第4章 實(shí)數(shù)全章復(fù)習(xí)與測試（原卷版）-八年級數(shù)學(xué)

第4章實(shí)數(shù)全章復(fù)習(xí)與測試1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根，會用計(jì)算器求平方根和立方根.3.了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)大為實(shí)數(shù)后，概念、運(yùn)算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍.一．近似數(shù)和有效數(shù)字（1）有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字．（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法．（3）規(guī)律方法總結(jié)：“精確到第幾位”和“有幾個(gè)有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實(shí)際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個(gè)近似數(shù)中哪個(gè)相對更精確一些．二．平方根（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根．（2）求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方．一個(gè)正數(shù)a的正的平方根表示為“”，負(fù)的平方根表示為“﹣”．正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作．零的算術(shù)平方根仍舊是零．平方根和立方根的性質(zhì)1．平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．2．立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0．三．算術(shù)平方根（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為．（2）非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根a本身是非負(fù)數(shù)．（3）求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，可以借助乘方運(yùn)算來尋找．四．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（1）非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有非負(fù)性．（2）利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，開方的結(jié)果也是非負(fù)數(shù)列出不等式求解．非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值問題．五．立方根（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．（3）求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．注意：符號a3中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一一個(gè)立方根．【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)1．平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．2．立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0．六．計(jì)算器—數(shù)的開方正數(shù)a的算術(shù)平方根a與被開方數(shù)a的變化規(guī)律是：當(dāng)被開方數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)每向左或向右平移2位時(shí)，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)也相應(yīng)向左或向右平移1位，即a每擴(kuò)大（或縮?。?00倍，a相應(yīng)擴(kuò)大（或縮?。?0倍．七．無理數(shù)（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．說明：無理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，13＝0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2＝1.414213562．②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．（3）學(xué)習(xí)要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分?jǐn)?shù)π2是無理數(shù)，因?yàn)棣惺菬o理數(shù)．無理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如等．（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）．（3）含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．注意：判斷一個(gè)數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果．如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．八．實(shí)數(shù)（1）實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)．（2）實(shí)數(shù)的分類：實(shí)數(shù)：或?qū)崝?shù)：九．實(shí)數(shù)的性質(zhì)（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣．實(shí)數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．（2）實(shí)數(shù)的絕對值：正實(shí)數(shù)a的絕對值是它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．（3）實(shí)數(shù)a的絕對值可表示為|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是說實(shí)數(shù)a的絕對值一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），則x＝±a．實(shí)數(shù)的倒數(shù)乘積為1的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab＝1；反之，若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)，這里應(yīng)特別注意的是0沒有倒數(shù)．十．實(shí)數(shù)與數(shù)軸（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)關(guān)系．任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．?dāng)?shù)軸上的任一點(diǎn)表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，并且兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，實(shí)數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對值大的反而?。唬畬?shí)數(shù)大小比較實(shí)數(shù)大小比較（1）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小．正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)比大小，絕對值大的反而小．（2）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對值大的反而小．十二．估算無理數(shù)的大小估算無理數(shù)大小要用逼近法．思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．十三．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方．（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”1．