5.1-任意角及其度量

(完整word版)5.1任意角及其度量(完整word版)5.1任意角及其度量(完整word版)5.1任意角及其度量5.1任意角及其度量一、任意角定義：角是由平面內(nèi)一條射線繞著其端點從初始位置(始邊)旋轉(zhuǎn)到終止位置(終邊）而形成的圖形．規(guī)定：一條射線繞端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為正角；按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為負角．特別地,當一條射線沒有旋轉(zhuǎn)時，我們也認為形成了一個角，這個角叫做零角．例1、已知：主動輪與被動輪相向旋轉(zhuǎn)，它們的齒數(shù)之比是3：5，求當主動輪逆時針方向旋轉(zhuǎn)5周時,被動輪旋轉(zhuǎn)的角度．二、直角坐標系中的角例2、(1）觀察:390°，330°角，它們的終邊都與30°角的終邊相同;(2)終邊相同的角都可以表示成一個0°到360°的角與k個周角的和30°30°+0×360°（k0）390°30°+360°(k1）–330°30°–360°（k–1）1470°30°+4×360°（k4）–1770°=30°5×360°（k–5)（3)所有與α終邊相同的角連同α在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合．即:任何一個與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．三、角度制與弧度制定義：我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量時，這樣的圓心角等于1rad．其中l(wèi)是以角a作為圓心角時所對弧的長，r是圓的半徑．概念：這種以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制．注：弧度是兩個長度的比值,在不引起混淆的情形下,可以省略單位“rad”或“弧度”．角的集合與實數(shù)集R之間的對應(yīng)關(guān)系：1、把角度換成弧度2、把弧度換成角度例3、(1)把67°30’化成弧度； (2）把rad化成度．我們知道，所有的圓都相似，兩圓的相似比=，每個圓的周長與半徑之比是常數(shù)2π,記周角2πrad．因此平角πrad,直角rad，進而可得度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度問：長度等于半徑長的弧所對的圓心角_________________________rad．【歸納小結(jié)】角度制與弧度制的互化:180°πrad．對于角α,設(shè)它的角度為n°,它的弧度為θ，則滿足公式：．四、扇形的弧長與面積一般地,如果一個半徑為r的圓心角所對的弧長為l，那么比值就是角弧度數(shù)的絕對值,即．例4、如圖，已知扇形的圓心角的弧度數(shù)為α（0<α〈2π）,半徑為r,弧長為l,面積為S．

求證：（1)lαr；(2）；（3）注：扇形中有關(guān)的基本量有四個r,l,，S，只要知道其中的2個量就可求出其它的量．例5、一個半徑為R的扇形,它的周長是4R．求這個扇形所含弓形的面積．例6、如圖，弓形ABC所在的半徑為1，如果弓形的弧的長為x,弓形的面積為y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。例7、一繩索繞在半徑為40厘米的輪圈上．繩索的下端B處懸掛著物體W（如圖）．如果輪子按逆時針方向每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)6圈，那么需要幾秒才能把物體W的位置向上提升100厘米？例8、兩個齒輪相向旋轉(zhuǎn)，其中大齒輪逆時針旋轉(zhuǎn)．已知：兩齒輪的半徑大小分別是R、r，大齒輪的角速度是ω．用ω、R、r表示小齒輪的角速度θ．【歸納小結(jié)】扇形的弧長與面積公式：lr，；五、角的加、減運算與終邊的關(guān)系例9、（1）寫出終邊分別在x軸、y軸正負半軸的角的集合；

