2024-2025學年九年級數(shù)學上學期期中試題分類匯編：圓（解析版）

專題04圓

垂徑定理

優(yōu)

涉及?閩角定量的H明與“■?

?

EI?小?升

,

6$的*號慢屆

貨長與■形面用的計，

1.（2023秋?綏陽縣期中）如圖，。。的半徑為10,弦AB=16,點M是弦AB上的動點且點M不與點A、

2重合，若OM的長為整數(shù)，則這樣的點M有幾個？（）

B.5C.7D.9

【分析】過點O作OPLAB于點P,連接。4,根據(jù)垂徑定理及勾股定理求出OP=6,根據(jù)兩點間的距

離推出OM可取6,7,8,9,據(jù)此即可得解.

【解答】解：如圖，過點。作。尸，A8于點P,連接OA,

;弦AB=16,

：.AP=1.AB=8,

2

VOA=10,

=22

；?0PVOA-AP=6，

：.OM的最短距離為OP,最長距離為OA,

:點M是弦AB上的動點且點M不與點A、8重合,

.?.6WOMC10,

：。河的長為整數(shù)，

可取6,7,8,9,

即這樣的點M有7個，

故選：C.

2.（2023秋?黔南州期末）如圖，AB是。。的直徑，弦于點E.若48=10,C￡>=8,則AE的長

為（）

A.3B.6C.8D.9

【分析】連接OC,利用勾股定理求出。E,可得結(jié)論.

【解答】解：連接。C.

'：AB±CD,

：.CE=ED=1CD=4,

2

22

???°E=Voc2-CE2=VS-4=3'

AE=AO+OE—5+3=8,

故選：C.

3.（2023秋?凱里市校級月考）如圖，CD是。。的直徑，弦A8垂直C。于點E,連接AC,BC,AD,BD,

則下列結(jié)論不一定的是（）

A.AE=BEB.CE=OEC.AC=BCD.AD=BD

【分析】根據(jù)垂徑定理對各選項進行逐一分析即可.

【解答】解：CD是。。的直徑，弦AB垂直C。于點E,

:.AE=BE,弧4。=弧8（7,弧A￡）=弧2￡>,

：.AC=BC,AD=BD,

而CE=OE不一定成立,

故選：B.

4.（2023?遵義三模）在半徑為r的圓中，弦8C垂直平分若2C=6,則r的值是（）

A.V3B.3V3C.2V3D.^[1.

2

【分析】設OA交BC于點如圖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到。。=工廠，根據(jù)垂徑定理得到2。

2

=3,則利用勾股定理得到（工廠）2+32=r,然后解方程即可.

2

【解答】解：設OA交BC于點D如圖，

垂直平分。4,

：.OD=l-r,BD=CD=LBC=3,

22

在RtZ^OB。中，（工廠）2+32=^,

2

解得廠1=2百，n=-2-73（舍去）,

即r的值為2近.

故選：C.

5.（2023?仁懷市模擬）如圖，點A、B、C三點在。0上，點。為弦A5的中點，AB=8cm,CD=6cm,則

0D=()

c

A.—cmB.—cmC.—cmD.-^-cm

3333

【分析】連接04設0A=r(cm),根據(jù)CO的長計算出的長，根據(jù)點。為弦的中點，。為圓

心得到OD_LAB,從而求出4D的長，在RtZXAOO中利用勾股定理求出r的值，即可求出。。的長.

【解答】解：連接

設OA=r(cm),

則OC=OA=r(cm),

:點D為弦AB的中點，。為圓心，

：.OD1AB,

\"AB=8(cm),

.".AD—BD—4(cm),

'：CD=6(cm),

：.0D=CD-OC=(6-r)(cm),

在RtAAOD中，由勾股定理得O^^OCr+AD2,

：.r=(6-r)2+42,

解得r以③，

r3

0D《(cm),

故選：B.

C

［產(chǎn)型。2|圓周角定理

1.(2023秋?綏陽縣期中)如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，ZBAC=35°,則N20C的度數(shù)為()

A.60°B.65°C.70°D.75°

【分析】根據(jù)圓周角定理計算即可.

