湖南省“炎德英才·名校聯(lián)考聯(lián)合體”2025屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省“炎德英才·名校聯(lián)考聯(lián)合體”2025屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,3,5}，則?UM=(

)A.{4} B.{2,4} C.{2,5} D.{2}2.1?i2?iA.15+35i B.153.已知向量a，b滿足a=(1,2)，b=(x,1)，且(a?bA.12 B.1 C.2 D.4.已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在球上，且棱錐的高和球的半徑均為3，則正四棱錐的體積為(

)A.3 B.23 C.35.已知函數(shù)f(x)=3x?3?x，則A.(?2,1) B.(?∞,?2)∪(1,+∞)

C.(?1,2) D.(?∞,?1)∪(2,+∞)6.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)，其中ω>0，0<φ<π，若圖象上的點(diǎn)(?π10,0)與之相鄰的一條對稱軸為直線x=2A.π5 B.2π5 C.3π57.設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)2A=2A.x24?y22=1 B.8.已知函數(shù)f(x)=ex|x|，若方程[f(x)?e][f(x)+e+a]=0恰有5個不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(?∞,?e) B.(?∞,?2e) C.(?∞,?2e)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，已知S10<0A.a5>0 B.d>0

C.Sn>0時，n的最小值為11 10.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BC=AA1，BC⊥AB，E，F(xiàn)，G，H分別為BB1，CA.AB1⊥EG

B.EG，F(xiàn)H，AA1三線不共點(diǎn)

C.AB與平面EFHG所成角為45°

D.11.已知拋物線C1:y2=px(p>0)和C2:y2=2px的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，動直線l與C1交于M(x1,y1)，N(x2,y2A.C1的方程為y2=4x

B.已知點(diǎn)A(2,32)，則|MA|+|MF1|的最小值為52

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.曲線f(x)=ln(2x?1)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為

．13.已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=(2n?1)cos14.將2個“0”、2個“1”和2個“2”這6個數(shù)，按從左到右的順序排成一排，則能構(gòu)成

個自然數(shù)，在所有構(gòu)成的自然數(shù)中，第一位數(shù)為1的所有自然數(shù)之和為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA?(1)求A;(2)若BD=4CD，AC=3，S16.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=(1)證明：f(x)≥1;(2)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)?ax(a>0)，證明：函數(shù)F(x)有唯一的極值點(diǎn)．17.(本小題15分)

如圖，在直角梯形ABCD中，AB/?/CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，將△CBE沿BE對折至△PBE，使得PA=4，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)．

(1)求證：PA⊥EF;(2)求二面角A?BF?E的正弦值．18.(本小題17分)電動車的安全問題越來越引起廣大消費(fèi)者的關(guān)注，目前電動車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費(fèi)者對兩種電池的電動車的偏好，在社會上隨機(jī)調(diào)查了500名市民，其中被調(diào)查的女性市民中偏好鉛酸電池電動車的占35，得到以下的2×2偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計男性市民200100女性市民合計500(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民對這兩種電池的電動車的偏好與性別有關(guān);(2)采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動車的市民中隨機(jī)抽取7人，再從這7名市民中抽取2人進(jìn)行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率;(3)用頻率估計概率，在所有參加調(diào)查的市民中按男性和女性進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名市民，再從這5名市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，記2名參加座談的市民中來自偏好石墨烯電池電動車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：χ2=n(ad?bc參考數(shù)據(jù)：α0.1000.0500.0250.0100.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(本小題17分)“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長，某些折紙活動蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張紙片，按如下步驟折紙：步驟1:在紙上畫一個圓A，并在圓外取一定點(diǎn)B;步驟2:把紙片折疊，使得點(diǎn)B折疊后與圓A上某一點(diǎn)重合;步驟3:把紙片展開，并得到一條折痕;步驟4:不斷重復(fù)步驟2和3，得到越來越多的折痕．你會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)折痕足夠密時，這些折痕會呈現(xiàn)出一個雙曲線的輪廓．若取一張足夠大的紙，畫一個半徑為2的圓A，并在圓外取一定點(diǎn)B，AB=4，按照上述方法折紙，點(diǎn)B折疊后與圓A上的點(diǎn)W重合，折痕與直線WA交于點(diǎn)E，E的軌跡為曲線T．(1)以AB所在直線為x軸建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線T的方程;(2)設(shè)曲線T的左、右頂點(diǎn)分別為E，H，點(diǎn)P在曲線T上，過點(diǎn)P作曲線T的切線l與圓x2+y2=1交于M，N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))，記EM，HN的斜率分別為k1(3)F是T的右焦點(diǎn)，若直線n過點(diǎn)F，與曲線T交于C，D兩點(diǎn)，是否存在x軸上的點(diǎn)Q(t,0)，使得直線n繞點(diǎn)F無論怎么轉(zhuǎn)動，都有QC?QD=0成立?若存在，求出T的坐標(biāo);參考答案1.B