(2）寫出終邊分別在x軸、y軸的角的集合；

(3)寫出終邊在坐標軸的角的集合．例10、在直角坐標系中畫出集合中角的終邊．例11、寫出直角坐標系中終邊在直線yx上的角的集合．六、終邊關(guān)于x軸、y軸、原點等對稱的角例12、在直角坐標系中(1)角與的終邊關(guān)于x軸對稱，寫出、滿足的關(guān)系式;(2)角與的終邊關(guān)于原點對稱，寫出、滿足的關(guān)系式；（3)角與的終邊關(guān)于y軸對稱，寫出、滿足的關(guān)系式．例13、在直角坐標系中（1)角與的終邊關(guān)于直線yx對稱,寫出、滿足的關(guān)系式；(2）角與的終邊關(guān)于直線yx對稱，寫出、滿足的關(guān)系式．七、象限角、軸線角與區(qū)間角例14、用區(qū)間表示終邊在下列位置的角的集合．1）第一象限； 2）第四象限； 3）第二、四象限； 4）第一、四象限．例15、在直角坐標系中，用陰影表示屬于區(qū)間的角的終邊所在的位置．例16、寫出終邊落在圖1,圖2所示范圍內(nèi)的角的集合(不包含畫成虛線的邊界）．其中OA是角的終邊,OB是角的終邊．yyxOyxO圖1圖2ABAB例17、設(shè)α是第三象限的角，試討論是哪個象限的角，并在直角坐標系中用陰影部分表示出來．例18、若角是第一象限角，指出，,，，終邊所在的位置．例19、設(shè)圓與x軸正半軸的交點為A,質(zhì)點M從圓周上點A位置開始，依逆時針方向作勻速圓周運動．已知:質(zhì)點M一分鐘轉(zhuǎn)過的角為θ（0≤θ≤2π），2分鐘后到達第二象限，14分鐘后回到原來位置．求角θ．弧度制一、填空題把下列給角化成弧度（1)____________________ (2)____________________(3)____________________ （4）____________________把下列給弧度化成角度(1）____________________ （2)____________________（3）____________________ （4)____________________二、選擇題1．在半徑為R的圓中,一個扇形的圓心角為 弧度,那么這個扇形面積為 ()

A． B． C． D．2．已知扇形的周長等于它所在圓的周長的一半，那么這個扇形的圓心角的大小為 (）

A． B． C． D．三、解答題計算下列三角式的值2．設(shè)兩個角的差為,它們的和為2弧度，求這兩個角各是多少弧度?3．圓的半徑等于12cm，求這個圓上長25cm的弧所對圓心角的度數(shù)（精確到)4．直徑是20cm的輪子,每秒鐘旋轉(zhuǎn)45弧度,那么輪周上一點經(jīng)過5秒鐘所轉(zhuǎn)過的弧長為多少？5．一個扇形OAB的中心角為，扇形的面積為，求弧AB的長和以AB為弦的弓形的面積6．若扇形的圓心角為,半徑為r,求扇形的內(nèi)切圓與扇形的面積之比7．已知一扇形的周長為m（m>0)．問:扇形的圓心角為多大時,它的面積最大?任意角（1）一、選擇題1、角屬于第幾象限 ()

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2、與角終邊相同的角是 （)

A． B． C． D．3、下列各角的始邊相同，其中有相同的終邊的一組角是 (）

A． B．

C． D．4．若角的終邊在第四象限，則角的終邊在 (）

A．第二象限 B.第二象限或第一象限

C．第二象限或第三象限 D.第二象限或第四象限5．經(jīng)過20分鐘時,鐘的分針所轉(zhuǎn)過的角是 （）

A． B． C． D．6．2003是 （）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角7．所有與角終邊相同的角可表示為，其中一定是 （）

A．小于的角 B．正角 C．象限角 D．任何角二、填空題1．在下列角的集合中，找出終邊在之間的一切角：

（i）,A中有____________________

（ii)，B中有____________________

（iii），C中有____________________2．

則____________________，____________________三、解答題1、在下列角的集合中,找出終邊在之間的一切角：

(i) （ii)2、設(shè)A和B分別是等腰三角形的頂角和底角,用弧度制表示A和B的范圍。3、若是第二象限的角，試判定下列各角所在象限：

（i） （ii） (iii)任意角（2）一、選擇題1、終邊在y軸上的角的集合為 ()

A． B．

C． D．2、已知角和分別是等腰三角形的頂角和底角，則和滿足 (）

A． B．

C． D．3、下列各角中,有一個角與其它三個角的終邊不重合,這個角是 （）

A． B． C． D．4、設(shè)M=,則是 （)

A． B． C． D．以上都不對5、已知扇形的周長為6cm，面積為2，則扇形的中心角的弧度數(shù)為 (）

A．1弧度 B．4弧度 C．1弧度或4弧度 D．6弧度二、填空題1、在間，找出與下列各角終邊相同的角,并判定是哪個象限的角:

a)的角與______________的角的終邊相同,它是第__________象限角

b）的角與______________的角的終邊相同，它是第__________象限角2、在直角坐標系中，

若角和角的終邊互為反向延長線，則角和角的關(guān)系是_____________________

若角和角終邊關(guān)于x軸對稱，則角和角的關(guān)系是______________________

若角和角終邊關(guān)于y軸對稱，則角和角的關(guān)系是______________________3、與8終邊相同的角是____________________，它們是第__________象限角;其中最小的正角是____________________；最大負角是____________________．三、解答題1、若是第二象限的角，試判定下列各角所在象限：

（i） （ii） (iii）2、已知集．求3、已知