2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專題09 期中-綜合大題必刷（壓軸16考點(diǎn)49題）（原卷版）

專題09期中-綜合大題必刷（壓軸16考點(diǎn)49題）

一．冪的乘方與積的乘方（共4小題）1．定義：如果2m＝n（m，n為正數(shù)），那么我們把m叫做n的D數(shù)，記作m＝D（n）．（1）根據(jù)D數(shù)的定義，填空：D（2）＝，D（16）＝．（2）D數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：D（s?t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算：①若D（a）＝1，求D（a3）；②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，試求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．2．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整數(shù)），則m＝n．利用上面結(jié)論解決下面的問題：（1）若3x×9x×27x＝312，求x的值．（2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代數(shù)式表示y．3．規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算記作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因?yàn)?2＝9，所以3※9＝2．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：2※16＝，※36＝﹣2；（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：3n※4n＝3※4，小明給出了如下的證明；設(shè)3n※4n＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即3※4＝x，所以3n※4n＝3※4．請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法解決下列問題：①證明：5※7+5※9＝5※63；②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝※（結(jié)果化成最簡(jiǎn)形式）．4．規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因?yàn)?3＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（3，27）＝，（5，1）＝，（2，）＝．（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：（3n，4n）＝（3，4），小明給出了如下的證明：設(shè)（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個(gè)等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）二．同底數(shù)冪的除法（共1小題）5．已知，3m＝2，3n＝5，求（1）33m+2n；（2）34m﹣3n．三．完全平方公式（共1小題）6．閱讀下列材料若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF為邊作正方形．①M(fèi)F＝，DF＝；（用含x的式子表示）②求陰影部分的面積．四．完全平方公式的幾何背景（共2小題）7．現(xiàn)有長(zhǎng)與寬分別為a、b的小長(zhǎng)方形若干個(gè)，用兩個(gè)這樣的小長(zhǎng)方形拼成如圖1的圖形，用四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼成圖2的圖形，請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)圖中條件，請(qǐng)寫出圖1和圖2所驗(yàn)證的關(guān)于a、b的關(guān)系式：（用含a、b的代數(shù)式表示出來(lái)）；圖1表示：；圖2表示：；（2）根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：①若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值；②請(qǐng)直接寫出下列問題答案：若2m+3n＝5，mn＝1，則6n﹣4m；若（7﹣m）（5﹣m）＝9，則（7﹣m）2+（5﹣m）2＝．如圖3，長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝44，CG＝30，長(zhǎng)方形EFGD的面積是200，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長(zhǎng)方形．延長(zhǎng)MP至T，使PT＝PQ，延長(zhǎng)MF至O，使FO＝FE，過(guò)點(diǎn)O、T作MO、MT的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)R，求四邊形MORT的面積．（結(jié)果必須是一個(gè)具體的數(shù)值）8．把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)圖形面積的計(jì)算，常?？梢缘玫揭恍┯杏玫氖阶?，或可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．（1）如圖1，是將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形．①若用不同的方法計(jì)算這個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形面積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式可以為2＝．②因式分解：a2+4b2+9c2+4ab+12bc+6ca．如圖2，是將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF，若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足a+b＝6，ab＝8，請(qǐng)求出陰影部分的面積．五．平方差公式的幾何背景（共1小題）9．（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，正方形FGCH的邊長(zhǎng)為b，長(zhǎng)方形ABGE和EFHD為陰影部分，則陰影部分的面積是（寫成平方差的形式）（2）將圖1中的長(zhǎng)方形ABGE和EFHD剪下來(lái)，拼成圖2所示的長(zhǎng)方形，則長(zhǎng)方形AHDE的面積是（寫成多項(xiàng)式相乘的形式）（3）比較圖1與圖2的陰影部分的面積，可得乘法公式．（4）利用所得公式計(jì)算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．