Hamilton力學(xué)的辛算法

1Schr?dinger：“Hamilton原理已經(jīng)成為現(xiàn)代物理學(xué)的基石?！盚amilton原理將不同的物理規(guī)律納入了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式?，F(xiàn)在問題就歸結(jié)到：怎樣才能對Hamilton力學(xué)的運動方程作正確的數(shù)值計算。一切Hamilton體系的動力學(xué)演化都使辛度量保持不變，即都是辛（正則）變換。一切解Hamilton方程“正確”的離散算法都應(yīng)當(dāng)是辛變換的。（馮康，1997年國家自然科學(xué)一等獎“哈密爾頓系統(tǒng)辛幾何算法”）Lax：“他的聲望是國際性的?！鼻鸪赏骸爸袊跀?shù)學(xué)歷史上很出名的有三個：一個是陳省身教授在示性類方面的工作，一個是華羅庚在多復(fù)變函數(shù)方面的工作，一個是馮康在有限元計算方面的工作?！?1998年3月11日《中國科學(xué)報》)第1頁/共44頁2“馮氏大定理”同一物理定律的不同的數(shù)學(xué)表述，盡管在物理上是等價的；但在計算上是不等價的。馮康：如果在算法中能夠保持辛幾何的對稱性，將可避免人為耗散性這類算法的缺陷，成為具有高保真性的算法。在天體力學(xué)的軌道計算，粒子加速器中的軌道計算和分子動力學(xué)計算中得到廣泛的應(yīng)用。第2頁/共44頁3馮康（1920－1993）的學(xué)術(shù)成就1965年發(fā)表論文“基于變分原理的差分格式”。國際學(xué)術(shù)界承認(rèn)馮康獨立發(fā)展了有限元方法。（僅獲1982年國家自然科學(xué)二等獎。馮康得悉非常難過，曾打算將申請撤回。）前國際數(shù)學(xué)會理事長J.–L.Lions教授1981年說：“中國學(xué)者在對外隔絕的環(huán)境下獨立創(chuàng)造了有限元，在世界上是最早之列。今天這一貢獻已為全人類所共享?！?984年以后創(chuàng)建的“哈密爾頓系統(tǒng)的辛幾何算法”。（1991年評為國家自然科學(xué)獎二等獎。馮康獲悉后撤回申請。直到1997年底，在馮康去世四年之后，終于授予了國家自然科學(xué)一等獎。）石鐘慈：“國際上最早系統(tǒng)地研究并建立辛幾何算法的?！钡?頁/共44頁4數(shù)學(xué)地位第4頁/共44頁5外微分辛幾何

辛幾何的基礎(chǔ)是外微分形式。

外微分形式是如下概念推廣到高維的產(chǎn)物：

1、作功—在場中沿某一路徑所作的功；

2、流量—單位時間內(nèi)流體穿過某曲面的量

3、面積或體積—平行四邊形面積或平行六面體體積。

外微分形式中有“1-形式”、“2-形式”等辛構(gòu)造就是非簡并的閉2-形式。第5頁/共44頁6Euclid空間

對稱性：

線性：（k

為任意實數(shù)）（c是V中的任意向量）

非簡并性：，當(dāng)且僅當(dāng)時才符合如下內(nèi)積定義的線性空間V稱為“Euclid空間”。然后就可以給出向量的長度、正交、單位向量等概念。第6頁/共44頁7辛空間（SimplecticSpace）

反對稱性：

雙線性：

非簡并性：若向量a對于W中的任意向量b均有，則具有如下內(nèi)積定義的線性空間W為“辛空間”。這種內(nèi)積稱為“辛內(nèi)積”。第7頁/共44頁8辛空間度量：作功、面積（或體積）、流量等辛內(nèi)積：

2維：a、b平行四邊形面積

2n維：單位辛矩陣：第8頁/共44頁9單位辛矩陣的性質(zhì)

若A

為對稱陣，且，則證明：▌第9頁/共44頁10Euclid空間和辛空間的對應(yīng)關(guān)系Euclid空間辛空間內(nèi)積——長度內(nèi)積——面積單位矩陣單位辛矩陣正交辛正交正交歸一基共軛辛正交歸一基正交矩陣辛正交矩陣對稱變換Hamilton變換實對稱矩陣的本征值均為實數(shù)若Hamilton矩陣的本征值為，則也是它的本征值實對稱矩陣的不同本征值的本征向量必正交Hamilton矩陣的非辛共軛本征值的本征向量必辛正交實對稱矩陣的所有本征向量組成一組正交歸一基Hamilton矩陣的所有本征向量組成一組共軛辛正交歸一基第10頁/共44頁11Hamilton力學(xué)的辛結(jié)構(gòu)第11頁/共44頁12正則變換的辛結(jié)構(gòu)正則變量從變換到記為：即：M辛變換：第12頁/共44頁13正則變換M的性質(zhì)第13頁/共44頁14無窮小辛陣定義：若，則該2n階矩陣稱為“無窮小辛陣”設(shè)為對稱陣，當(dāng)且僅當(dāng)時，為無窮小辛陣。（證明略）若為無窮小辛陣，則為辛陣。若為無窮小辛陣，又若非奇異，則為辛陣第14頁/共44頁15辛陣2、當(dāng)且僅當(dāng)和，則、都為辛陣3、是辛陣4、當(dāng)且僅當(dāng)，則是辛陣5、當(dāng)且僅當(dāng)和，則是辛陣1、是辛陣的充要條件：第15頁/共44頁16線性Hamilton體系的辛差分格式線性Hamilton體系——Hamilton函數(shù)是的二次型且其中為無窮小辛陣為辛陣積分第16頁/共44頁17第17頁/共44頁18中點Euler法的辛格式h

