新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 北京卷押題練習(xí) 第19題 圓錐曲線解答題（解析版）

圓錐曲線解答題核心考點(diǎn)考情統(tǒng)計(jì)考向預(yù)測(cè)備考策略橢圓方程，直線斜率2023·北京卷T19可以預(yù)測(cè)2024年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)以橢圓為背景展開命題．圓錐曲線大題難度較難，縱觀近幾年的新高考試題，主要以橢圓為背景考查斜率及面積問(wèn)題、方程求解及探究問(wèn)題、證明問(wèn)題、范圍問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是高考沖刺復(fù)習(xí)的重點(diǎn)復(fù)習(xí)內(nèi)容。橢圓方程，證明問(wèn)題2022·北京卷T19橢圓方程，范圍問(wèn)題2021·北京卷T201.（2023·北京卷T19）已知橢圓SKIPIF1<0的一個(gè)頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，焦距為SKIPIF1<0．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求k的值．【解】（1）解：依題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0；（2）解：依題意過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<02.（2022·北京卷T19）．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【解】（1）依題意，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0分別為橢圓上下頂點(diǎn)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）因?yàn)闄E圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為第一象限SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

易得SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，顯然，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不重合，所以SKIPIF1<0.3.（2021·北京卷T20）已知橢圓SKIPIF1<0一個(gè)頂點(diǎn)SKIPIF1<0，以橢圓SKIPIF1<0的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為SKIPIF1<0．（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交SKIPIF1<0交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時(shí)，求k的取值范圍．【解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€SKIPIF1<0的斜率存在，故SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0.直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.1.利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算SKIPIF1<0；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解2.若直線SKIPIF1<0與圓雉曲線相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，由直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得到SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）則：SKIPIF1<0則：弦長(zhǎng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0處理定點(diǎn)問(wèn)題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為SKIPIF1<0），（2）利用條件找到SKIPIF1<0與過(guò)定點(diǎn)的曲線SKIPIF1<0的聯(lián)系，得到有關(guān)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)SKIPIF1<0，使得無(wú)論SKIPIF1<0的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等式進(jìn)行變形，直至找到SKIPIF1<0，①若等式的形式為整式，則考慮將含SKIPIF1<0的式子歸為一組，變形為“SKIPIF1<0”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去SKIPIF1<0變?yōu)槌?shù).處理定值問(wèn)題的思路：聯(lián)立方程，用韋達(dá)定理得到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0）的形式，代入方程和原式化簡(jiǎn)即可.1．已知橢圓SKIPIF1<0的左頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，上、下頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程及離心率；(2)SKIPIF1<0是橢圓上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，SKIPIF1<0是點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對(duì)稱點(diǎn)．過(guò)SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0軸的直線交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，再過(guò)SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0軸的直線交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0的大小．【解】（1）因?yàn)橹本€SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0，離心率SKIPIF1<0（2）依題意，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且點(diǎn)SKIPIF1<0是橢圓上一點(diǎn)，可得SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0的傾斜角是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．已知橢圓SKIPIF1<0的一個(gè)頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0為原點(diǎn)．直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)（SKIPIF1<0不是橢圓的頂點(diǎn)），SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【解】（1）由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）由題意可知直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)其方程為SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱，所以SKIPIF1<0．.3．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的上、下頂點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0為第二象限內(nèi)SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解】（1）由題設(shè)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）因?yàn)闄E圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)并整理得，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0

得SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0

得SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．4．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且不與坐標(biāo)軸垂直的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，過(guò)SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0軸的垂線，垂足為點(diǎn)SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)在某條定直線上，并求該定直線的方程.【解】（1）由題可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0；解得SKIPIF1<0；故橢圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0.（2）設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，根據(jù)題意，作圖如下：由題可知，直線SKIPIF1<0的斜率存在，又過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，故設(shè)其方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，顯然其SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0兩點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0都垂直于SKIPIF1<0軸，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程為：SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0方程可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，也即直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)在定直線SKIPIF1<0上.5．已知橢圓SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)直線SKIPIF1<0分別交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0面積的最大值.【解】（1）SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在橢圓上

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0.所以，橢圓方程為SKIPIF1<0.（2）由已知直線SKIPIF1<0的斜率存在.設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0又中點(diǎn)在直線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0

即SKIPIF1<0，將之代入①得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．6．橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0.(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)F且斜率為1的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，P是直線x=4上任意一點(diǎn).求證：直線PM，PF，PN的斜率成等差數(shù)列.【解】（1）由題意可得c=1，e=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，解得a=2，b=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則橢圓C的方程為SKIPIF1<0；（2）

證明：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意可得直線MN的方程為SKIPIF1<0，代入橢圓方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，則kPM+kPN=2kPF，則直線PM，PF，PN的斜率成等差數(shù)列.7．橢圓E：SKIPIF1<0焦距SKIPIF1<0，且過(guò)點(diǎn)(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率，(2)橢圓右頂點(diǎn)A，過(guò)(0,2)的直線交橢圓E于P，Q，其中P，Q不與頂點(diǎn)重合，直線AP，AQ分別與SKIPIF1<0交于C，D，SKIPIF1<0與x軸交點(diǎn)為B，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求直線PQ斜率．【解】（1）由題設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程SKIPIF1<0，離心率SKIPIF1<0.（2）由題意，直線SKIPIF1<0斜率一定存在且不為0，設(shè)直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，由于P，Q不與頂點(diǎn)重合，則SKIPIF1<0，聯(lián)立橢圓并整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0無(wú)解；綜上，SKIPIF1<0.8．已知橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0不同的兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：以SKIPIF1<0為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．【解】（1）由題可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由題可知SKIPIF1<0，

聯(lián)立SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直徑的圓方程為，SKIPIF1<0，由坐標(biāo)表示可猜測(cè)得頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線SKIPIF1<0上，猜測(cè)定點(diǎn)SKIPIF1<0，驗(yàn)證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理，SKIPIF1<0因此以SKIPIF1<0為直徑的圓，恒過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0．9．已知橢圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，且右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)（不與SKIPIF1<0重合），直線SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，N.當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：以SKIPIF1<0為直徑的圓截SKIPIF1<0軸所得的弦長(zhǎng)為定值.【解】（1）由題意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)橛医裹c(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，直線分別與SKIPIF1<0相交，可得SKIPIF1<0，設(shè)以SKIPIF1<0為直徑的圓與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在橢圓上可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入上式可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即以SKIPIF1<0為直徑的圓過(guò)SKIPIF1<0軸上的定點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0為直徑的圓截SKIPIF1<0軸所得的弦長(zhǎng)SKIPIF1<0為定值.10．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0的直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為弦SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是坐標(biāo)原點(diǎn)，且由于SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0