【解答】解：??,NA4c=35°,

AZBOC=2ZBAC=2X35°=70°.

故選：C.

2.（2023秋?盤州市期中）如圖，在。。中，半徑。4垂直弦5。于點D若NAC8=33°,則N03C的大

小為（）

A.24°B.33°C.34°D.66°

【分析】根據(jù)圓周角定理得到NAO5=2NACB=66°,然后根據(jù)互余計算N05C的大小.

【解答】VOAXBC,

：.ZODB=90°,

VZACB=3V,

AZAOB=2ZACB=66°,

：.ZOBC=90°-ZAOB=24°.

故選：A.

3.（2023秋?紅花崗區(qū)期中）如圖，A3是。。的直徑，NB=30°,AC=1,則A3的長為（）

C.2V3D.3

【分析】由A8是。。的直徑可得/C=90°,由/8=30°可得AB=2AC=2.

【解答】解：??,A5是。。的直徑,

：.ZC=90°,

VZB=30°,AC=lf

：.AB=2AC=2.

故選：B.

圓的內(nèi)接四邊形

1.（2023秋?盤州市期中）如圖，四邊形A8CD是圓內(nèi)接四邊形，石是延長線上一點，若NAW=105°,

則NDCE的大小是105°.

【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NOC8的度數(shù)，再由兩角互補的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：???四邊形A5CO是圓內(nèi)接四邊形，

：.ZDAB+ZDCB=ISO°,

VZBAD=105°,

：.ZDCB=l80°-ZDAB=180°-105°=75°,

9：ZDCB+ZDCE=1SO°,

：.ZDCE=ZDAB=W5°.

故答案為：105。

2.（2023秋?關(guān)嶺縣期末）如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，若NA=110°,則NBOQ的度數(shù)為

【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NC的度數(shù)，再由圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，ZA=110°,

.".ZC=180°-110°=70°,

：.ZBOD=2ZC=140°.

故選：D.

3.（2024?息烽縣一模）如圖，四邊形A5CD是。。的內(nèi)接四邊形，延長3C到點E,則NA與NOCE的數(shù)

量關(guān)系一定成立的是（）

C.NA+N0CE=9O°D.ZA>ZDCE

【分析】根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”及鄰補角定義求解即可.

【解答】解：???四邊形ABCZ）是。。的內(nèi)接四邊形，

ZA+ZZ）CB=180°,

VZDCB+ZDCE=180°,

???NA=NDCE,

故選：A.

4.（2024?金沙縣一模）如圖，NDCE是。0內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，若NQCE=80°,那么N50Z）

的度數(shù)為（）

A

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得NDCE=NA,在根據(jù)圓周角定理求出N8OO即可.

【解答】解：?：ZDCE+ZBCD=180°，ZA+ZBCD=180°，

：.NA=NDCE,

VZZ)CE=80°,

???NA=80°,

：.ZBOD^160°.

故選：A.

A

[題型04]三角形的外接圓與外心

1.（2023秋?綏陽縣期末）在△ABC中，NC=90°,AC=1,BC=2,M是A2的中點，以點C為圓心，1

為半徑作（DC,則（）

A.點M在OC外B.點M在OC上C.點M在OC內(nèi)D.不能確定

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由勾股定理求出48的長，再由直角三角形的性質(zhì)得出的長，再與OC

的半徑相比較即可.

【解答】解：如圖，

:在△ABC中，ZC=90°,AC=1,BC=2,

AB=VAC2+BC2=Vl2+22=遍?

是AB的中點，

.-.CM=AAB=^_>I,

22

...點M在OC外.

故選：A.

2.（2023秋?遵義期末）如圖，OO是的外接圓，0ULA5,連接OB.若N5OC=50°,則NAP5

的度數(shù)是（）

C

A.45°B.50°C.55°D.60°

【分析】連接。A,如圖，先根據(jù)垂徑定理得到會=前，則利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到NAOC=/

BOC,從而得到/AO3的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理求解.