為時間步長因為為無窮小辛陣，且非奇異即，故步進算符為辛陣，故為辛格式。第18頁/共44頁19可分、線性Hamilton體系的中點Euler公式

——“可分、線性Hamilton體系”第19頁/共44頁20Euler中點法演繹見后頁第20頁/共44頁21演繹細(xì)節(jié)：第21頁/共44頁22前面我們已經(jīng)證明了是辛陣，所以上面算法是辛格式。第22頁/共44頁23基于Padé逼近的辛格式線性Hamilton體系相流有理Padé逼近：稱為“l(fā)+m階對ex的Padé逼近”即可分體系：第23頁/共44頁24用以下構(gòu)造的差分格式都是辛格式*：“(1,1)逼近”，就是Euler中點格式。精度2階4階6階8階第24頁/共44頁25可分線性Hamilton體系的交叉顯式辛格式差分第25頁/共44頁26當(dāng)且僅當(dāng)和時,和都為辛陣。當(dāng)且僅當(dāng)，則是辛陣?，F(xiàn)在是，所以也是辛陣。故為辛格式。第26頁/共44頁27演繹細(xì)節(jié)：第27頁/共44頁28可分線性Hamilton體系的交叉顯式辛格式差分h：時間步長第28頁/共44頁29驗證：驗證完畢第29頁/共44頁30實例1－諧振子的相空間軌跡

(a)Runge-Kutta法

3000步，步長0.4。人為耗散，軌道收縮(b)Adams法

步長0.2。人為反耗散，軌道發(fā)散(c)蛙跳法

*步，步長0.1。初、中、末各取三段1000步的結(jié)果完全吻合第30頁/共44頁31實例2－非諧振子的相空間軌跡（a）與（b）為同一個蛙跳法模擬的分段取樣結(jié)果(c)二階辛算法1000步.初、中、末三段結(jié)果完全吻合最初1000步軌道失真第9000－10000步軌道繼續(xù)失真*：蛙跳法即二步中心差分法，它對于非線性方程不是辛算法第31頁/共44頁32實例3－Huygens振子

(a)Runge-Kutta法

步長0.10000005；9x105步。趨于左吸引子

(b)Runge-Kutta法

步長0.10000004；9x105步。趨于右吸引子

(c)二階辛算法4條軌道，每條各108步；步長0.1每條軌道的初、中、末各取三段500步的結(jié)果完全吻合。具有超長期跟蹤能力

位于雙紐線之外的任意初始相點趨于左右兩個假吸引子的幾率相同。第32頁/共44頁33實例4－橢球面上的測地線

(a)Runge-Kutta法軌道不趨稠密步長0.05658，104步頻率比：(b)辛算法軌道趨于趨稠密無理數(shù)第33頁/共44頁34實例5－橢球面上的測地線步長0.033427，105步周期：25頻率比：11/16有理數(shù)(a)Runge-Kutta法軌道不封閉(b)辛算法軌道封閉第34頁/共44頁35實例6－Kepler軌道當(dāng)頻率比為有理數(shù)時，應(yīng)當(dāng)形成封閉軌道步長0.01605，2.5x105步頻率比：11/20有理數(shù)(a)Runge-Kutta法軌道不封閉(b)辛算法軌道封閉第35頁/共44頁36實例7－Li2分子的經(jīng)典軌跡法設(shè)原子位置折合質(zhì)量廣義位置廣義動量動能勢能取Morse勢Hamiltian量第36頁/共44頁37Li2分子的經(jīng)典軌跡的正則方程Li2分子態(tài)的參數(shù)：，?，

?-1。設(shè)初態(tài)為：步長0.005。第37頁/共44頁381.振幅、周期(a)辛算法：長達106步時還保持振幅恒定，周期性恒定。(b)Runge-Kutta法：5000步之后振幅變小、周期變短第38頁/共44頁392.相空間軌跡(a)辛算法：長達106步時還保持總能量恒定、相空間軌跡穩(wěn)定、。(b)Runge-Kutta法：104步之后總能量急劇下降；相空間軌跡沿q方向收縮，5

104步時已經(jīng)面目全非。第39頁/共44頁40實例說明：8種實例：簡諧振子、Duffing振子（非線性振子）Huygens振子、Cassini振子、二維多晶格與準(zhǔn)晶格定常流、Lissajous圖形、橢球面測地線流、Kepler運動。說明了在整體性、結(jié)構(gòu)性和長期跟蹤能力上辛算法的優(yōu)越性。一切傳統(tǒng)非辛算法，無論精度高低均無例外地全然失效。一切辛算法無論精度高低均無例外地過關(guān)，均具有長期穩(wěn)健的跟蹤能力。顯示了壓倒性的優(yōu)越性。第40頁/共44頁41Hamilton體系的守恒律辛算法保持了Hamilton體系具有的兩個守恒律：

1、相空間體積的不變性

——Liouville-Poincaré守恒律

2、運動不變量：如能量、動量、角動量的守恒辛算法能夠在數(shù)值計算中保持辛變換的結(jié)構(gòu)，于是就會得到高的穩(wěn)定性。辛算法的差分方法被認(rèn)為是目前最穩(wěn)定、高效的計算方法。最適合用于經(jīng)典力學(xué)體系。辛算法不含人為耗散性，先天性地免于一切非哈污染，是“干凈”的算法。第4