題意構造函數(shù)g(x)=f(x)=_11立+門，則g'(x)=(工1立)上工，可

XXxex

得/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，題意轉化為x/2x+/，Lia>0,

設y=x+/〃x-a,顯然y=x+/?x?a在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當時，x+lnx-a>0,只需l-a>0,解

得aVI,即工"(xF)-〃，構造函數(shù)力⑺=t-lnt+a,tE[e,+-),求出力⑺的最小值，即可

得出答案.

【解答】解：??R(幻-/(.*)=—1

X

e

...xf'(x)-f(x)=".

2

X

又/(X)=丫?f(x)則/G)=f(乂)上丫?(f(X))，:f(x)+xf'(x)-f(x)=f(x),/x

2

XXXXxX

令g(x)=f(x)=.f(X)+/*,則g'(%)=(f(X))'?/"=l—X,

XXxex

由g'(X)>0得OVxVl,由g(x)VO得x>l,

???g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

???當x=l時，g(x)取得極大值也是最大值，g(1)=/(1)+1=0,即/(x)W0,

e

(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

又1時，f(xrv)Cx+bix-a)恒成立，則xex^x+lnx-67>O,

設y=x+!nx-a,顯然y=x+lnv-a在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

???當時，x+lnx-a>0,只需1-”>0,解得〃V1,

即xex^ln(x")-a,

,.xe'1-In(xex)+a20,

令x/=f,x21,則，Ne,轉化為時，/-/"+a20,

令〃(r)=t-Int+a,tE[e,+°°),則”(，)=1-A,

由"⑺>0得z>e,即力(r)［e,+8)上單調(diào)遞增,

(z)2/?(e)=e-l+“2(),解得-0,

綜上所述，a的取值范圍是［1-e,1).

故答案為：［1-e,1).

【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)恒成立問題，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和

運算能力，屬于中檔題.

三，解答題(共7小題)

17.已知數(shù)列｛〃〃)的前整項和為和,當〃22時，Sn(Sn-On+D=Sn.\.

(1)證明：數(shù)列』｝是等差數(shù)列；

Sn

(2)若a1上，數(shù)歹U圖｝的前〃項和為乙,若mTn《(n2+16)?2n+l恒成立，求正整數(shù)〃?的最大

值.

【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的性質(zhì).

【專題】轉化思想；轉化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學運算.

【答案】(1)證明見解析；

(2)2.

【分析】(1)〃22時，用代入化簡，用等差數(shù)列的定義即可證明；

(2)用錯位相減法求出右，不等式可化為且恒成立，再用基本不等式求得的最大值，從

nn

而可得用的最大值.

【解答】證明：(1)由題意知，當“22時,Sn(Sn-an+\)=Sn-\,所以Sn[(Sn-+1J

=Sn-1>

整理得：S島-l=Sn.「Sn,艮]」——L=l，所以數(shù)列4｝是以I為公差的等差數(shù)列；

Sn^n-1SR

(2)解：由八J，由(1)知士)是以2為首項、1為公差的等差數(shù)列，

124

所以V~=n+1，所以g=(n+1)?2

bnbn

所以Tn=2?2+3?22+―.+n?2n-1+(n+l)*2n?①

所以21n=2-22+3?23+…%-2%(91)②

23n

?■?^-Tn=4+(2+2+--+2)-(n+1)

所以-Tn=4+(22+23+…+2n)-(n+l)?291:一11?2n+1>所以1丁八?2田?

因為mT4(n?+16)?2“+L所以Wn

nn

由于當且僅當〃=4時等號成立，故正整數(shù)，〃的最大值為8.

【點評】本題主要考查數(shù)列的求和，考查轉化能力，屬于中檔題.

18.2022年，隨著最低工資標準遍高，商品價格上漲，每個家庭的日常消費也隨著提高，某社會機構隨機

調(diào)查了200個家庭的口常消費金額并進行了統(tǒng)計整理，得到數(shù)據(jù)如表:

消費金額（千元）[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)[6,7)17,81

人數(shù)406040302010

（1）求這200個家庭消費金額的平均數(shù)7及方差，（同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代）;

（2）通過進一步調(diào)杏發(fā)現(xiàn)這20（）個家庭中收入不低于5千的有100個家庭，這些家庭成員到商場購物

時駐留時間互不相同，通過調(diào)查得到如表聯(lián)表:

駐留時間少于1小時駐留時間不少于1小時

低于5千7030

不低于5千4060

能否有99.9%的把握認為家庭成員在商場駐留的時間與家庭收入有關？

n(ad-bc)2

附：K2_.n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（片》如）0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

【考點】獨立性檢驗.