六．整式的混合運(yùn)算（共1小題）10．閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，將等式兩邊同時(shí)乘2，得2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014．將下式減去上式，得2S﹣S＝22014一1即S＝22014一1，即1+2+22+23+24+…+22013＝22014一1仿照此法計(jì)算：（1）1+3+32+33+…+3100（2）1++…+．七．因式分解的應(yīng)用（共2小題）11．閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大邊c的值．12．仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個(gè)因式是（x+3），求另一個(gè)因式以及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），則x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一個(gè)因式為（x﹣7），m的值為﹣21．問題：仿照以上方法解答下面問題：（1）已知二次三項(xiàng)式2x2+3x﹣k有一個(gè)因式是（2x﹣5），求另一個(gè)因式以及k的值．（2）已知二次三項(xiàng)式6x2+4ax+2有一個(gè)因式是（2x+a），a是正整數(shù)，求另一個(gè)因式以及a的值．八．二元一次方程的應(yīng)用（共2小題）13．某電器經(jīng)銷商計(jì)劃同時(shí)購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種型號(hào)的微波爐，若購(gòu)進(jìn)1臺(tái)甲型微波爐和2臺(tái)乙型微波爐，共需要資金2600元；若購(gòu)進(jìn)2臺(tái)甲型微波爐和3臺(tái)乙型微波爐．共需要資金4400元．（1）求甲、乙型號(hào)的微波爐每臺(tái)進(jìn)價(jià)為多少元？（2）該店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的微波爐銷售共20臺(tái)進(jìn)行銷售，請(qǐng)問有幾種進(jìn)貨方案？請(qǐng)寫出進(jìn)貨方案；（3）該店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的微波爐銷售共20臺(tái)進(jìn)行銷售，其中甲型微波爐a臺(tái)，甲型微波爐的售價(jià)為1400元，售出一臺(tái)乙型微波爐的利潤(rùn)甲為45%．為了促銷，公司決定甲型微波爐九折出售，而每售出一臺(tái)乙型微波爐，返還顧客現(xiàn)金m元，若全部售出購(gòu)進(jìn)的微波爐所獲得的利潤(rùn)與a無(wú)關(guān)，則m的值應(yīng)為多少？14．去年某生態(tài)枇杷園喜獲豐收，生態(tài)園老板準(zhǔn)備租車把枇杷運(yùn)往外地去銷售，經(jīng)租車公司負(fù)責(zé)人介紹，用2輛甲型車和3輛乙型車裝滿枇杷一次可運(yùn)貨12噸；用3輛甲型車和4輛乙型車裝滿枇杷一次可運(yùn)貨17噸，現(xiàn)有15噸枇杷，計(jì)劃同時(shí)租用甲型車m輛，乙型車n輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿枇杷，根據(jù)以上信息．解答下列問題：（1）1輛甲型車和1輛乙型車都裝滿枇杷一次可分別運(yùn)貨多少噸？請(qǐng)你幫生態(tài)園老板設(shè)計(jì)共有多少種租車方案？九．二元一次方程組的解（共2小題）15．已知方程組和有相同的解，求a、b的值．16．已知方程組，甲正確地解得，而乙粗心地把c看錯(cuò)了，得，試求出a，b，c的值．一十．解二元一次方程組（共1小題）17．閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法．解：將方程②變形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得x＝4，所以，方程組的解為．請(qǐng)你解決以下問題：（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組．（2）已知x，y滿足方程組，求x2+4y2﹣xy的值．一十一．二元一次方程組的應(yīng)用（共3小題）18．已知：用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨11噸，某物流公司現(xiàn)有26噸貨物，計(jì)劃A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？（2）請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案；（3）若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次．請(qǐng)選出最省錢車方案，并求出最少租車費(fèi)．19．某鐵件加工廠用如圖1的長(zhǎng)方形和正方形鐵片（長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等）加工成如圖2的豎式與橫式兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵容器．（加工時(shí)接縫材料不計(jì)）（1）如果加工豎式鐵容器與橫式鐵容器各1個(gè)，則共需要長(zhǎng)方形鐵片張，正方形鐵片張；（2）現(xiàn)有長(zhǎng)方形鐵片2014張，正方形鐵片1176張，如果加工成這兩種鐵容器，剛好鐵片全部用完，那加工的豎式鐵容器、橫式鐵容器各有多少個(gè)？（3）把長(zhǎng)方體鐵容器加蓋可以加工成為鐵盒．現(xiàn)用35張鐵板做成長(zhǎng)方形鐵片和正方形鐵片，已知每張鐵板可做成3個(gè)長(zhǎng)方形鐵片或4個(gè)正方形鐵片，也可以將一張鐵板裁出1個(gè)長(zhǎng)方形鐵片和2個(gè)正方形鐵片．該如何充分利用這些鐵板加工成鐵盒，最多可以加工成多少個(gè)鐵盒？20．如圖，欣欣食品加工廠與湖州、杭州兩地有公路、鐵路相連，該食品加工廠從湖州收購(gòu)一批每噸2000元的枇杷運(yùn)回工廠加工，制成每噸8000元的枇杷干運(yùn)到杭州銷售，已知公路運(yùn)價(jià)為0.8元/（噸?千米），鐵路運(yùn)價(jià)為0.5元/（噸?千米），且這次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)輸費(fèi)960元，鐵路運(yùn)輸費(fèi)1900元．求：（1）該工廠從湖州購(gòu)買了多少噸枇杷？制成運(yùn)往杭州的枇杷干多少噸？（2）這批枇杷干的銷售款比購(gòu)買枇杷費(fèi)用與運(yùn)輸費(fèi)用的和多多少元？一十二．平行線的性質(zhì)（共12小題）21．