高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 2.4 漸開線與擺線課件 新人教A版選修4-4-新人教A版高二選修4-4數(shù)學(xué)課件

四

漸開線與擺線1.借助教具或計算機(jī)軟件,觀察圓在直線上滾動時圓上定點(diǎn)的軌跡(平擺線)、直線在圓上滾動時直線上定點(diǎn)的軌跡(漸開線),了解平擺線和漸開線的生成過程,并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程.2.通過閱讀材料,了解其他擺線(外擺線、內(nèi)擺線)的生成過程;了解擺線在實(shí)際應(yīng)用中的實(shí)例.1.漸開線的產(chǎn)生過程把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個圓盤上,在繩的外端系上一支鉛筆,將繩子拉緊,保持繩子與圓相切而逐漸展開,那么鉛筆畫出的曲線就是圓的漸開線,相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓.2.擺線的概念及產(chǎn)生過程圓的擺線就是一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時,圓周上一個定點(diǎn)的軌跡,圓的擺線又叫旋輪線.【做一做1】

關(guān)于漸開線和擺線的敘述,正確的是(

)A.只有圓才有漸開線B.漸開線和擺線的定義是一樣的,只是繪圖的方法不一樣,所以才得到了不同的圖形C.正方形也可以有漸開線D.對于同一個圓,如果建立的平面直角坐標(biāo)系的位置不同,那么畫出的漸開線的形狀就不同解析:不僅圓有漸開線,其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線;漸開線和擺線的實(shí)質(zhì)是完全不一樣的,因此得出的圖形也不相同;對于同一個圓不論在什么位置建立平面直角坐標(biāo)系,畫出圖形的大小和形狀都是一樣的,只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同.答案:C3.圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程

【做一做2-1】

半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程是

.

在圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程中,參數(shù)φ的幾何意義剖析根據(jù)漸開線的定義和推導(dǎo)參數(shù)方程的過程,可知其中的字母r是指基圓的半徑,而參數(shù)φ是指繩子外端運(yùn)動時繩子與基圓的切點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角度,如圖,其中的∠AOB即是角φ.顯然點(diǎn)M由參數(shù)φ唯一確定.在我們解決有關(guān)問題時可以適當(dāng)利用其幾何意義,把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題,使求解過程更加簡單.同樣,根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過程,可知其中的字母r是指定圓的半徑,參數(shù)φ是指圓上定點(diǎn)相對于定直線與圓的切點(diǎn)所張開的角度.參數(shù)的幾何意義可以在解決問題中加以引用,簡化運(yùn)算過程.題型一題型二題型三圓的漸開線的參數(shù)方程及應(yīng)用【例1】

已知圓的直徑為2,其漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對應(yīng)的曲線上兩點(diǎn)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別分析:先寫出圓的漸開線的參數(shù)方程,再把點(diǎn)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別代入?yún)?shù)方程可得A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),然后使用兩點(diǎn)之間的距離公式可得點(diǎn)A,B之間的距離.解:根據(jù)題意可知圓的半徑是1,所以其對應(yīng)漸開線的參數(shù)方程是題型一題型二題型三反思由圓的半徑準(zhǔn)確寫出對應(yīng)的漸開線的參數(shù)方程是解題的關(guān)鍵.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練1】

有一標(biāo)準(zhǔn)的漸開線齒輪,齒輪的齒廓線對應(yīng)的基圓直徑為32mm,求齒廓線對應(yīng)的參數(shù)方程.解:因為基圓的直徑為32

mm,所以基圓的半徑為16

mm,因此齒廓線對應(yīng)的參數(shù)方程為題型一題型二題型三圓的擺線的參數(shù)方程及應(yīng)用【例2】

已知一個圓的擺線過一定點(diǎn)(2,0),請寫出該圓半徑最大時擺線的參數(shù)方程以及對應(yīng)的漸開線的參數(shù)方程.題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三易錯辨析易錯點(diǎn):考慮不全面而致錯【例3】

已知一個圓的擺線過定點(diǎn)(1,0),請寫出該擺線的參數(shù)方程.錯解在擺線的參數(shù)方程中,令r(1-cos

φ)=0可得cos

φ=1,所以φ=0,代入x=r(φ-s