【專題】轉化思想；轉化法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算.

【答案】（1）平均數(shù)4.3,力差2.06；

（2）有99.9%的把握認為家庭成員在商場的駐留時間與家庭收入有關.

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的公式求解即可;

（2）用公式計算出K的值，再根據(jù)臨界值分析判斷即可.

解答解1)由題意得

x=2.5X-^-+3.5X-^-+4.5X-^-+5.5X-^-+6.5X-^-+7.5X-^-=4.3,

200200200200200200

22260

S=(2.5-4.3)X^-+(3.5-4.3)X+(4.5-4.3)2X黑+⑸5-4.3)2X淺；■+

200

(6.5-4.3)2X第+(7.5-4.3)2X-^=2.06-

(2)根據(jù)列聯(lián)表可知：a=70,b=30,c=40,d=60,a+/?=cW=100,〃+c=110,W=90,n=a+b+c+d

=200,

n(ad-bc)22

則M=200(70X60-30X40)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-100X100X110X9018.182>10,828,

所以有99.9%的把握認為家庭成員在商場的駐留時間與家庭收入有關.

【點評】本題主要考查獨立性檢驗，考查轉化能力，屬于中檔題.

19.如圖，四邊形ACCiAi與四邊形是全等的矩形，AB=V2AC斗AA1，若。是AAi的中點.

2

(1)求證：平面尸B1C1JL平面尸BiC；

(2)如果AC=1,求三棱錐Bi-Ai。尸與多面體ABC尸Bi的體積比值.

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積：平面與平面垂直.

【專題】轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離：立體幾何；邏輯推理：數(shù)學運算.

【答案】(I)證明見解析；

(2)V三棱椎B「A[C]P：V多面體ABCPB[g.

【分析】(1)通過證明CP_L平面即可證明平面PBiCi_L平面P3C；

(2)分別求出三棱錐B\-A\C\P與多面體ABCPB\的體枳，即可得出三棱錐B]-A\C\P與多面體

ABCPB\的體積比值.

【解答】(1)證明：因為AC二BC二除AE，所以4CL8C,

又因為CCi_L4C,且CC1CAC=C,ACu面ACCi/U,CCiu面ACCIAI,

所以/3CJ_平面ACCiAi,

又CPu平面4CGA1,所以BCLCP.

V^AC^AAf即AC]AA「所以AC=AP,所以NAPC=2，

21214

同理NAiPCi=；，所以NCPCIT，即尸C」CR

又由于4c〃/力。，

所以BiCiJLC尸,

因為PCinBiCi=Ci,PCiu平面尸BCi,BICIU平面尸BiCi，

所以CP_L平面PBiCi,

因為。尸u平面PB\C,

所以平面P8iCi_L平面PBC

（2）解：由題意及（1）得，幾何體ABC-Ai小。為直三棱柱,

V多面體ABCPB]=丫三棱柱煙-.4/1（：1=丫四棱錐B「AiCiCP，

因為V三棱板BC-ABR卷XKXACXAAi=fxiX：LX2=1

V四棱錐BLACICPAX/XQF+CCPXAICIXBIC:獲

所以V多面體ABCPB「V三棱柱?_從B]CjV四棱錐氏一/白仃弓，

WVX-XAPXACXBC

H^B1-A1C1P42IIIIT

所以V三棱椎B「AIC]P：V多面體ABCPBiV.

【點評】本題主要考杳面面垂直的證明，棱柱體積的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.已知拋物線）2=2〃%（工＞0）的焦點F到準線的距離與雙曲線乂2=1的離心率相等.

3

（I）求拋物線的方程；

（II）若點P（/,-2）在拋物線上，過P作拋物線的兩弦PM與PN,若兩弦所在直線的斜率之積為

-4,求證：直線MN過定點.

【考點】直線與圓錐曲線的綜合.

【專題】方程思想；轉化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算.

【答案】（I）』=4x.

（II）直線MN恒過定點（2,2）.

【分析】（I）根據(jù)題意可得雙曲線的離心率e=￡=2,則p=2,即可得出答案.

a

（II）設直線PM的斜率為匕直線PN的斜率為二2,則直線PM的方程為y+2=k（x-/）,聯(lián)立拋物

k

線的方程，解得M點坐標，同理可得N點坐標，寫出直線MN的方程，化簡，即可得出答案.

【解答】解：（I）因為f-工!_=],

3

所以J=],廬=3,

所以C?=J+82=%

所以c=2,

所以雙曲線的離心率e=￡=2,

a

因為拋物線）?=2px（x>0）的焦點/到準線的距離與雙曲線>2_=1的離心率相等,