【問題情景】如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，求∠EPF；【問題遷移】如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接PE，PF，過(guò)P點(diǎn)作PN∥AB，判斷∠PEA，∠PFC，∠EPF之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝36°，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB，求∠EGF．22．如圖，已知AB∥CD，直線MN交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．點(diǎn)E是線段MN上一點(diǎn)，P，Q分別在射線MA，NC上，連接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．（1）如圖1，若PE⊥QE，∠EQN＝63°，則∠MPE＝°，∠PFQ＝°；（2）如圖2，求∠PEQ與∠PFQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)PE⊥QE時(shí)，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥QF交QF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．將直線MN繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒6°，直線MN旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)直線為M′N，同時(shí)△FPH繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒12°，△FPH旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)三角形為△F′PH′，當(dāng)直線MN首次落到CD上時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止．在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)t秒后，直線M′N恰好平行于△F′PH′的一條邊，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t的值．23．已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上的兩點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、NG．（1）如圖1，若MG⊥NG，求∠BMG+∠DNG的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)P是CD下方一點(diǎn)，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP．若∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度數(shù)；（3）如圖3，點(diǎn)E是AB上方一點(diǎn)，連接EM、EN，且GM的延長(zhǎng)線MF平分∠AME，NE平分∠CNG．若∠AME＝50°，則2∠MEN+∠MGN的度數(shù)為．24．已知，AB∥CD．點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．如圖，已知直線AB∥CD．（1）在圖1中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F在直線CD上，點(diǎn)G在AB、CD之間，若∠1＝30°，∠3＝75°，則∠2＝；（2）如圖2，若FN平分∠CFG，延長(zhǎng)GE交FN于點(diǎn)M，EM平分∠AEN，當(dāng)∠N+∠FGE＝54°時(shí)，求∠AEN的度數(shù)；（3）如圖3，直線MF平分∠CFG，直線NE平分∠AEG相交于點(diǎn)H，試猜想∠G與∠H的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．26．如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)G，∠BCD＝90°．（1）試說(shuō)明：∠BAG＝∠BGA；（2）如圖1，點(diǎn)F在AG的反向延長(zhǎng)線上，連接CF交AD于點(diǎn)E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求證：CF平分∠BCD．（3）如圖2，線段AG上有點(diǎn)P，滿足∠ABP＝3∠PBG，過(guò)點(diǎn)C作CH∥AG．若在直線AG上取一點(diǎn)M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．27．如圖，MN∥OP，點(diǎn)A為直線MN上一定點(diǎn)，B為直線OP上的動(dòng)點(diǎn)，在直線MN與OP之間且在線段AB的右方作點(diǎn)D，使得AD⊥BD．設(shè)∠DAB＝α（α為銳角）．（1）求∠NAD與∠PBD的和；（提示過(guò)點(diǎn)D作EF∥MN）（2）當(dāng)點(diǎn)B在直線OP上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明∠OBD﹣∠NAD＝90°；（3）當(dāng)點(diǎn)B在直線OP上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，請(qǐng)求出此時(shí)α的值28．已知ABCD為四邊形，點(diǎn)E為邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．【探究】：（1）如圖1，∠ADC＝110°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB＝°；（2）如圖2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB＝；（用α，β表示）（3）如圖3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，當(dāng)∠DAB和∠CBE的平分線AG，BH平行時(shí)，α，β應(yīng)該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；【挑戰(zhàn)】：如果將（2）中的條件α+β＞180°改為α+β＜180°，再分別作∠DAB和∠CBE的平分線，若兩平分線所在的直線交于點(diǎn)F，則∠AFB與α，β有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫出圖形并直接寫出結(jié)論．29．（1）如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度數(shù)；（2）如圖2，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．30．