【解答】解:連接。4,如圖，

OC±AB,

?*.AC=BC-

ZAOC=ZBOC,

：.ZAOB=2ZBOC=2X50°=100°,

AZAPB=AZAOB=50°.

2

故選：B.

P

3.（2024?遵義二模）如圖，已知點。是△ABC的外心，連接。4,OB,OC,若Nl=40°,則N8AC的度

數(shù)為（）

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)果.

【解答】解：?.?點。為△A3。的外心，

JOB=OC,

AZOCB=Z1=40°,

：.ZBOC=1SO°-40°-40°=100°,

4c=/NBOC=50°,

故選：D.

4.（2023?鐘山區(qū)一模）如圖，△ABC和△BCD內(nèi)接于OO,AC與相交于點￡.若AB〃CD,NA=43

則乙BEC的度數(shù)為86°

【分析】根據(jù)圓周角定理和平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：?；NA=43°,

.*.Z￡）=ZA=43O,

,JAB//CD,

：.AABD=ZD=^°,

AZBEC=ZA+ZABD^86°,

故答案為：86°.

5.（2023秋?黔東南州期末）如圖，是△A3C的外接圓，A。是。。的直徑，AOL2C于點E.

（1）求證：ZBAD=ZCAD；

（2）連接8。并延長，交O。于點G,連接GC,若OE=3,求GC的長.

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理進行判斷即可；

（2）根據(jù)垂徑定理得出點E為BC的中點，根據(jù)點。是BG的中點，得出0E,CG，即可求出結(jié)果?

【解答】（1）證明：是。。的直徑，ADLBC,

?.BD=CD-

:.NBAD=NCAD；

（2）解：根據(jù)題意，如圖所示:

B

0/

*

GC

是OO的直徑，AD±BC,

.?.點E為8c的中點，

:點。是BG的中點，

.1

??OE-^-CG

：OE=3,

：.CG=6.

\題型05切線的性質(zhì)

1

1.（2023秋?紅花崗區(qū)期中）如圖，A8是。。的直徑，8C是。。的切線，連接AC交。。于點。，連接BD,

若/C2Z）=28°,則NA的度數(shù)為（

C.28°D.14°

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：是。。的直徑，BC是。。的切線,

ZABC=ZADB=90°,

VZCBD=28°,

480=90°-28°=62°,

ZA=90°-ZABD=90°-62°=28°,

故選：C.

2.（2023秋?關(guān)嶺縣期末）如圖，將量角器和含30°角的一塊直角三角板緊靠著放在同一平面內(nèi)，使。、C、

B在一條直線上，且DC=2BC,過點A作量角器圓弧所在圓的切線，切點為E,則NEAC的度數(shù)是（）

【分析】設半圓的圓心為。，連接。A,由題意易得AC是線段。3的垂直平分線，即可求得NAOC=N

ABC=60°,又由AE是切線，證明RtZkAOE也RtZXA。。，繼而求得NAOE的度數(shù)，則可求得答案.

【解答】解：設半圓的圓心為O,連接。4,

:.OC=BC,

VZACB=90°,BPAC.LOB.

：.OA=BAf

ZAOC=ZABC9

VZBAC=30°,

ZAOC=ZABC=60°,

TAE是切線，

ZAEO=90°,

AZAEO=ZACO=90°,

在RtAAOE和RtAAOC中,

fOA=OA?

lOE=OC，

ARtAAOE^RtAAOC（HL）,

：.ZAOE=ZAOC=60°,

：.ZCAE=360°-90°-90°-ZAOE-ZAOC=60°.

故選：A.

3.（2023秋?凱里市校級月考）如圖，BC是。0的切線，點3是切點，連接。。交。。于點。，延長CO

交。。于點A,連接AB,若NC=30°,OD=2,則A3的長為（）

372C.273D.373

【分析】連接。&DB,由A。是。。的直徑，得NA8Z)=90°,AD=2OD=4,由切線的性質(zhì)得NOBC

=90°,而NC=30°,則NBOC=60°,所以△20。是等邊三角形，貝1|BD=OD=2,所以AB

VAD2-BD2=2V3.于是得到問題的答案.