2.D

3.D

4.B

5.A

6.C

7.B

8.B

9.BC

10.AC

11.BCD

12.2x?y?2=0

13.?2025

14.60；3333330

15.解：(1)由sinA?sinBb+c=sinCa+b及正弦定理得a?bb+c=ca+b，

整理得a2=b2+c2+bc，

又由余弦定理的推論得，cosA=b2+c2?a22bc=?16.(1)證明：因?yàn)閒(x)=ex?1?lnx，定義域?yàn)?0,+∞)，

所以f′(x)=ex?1?1x，

由于函數(shù)y=ex?1，y=?1x在(0,+∞)上均為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以f′(x)=ex?1?1x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒′(1)=0，所以x∈(0,1)，f′(x)<0，x∈(1,+∞)，f′(x)>0，

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=1處取得極小值，也是最小值，

所以f(x)≥f(1)=1．

(2)解：因?yàn)閍>0，F(xiàn)(x)=f(x)?ax=ex?1?lnx?ax的定義域?yàn)?0,+∞)，

所以F′(x)=ex?1?1x?a．

設(shè)?(x)=ex?x?1，則?′(x)=ex?1，

當(dāng)x>0時，?′(x)>0，所以?(x)單調(diào)遞增，

所以?(x)>?(0)=0，

所以ex?x?1>0，即ex>x+1，

17.(1)證明：因?yàn)锳B/?/CD，CD=2AB，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，所以AB/?/DE，AB=DE，所以四邊形ABED是平行四邊形，

又AB⊥AD，AB=AD，所以四邊形ABED是正方形，所以BE/?/AD，且BE⊥DE，所以AD⊥DE，且AD⊥CE，即AD⊥PE，

因?yàn)镈E∩PE=E，DE，PE?平面PDE，所以AD⊥平面PDE，

因?yàn)镋F?平面PDE，所以AD⊥EF，

因?yàn)镕是PD的中點(diǎn)，PE=ED，所以EF⊥PD，

因?yàn)锳D∩PD=D，AD，PD?平面PAD，所以EF⊥平面PAD，

因?yàn)镻A?平面PAD，所以EF⊥PA．

(2)由(1)知，AD⊥平面PDE，因?yàn)镻D?平面PDE，所以AD⊥PD，

因?yàn)镻A=4，AD=2.所以PD=PA2?AD2=16?4=23，

又PE=DE=12CD=2，由余弦定理得cos∠PED=PE2+DE2?PD22PE?DE=4+4?128=?12，

因?yàn)?<∠PED<π，所以∠PED=2π3，

所以∠PDC=π6，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，作Dz⊥平面ABCD為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，E(0,2,0)，P(0,3,3)，

因?yàn)镕是PD的中點(diǎn)，所以F(0,32,32)，所以DP=(0,3,3)，AF=(?2,32,32)，AB=(0,2,0)，BE=18.(1)被調(diào)查的女性市民人數(shù)為500?200?100=200，

其中偏好鉛酸電池電動車的女性市民人數(shù)為200×35=120，

偏好石墨烯電池電動車的女性市民人數(shù)為200?120=80，

所以2×2列聯(lián)表為：

零假設(shè)H0:市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別無關(guān)，

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=500(200×120?80×100)2300×200×280×220≈34.632，

由于χ2≈34.632>10.828，

根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，

即認(rèn)為市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別有關(guān)．

(2)因?yàn)槠檬╇姵仉妱榆嚨氖忻裰?，男性市民與女性市民的比為20080=52，

所以采用分層抽樣的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，

設(shè)“有女性市民參加座談”為事件A，“恰有一名女性市民參加座談”為事件B，則P(AB)=C51C21C72=1021，

P(A)=C51C21+C22C72=1121，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1021×2111=1011．

(3)因?yàn)樗袇⒓诱{(diào)查的市民中，男性市民和女性市民的比為300200=32，

所以由分層抽樣知，隨機(jī)抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人．

根據(jù)頻率估計概率知，男性市民偏好石墨烯電池電動車的概率為23，偏好鉛酸電池電動車的概率為119.解：(1)以AB所在直線為x軸，以AB為x軸的正方向，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(?2,0)，B(2,0)，

由折紙方法知，|EB|=|EW|，

則||EB|?|EA||=||EW|?|EA||=|WA|=2<|AB|=4，

根據(jù)雙曲線的定義，曲線T是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線，

設(shè)其方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，

則a=1，c=a2+b2=2，所以a2=1，b2=3，

故曲線T的方程為x2?y23=1．

(2)易知直線l的斜率存在，

設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k≠0)，且M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立方程組y=kx+m,x2?