如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA、PB，構(gòu)成∠PAV、∠APB、∠PBD三個(gè)角．（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，如圖1，求證：∠APB＝∠PAC+∠PBD；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB＝∠PAC+∠PBD是否成立？在圖2中畫出圖形，若成立，寫出推理過(guò)程，若不成立，直線寫出這三個(gè)角之間的關(guān)系；（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，延長(zhǎng)BA，點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)和右側(cè)時(shí)，分別探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間關(guān)系，在圖3中畫出圖形，并直接寫出相應(yīng)的結(jié)論．31．已知：如圖，直線PQ∥MN，點(diǎn)C是PQ，MN之間（不在直線PQ，MN上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）若∠1與∠2都是銳角，如圖1，請(qǐng)直接寫出∠C與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系．（2）若小明把一塊三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如圖2放置，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角板的邊與平行線的交點(diǎn)，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度數(shù)．（3）將圖2中的三角板進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖3，直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段CD上，連接EG，且有∠CEG＝∠CEM，給出下列兩個(gè)結(jié)論：①的值不變；②∠GEN﹣∠BDF的值不變．其中只有一個(gè)是正確的，你認(rèn)為哪個(gè)是正確的？并求出不變的值是多少．32．如圖1，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．（1）求證：∠DEC+∠ECD＝90°；（2）如圖2，BF平分∠ABD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若∠ABC＝100°，求∠F的大小；（3）如圖3，若H是BC上一動(dòng)點(diǎn)，K是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，KH交BD于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)O，KG平分∠BKH，交DE于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)H在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)B重合），求的值．一十三．平行線的判定與性質(zhì)（共11小題）33．如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，EM平∠AEF交CD于點(diǎn)M，且∠FEM＝∠FME．（1）判斷直線AB與直線CD是否平行，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，點(diǎn)G是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合），EH平分∠FEG交CD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥EM于點(diǎn)N，設(shè)∠EHN＝α，∠EGF＝β．①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若α＝30°，求β的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．34．如圖甲所示，已知點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F，G在直線CD上，且∠GEF＝∠EFG，EF平分∠AEG．（1）判斷直線AB與直線CD是否平行，并說(shuō)明理由．（2）如圖乙所示，H是AB上點(diǎn)E右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，∠EGH的平分線GQ交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，①若∠EHG＝90°，∠QGE＝20°，求∠Q的值．②設(shè)∠Q＝α，∠EHG＝β．點(diǎn)H在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，寫出α和β的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．35．如圖1，為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．燈A射線AC從AM開始．以每秒2度的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線BD從BP開始，以每秒1度的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．主道路是平行的即PQ∥MN，∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAM＝；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)10秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒．兩燈的光束互相平行（如圖2，3）？（3）若兩燈同時(shí)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，兩燈射出的光束交于點(diǎn)C，則在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒時(shí)，∠ACB＝120°．36．實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角∠1＝∠2．（1）如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝50°，則∠2＝°，∠3＝°．