【解答】解：連接。3、DB,則08=00=2,

是O。的直徑，

AZABD=90°,AD=2OD=4,

與。。相切于點2,

：.BCLOB,

.../08C=90°,

VZC=30°,

：.ZBOC=60°,

...△80。是等邊三角形，

:.BD=OD=2,

AB=22

-VAD-BD=>/42-22=2a，

故選：c.

4.（2023秋?黔南州期末）如圖，PA,PB與O。分別相切于點A,B,E4=2,/尸=60°則A8=(

A.V3B.2C.2^3D.3

【分析】先判斷出以=尸8,進而判斷出是等邊三角形，即可得出結(jié)論.

【解答】解：：以，P8與。。分別相切于點A,B,

J.PA^PB,VZAPB=60°,

**?/\PAB是等邊三角形，

：.AB=AP=2.

故選：B.

A

!題型06|正多邊形與圓

1.（2024?黔南州一模）如圖，正六邊形A8COEE內(nèi)接于OO,P為金上的一點（點P不與點A,8重合）,

【分析】根據(jù)正六邊形和圓的性質(zhì)求出其中心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理進行計算即可.

【解答】解:如圖，連接OE,OD,OC,

:正六邊形ABCDE廠內(nèi)接于O。，

AZCOD=ZDOE=^.—=60°,

6

：.ZCOE=6Q°X2=120°,

ZCPE=1ZCOE=60Q,

2

2.（2024?榕江縣校級二模）如圖，正五邊形A8CDE內(nèi)接于。。，連接AC,則NBAC的度數(shù)是（）

A.45°B.38°C.36°D.30°

【分析】由正五邊形的性質(zhì)可知△ABC是等腰三角形，求出的度數(shù)即可解決問題.

【解答】解：在正五邊形中，ZB=AX（5-2）X180=108°,AB=BC,

5

：.ZBAC=ZBCA=1.（180°-108°）=36°.

2

故選：C.

3.（2024?榕江縣校級二模）如圖，正六邊形ABCDEE的邊CD,與OO相切于點C,F,連接。凡CO,

則/C。尸的度數(shù)是（）

A.120°B.144°C.150°D.160°

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可求出各個內(nèi)角的度數(shù)，由切線的性質(zhì)以及五邊形內(nèi)角和的計算方法即可

求出答案.

【解答】解：?.,正六邊形ABC。跖的邊CD,即與OO相切于點C,F,

：.ZOFE^9Q°=NOCD,

,：六邊形ABCDEF是正六邊形，

.,./￡>=/￡=（6-2）><[80。=120。,

6

在五邊形OCDEF中,

NCOF=（5-2）X180°-90°X2-120°X2=120°,

故選：A.

4.（2024?仁懷市模擬）如圖，若干個全等的正五邊形排成環(huán)狀，圖中所示的是前3個正五邊形，要完成這

一圓環(huán)還需正五邊形的個數(shù)為（)

o.

A.10B.9C.8D.7

【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式"-2）780。求出正五邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)，再延長五邊形的

兩邊相交于一點，并根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出這個角的度數(shù)，然后根據(jù)周角等于3600求出完成這一圓

環(huán)需要的正五邊形的個數(shù)，然后減去3即可得解.

【解答】解：；五邊形的內(nèi)角和為（5-2）-180°=540°,

正五邊形的每一個內(nèi)角為540°+5=108°,

如圖，延長正五邊形的兩邊相交于點。，

則Nl=360°-108°X3=360°-324°=36°,

360°+36°=10,

已經(jīng)有3個五邊形，

；.10-3=7,

即完成這一圓環(huán)還需7個五邊形.

故選：D.

!產(chǎn)型07|弧長與扇形的面積計算

1.（2022?云巖區(qū)一模）制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料.試計算如圖所示的管

道的展直長度，即意的長為（）

A.300nmmB.60nmmC.40irmmD.20irmm

【分析】根據(jù)弧長公式進行計算即可.弧長公式：/=亞耳（弧長為/,圓心角度數(shù)為“，圓的半徑為R）.