運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對值的化簡等．2．運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算．3．運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．一．近似數(shù)和有效數(shù)字（共4小題）1．（2022秋?丹徒區(qū)期末）小亮的體重為44.85kg，若將體重精確到1kg，則小亮的體重約為kg．2．（2022秋?邗江區(qū)校級期末）用四舍五入法得到的近似數(shù)為3.59萬，精確到位．3．（2022秋?常州期末）用四舍五入法把圓周率π＝3.1415926…精確到千分位得到的近似值是（）A．3.141 B．3.142 C．3.1415 D．3.14164．（2022秋?宿豫區(qū)期末）已知小明的身高為1.74m，若精確到0.1m，則小明的身高為．二．平方根（共3小題）5．（2022秋?泗陽縣期末）16的平方根是（）A．4 B．±4 C．2 D．±26．（2023?沛縣三模）64的平方根是．7．（2022秋?常州期末）已知2（x﹣1）2＝18，求x的值．三．算術(shù)平方根（共2小題）8．（2022秋?玄武區(qū)期末）13的平方根是；9的算術(shù)平方根是．9．（2023?淮陰區(qū)模擬）計(jì)算：＝．四．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（共2小題）10．（2022秋?高郵市期末）若與（ab+6）2互為相反數(shù)，則a﹣b的值為．11．（2022秋?大豐區(qū)期末）若+（1﹣y）2＝0，則xy的平方根＝．五．立方根（共6小題）12．（2022秋?蘇州期末）若a3＝1，則a的值為（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．013．（2022秋?無錫期末）求下列各式中的x：（1）4x2＝25；（2）（x﹣1）3＝8．14．（2022秋?無錫期末）已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別為a和2a﹣6．（1）求a的值，并求這個(gè)正數(shù)；（2）求10a+7的立方根．15．（2022秋?高新區(qū)校級月考）已知2x+3的算術(shù)平方根是5，5x+y+2的立方根是3，求x﹣2y+10的平方根．16．（2021秋?東臺市月考）已知：3x+y+7的立方根是3，25的算術(shù)平方根是2x﹣y，求：（1）x、y的值；（2）x2+y2的平方根．17．（2022秋?亭湖區(qū)期末）（1）已知某數(shù)的平方根是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，求﹣b﹣a的平方根．（2）已知y＝+﹣8，求的值．六．無理數(shù)（共2小題）18．（2022秋?泗陽縣期末）下列實(shí)數(shù)0，，π，，其中無理數(shù)共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)19．（2022秋?溧水區(qū)期末）在實(shí)數(shù)0，，π，，，中，無理數(shù)有個(gè)．七．實(shí)數(shù)與數(shù)軸（共1小題）20．（2022秋?大豐區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是（）A．﹣1 B． C．+1 D．﹣1八．實(shí)數(shù)大小比較（共2小題）21．（2023?揚(yáng)州）已知a＝，b＝2，c＝，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a22．（2022秋?秦淮區(qū)期末）比較大?。海ㄌ睢埃尽薄ⅰ埃肌被颉埃健保牛浪銦o理數(shù)的大?。ü?小題）23．（2022秋?泗陽縣期末）設(shè)n為正整數(shù)，且n＜＜n+1，則n的值為．24．（2022秋?蘇州期末）下列整數(shù)中，與最接近的是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．225．（2022秋?溧水區(qū)期末）估計(jì)﹣1的值在（）A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間26．（2022秋?興化市校級期末）材料1：2.5的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是0.5，小數(shù)部分可以看成是2.5﹣2得來的，類比來看，是無理數(shù)，而1＜＜2，所以的整數(shù)部分是1，于是可用﹣1來表示的小數(shù)部分．材料2：若10﹣＝a+b，則有理數(shù)部分相等，無理數(shù)部分也相等，即a，b要滿足a＝10，b＝﹣．根據(jù)以上材料，完成下列問題：（1）的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；（2）3+也是夾在相鄰兩個(gè)整數(shù)之間的，可以表示為a＜3+＜b，求a+b的算術(shù)平方根．一十．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（共3小題）27．（2023?蘇州）計(jì)算：|﹣2|﹣+32．28．（2023?海州區(qū)二模）計(jì)算：．29．（2022秋?常州期末）計(jì)算：．一．選擇題（共10小題，滿分27分）1．對于任意不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算※如下：a※b＝；例如3※2＝＝．那么5※7等于（）A． B．﹣4 C． D．﹣32．（3分）在實(shí)數(shù)﹣，0，，﹣3.14，，，﹣0.1010010001…（每兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0），（π﹣3.14）0這8個(gè)實(shí)數(shù)中，無理數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（3分）下列線段中，a＝5，b＝6，c＝3，d＝4，選擇其中的三條能構(gòu)成直角三角形的是（）A．a(chǎn)，b，c B．b，c，d C．a(chǎn)，c，d D．a(chǎn)，b，d4．（3分）若a，b為實(shí)數(shù)，且|a+1|+＝0，則﹣（﹣ab）2018的值是（）A．1 B．2018 C．﹣1 D．﹣20185．（3分）已知是二元一次方程組的解，則的算術(shù)平方根（）A．±2 B．2 C．4 D．6．（3分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．|a|＜|b| B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＜﹣b D．|a|＞|b|7．（3分）的算術(shù)平方根是（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣28．（3分）如圖，已知由16個(gè)邊長為1的小正方形拼成的圖案中，有五條線段PA，PB，PC，PD，PE，其中長度是無理數(shù)的有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條9．（3分）將一根長為17cm的筷子，置于內(nèi)徑為6cm高為8cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為xcm，則x的取值范圍是（）A．6≤x≤8 B．7≤x≤9 C．8≤x≤10 D．9≤x≤1110．（3分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上表示如圖，則（）A．a(chǎn)﹣b＜0 B．|a|＜|b| C．a(chǎn)+b＞0 D．a(chǎn)2b＜0二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．（3分）8的立方根為x，4是y+1的一個(gè)平方根，則x﹣y＝．12．（3分）320000精確到千位應(yīng)記為；1.02×105有個(gè)有效數(shù)字；5.204保留三個(gè)有效數(shù)字應(yīng)記為．13．（3分）估計(jì)的大小約等于（誤差小于1）．14．（3分）在下列數(shù)中：．有理數(shù)是；無理數(shù)是．15．（3分）數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，B點(diǎn)表示的數(shù)是1，C點(diǎn)表示的數(shù)是，且AB＝BC，則A點(diǎn)表示的數(shù)是．16．（3分）數(shù)軸上，表示﹣的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離是．17．（3分）定義：如圖，點(diǎn)P、Q把線段AB分割成線段AP、PQ和BQ，若以AP、PQ、BQ為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)P、Q是線段AB的勾股分割點(diǎn)．已知點(diǎn)P、Q是線段AB的勾股分割點(diǎn)，如果AP＝8，PQ＝12（PQ＞BQ），那么BQ＝．18．（3分）附加題：已知等腰三角形腰長為10，一腰上的高為6，則以