（2）請(qǐng)你猜想：當(dāng)射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過(guò)平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行時(shí)，兩平面鏡a、b間的夾角∠3的大小是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出∠3，若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，兩面鏡子的夾角為α°（0＜α＜90），進(jìn)入光線與離開光線的夾角為β°（0＜β＜90）．試探索α與β的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．37．已知：如圖，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，試回答下列問題：（1）如圖①所示，求證：OB∥AC．（注意證明過(guò)程要寫依據(jù)）（2）如圖②，若點(diǎn)E、F在BC上，且滿足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ）求∠EOC的度數(shù)；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如圖③，若∠OEB＝∠OCA．此時(shí)∠OCA度數(shù)等于．（在橫線上填上答案即可）38．如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．（1）求證：AB∥CD；（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度數(shù)；（用含α的式子表示）（3）若點(diǎn)E在AB上，連接OE，EP平分∠OEB交CM于點(diǎn)P，如備用圖所示，求證：∠COE＝2∠EPC+∠B．39．如圖1，點(diǎn)A、B分別在直線GH、MN上，∠GAC＝∠NBD，∠C＝∠D．（1）求證：GH∥MN；（2）如圖2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED＝∠GAC，求∠GAC與∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，如圖3，BF平分∠DBM，點(diǎn)K在射線BF上，∠KAG＝∠GAC，若∠AKB＝∠ACD，直接寫出∠GAC的度數(shù)．40．如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，將一直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，其中∠OMN＝30°．（1）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數(shù)；（2）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，在第秒時(shí)，邊MN恰好與射線OC平行；在第秒時(shí)，邊MN恰好與射線OC垂直．（直接寫出結(jié)果）；（3）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄俊螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．41．探索發(fā)現(xiàn)：如圖是一種網(wǎng)紅彈弓的實(shí)物圖，在兩頭上系上皮筋，拉動(dòng)皮筋可形成平面示意圖如圖1圖2，彈弓的兩邊可看成是平行的，即AB∥CD．各活動(dòng)小組探索∠APC與∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系．已知AB∥CD，點(diǎn)P不在直線AB和直線CD上，在圖1中，智慧小組發(fā)現(xiàn)：∠APC＝∠A+∠C．智慧小組是這樣思考的：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，……．（1）填空：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB．∴∠APQ＝∠A，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD（），∴∠CPQ＝∠C，∴∠APO+∠CPQ＝∠A+∠C，即∠APC＝∠A+∠C．（2）在圖2中，猜測(cè)∠APC與∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并完成證明．（3）善思小組提出：①如圖3，已知AB∥CD，則角α、β、γ之間的數(shù)量關(guān)系為.（直接填空）②如圖4，AB∥CD，AF，CF分別平分∠BAP，∠DCP．則∠AFC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系為．（直接填空）42．已知：AB∥CD，E、G是AB上的點(diǎn)，F(xiàn)、H是CD上的點(diǎn)，∠1＝∠2．（1）如圖1，求證：EF∥GH；（2）如圖2，過(guò)F點(diǎn)作FM⊥GH交GH延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作∠BEF、∠DFM的角平分線交于點(diǎn)N，EN交GH于點(diǎn)P，求證：∠N＝45°；（3）如圖3，在（2）的條件下，作∠AGH的角平分線交CD于點(diǎn)Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接寫出的值．43．某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：已知直線a∥b，若直線c∥a，則c∥b．他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論運(yùn)用很廣，請(qǐng)你利用這個(gè)結(jié)論解決以下問題：已知直線AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，點(diǎn)P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、EQ．（1）如圖1，運(yùn)用上述結(jié)論，探究∠PEQ與∠APE+∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明理由；（2）如圖2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，當(dāng)∠PEQ＝130°時(shí)，求出∠PFQ的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長(zhǎng)線交PF于點(diǎn)F，當(dāng)∠PEQ＝80°時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠PFQ的度數(shù)．一十四．三角形內(nèi)角和定理（共3小題）44．問題探究：（1）如圖1，AB∥CD，求證：∠E＝∠B+∠D．（2）如圖2，AB∥CD，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)G，∠E＝56°，則∠BGD的度數(shù)為．問題遷移：（3）如圖3，AB∥CD，EF平分∠AEC，F(xiàn)D平分∠EDC．若∠F：∠CED＝1：3，請(qǐng)求出∠F的度數(shù)．45．如圖