180

【解答】解：篇的長為12°.冬Q.=20Tt（mm）.

180

故選：D.

2.（2024?從江縣校級二模）將一個半徑為1的圓形紙片，按如圖所示的方式連續(xù)對折三次之后，用剪刀沿

虛線①剪開，則虛線①所對的圓弧長為（）

432

【分析】利用折疊的性質(zhì)求出虛線①所對的圓弧對的圓心角的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式計算.

【解答】解：根據(jù)題意，虛線①所對的圓弧對的圓心角為360°xlxlxl=45°,

222

所以虛線①所對的圓弧長=454冗x1=2L.

1804

故選：A.

3.（2024?貴州）如圖，在扇形紙扇中，若乙4。8=150°,。4=24,則窟的長為（）

A.30-rtB.25nC.20nD.10TT

【分析】根據(jù)弧長的計算公式即可解決問題.

【解答】解：因為NAOB=150°,04=24,

所以窟的長為：150?兀?24

1804

故選：C.

4.（2023秋?紅花崗區(qū)校級期中）若扇形的半徑是12c機弧長是20何加，則扇形的面積為（）

A.1207tan2B.240itcm2C.360TTC/M2D.60ircm2

【分析】根據(jù)扇形的面積公式S,lr，計算即可.

【解答】解：該扇形的面積為：s』x20兀X12=120兀

故選：A.

5.（2023秋?關(guān)嶺縣期末）中國美食講究色香味美，優(yōu)雅的擺盤也會讓美食錦上添花，如圖①中的擺盤，其

形狀是扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖（陰影部分為擺盤），通過測量得到AC=3O=10c/n,OC=

OD=3cm,圓心角為60°,則圖②中擺盤的面積是（）

336

【分析】根據(jù)5陰=5扇形OAB-S扇形。CD,求解即可.

【解答】解：'：AC=BD=10cm,OC=OD=3cm,

OA=OB=13cm,

S陰=S扇形OAB-S扇形ocz>=6°兀X13_6°兀X3=竺_（。加2）,

3603603

故選：C.

6.（2023秋?七星關(guān)區(qū)期末）一個扇形的面積是3710n2,圓心角是120°,則此扇形的半徑是3cm.

【分析】設此扇形的半徑為rC%,利用扇形的面積公式得到12°X.X產(chǎn)=3m然后解關(guān)于廠的方程

360

即可.

【解答】解：設此扇形的半徑為rem

根據(jù)題意得120X兀X/=3n,

360

解得r=3.

即此扇形的半徑為3cm.

故答案為3.

7.（2023秋?畢節(jié)市校級期末）如圖，以。為圓心的扇形AOB與扇形CO。的圓心角為30°,若AC=2,

OC=6,則陰影部分的面積為—衛(wèi)L_.

【分析】由扇形面積公式求出扇形AOB與扇形C。。的面積，即可得到陰影的面積.

【解答】解：：OA=OC+CA=6+2=8,ZO=30°,

扇形A08的面積=3。X.X講=當匕,扇形的面積=叱E

CQD

3603360

陰影的面積=扇形A02的面積-扇形COD的面積=_1旺-3K=Z2L,

33

故答案為：Z2L.

3

優(yōu)選提升題

垂徑定理的應用

1.(2023秋?紅花崗區(qū)期中)“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋

在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學語言表達就是:

如圖，CD為OO的直徑，弦ABLCD,垂足為E,CE=1寸，AB=1O寸，則直徑CD的長度為26寸.

寸，由垂徑定理得到AE=LB=5寸，由勾股定理得到a=(r-

2

1)2+52,求出廠，即可得到圓的直徑長.

【解答】解：連接

設O。的半徑是r寸，

:直徑CDLAB,

.\A￡=AAB=AX1O=5寸,

22

,?CE=1寸，

；.OE=(r-1)寸，

VOA2=(?E2+AE2,

：.I2=(r-1)2+52,

,.r=13,

直徑CD的長度為2r=26寸.

2.（2023?遵義模擬）為測量一鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內(nèi)，測得有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm）,

則該鐵球的直徑為10。"

【分析】設圓心為。，連接A3,作于R連接。4,用勾股定理求出04的長，進而得出其直

徑的長.

【解答】解：如圖，連接AB,作。E_LAB于/，連接。4,貝U042=。尸2十人尸,

.*.OA2=(04-2)2+42,

解之得04=5,

直徑=5X2=10(cm).

故答案為：10aw.

3.（2023秋?綏陽縣期中）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶（如圖1）,隋代建造的趙州橋距今約

有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表.如圖2是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋

拱是圓弧形，表示為窟.橋的跨度（弧所對的弦長）A2=24〃z,設窟所在圓的圓心為0,半徑。CL48,

垂足為D拱高（弧的中點到弦的距離）C￡）=5"z.連接求這座石拱橋主橋拱的半徑.（精確到1加）.

c

【分析】設主橋拱半徑為凡在Rtz\02D中，根據(jù)勾股定理列出R的方程便可求得結(jié)果.

【解答】解：'：OC±AB,

：.AD=BD,

設主橋拱半徑為R,由題意可知AB=24,CD=5,

：.BD=^AB=12,

2

OD=OC-CD=R-5,

?：NODB=90°,

:.ON+BD2=OB2,

：.(R-5)2+122=7?2,

解得R=16.9-17,

答:這座石拱橋主橋拱的半徑約為17m.

涉及圓周角定理的證明與計算

1.(2023秋?紅花崗區(qū)期中)如圖，在△ABC中，C8與。。相交于。，C4與。。相交于E.

(1)從下面①②③中選取兩個作為已知條件，另一個作為結(jié)論，并證明；

①AB是直徑；

?AC=AB；

?DC=DB.

(2)在(1)的條件下，若8c=6,AB=5,連接BE,求BE的長.

C

DB

【分析】（1）①②為條件，③為結(jié)論，連接AD,由AC=AB可得aABC是等腰三角形，由是直徑可

得AOLBC,根據(jù)三線合一即可解答.

（2）先根據(jù)勾股定理求出AD再利用等面積即可求出BE.

【解答】解：（1）①②為條件，③為結(jié)論，連接AD,如圖：

.「△ABC是等腰三角形,

VAB是直徑，

J.ADLBC,

：.DC=BD；

（2）連接BE,

.*.80=3,

：.AD=4,

：.SMBC=~XBCXAD=^XACXBE,

22

即_1X6X4=」X5XBE,

22

解得

5

2.（2023秋?關(guān)嶺縣期末）如圖，A3為。。的直徑，點C,。為直徑AB同側(cè)圓上的點，且點。為血的中

點，過點。作DEJ_A8于點E,延長。E,交。。于點尸，AC與。產(chǎn)交于點G.

(I)如圖①，若點C為笳的中點，求/AG尸的度數(shù)；

(II)如圖②，若AC=12,AE=3,求O。的半徑.

【分析】(/)根據(jù)A8為O。的直徑，。為寶的中點，C為贏的中點，可得出/A4C=30°,再由?！?/p>

_L48可知NAEG=90°,進而可得出結(jié)論；

(〃)連接OR首先證明AC=。歹=12,設。4=OB=x,在Rt/XO所中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可

解決問題.

【解答】解：(/)為。。的直徑，。為血的中點，C為笳的中點，

?*.AD=CD=BC?

：.ZBAC=30°,

?:DELAB,

.../A￡G=90°,

：.ZAGF=90°-30°=60°；

：.DE=EF,AD=AF，

:點。是弧AC的中點,

?1-AD=CD-

AAC=DF)

：.AC=DF=n,

：.EF^^DF=6,設OA=OF=X,

2

在RtZXOEE中，則有/=62+(尤-3)2

解得x=7.5,

???OO的半徑是7.5.

1.（2023秋?紅花崗區(qū)期中）在矩形ABC。中，AB=2,BC=2愿，點、E,尸分別是邊A。和8C上的動點,

且AE=CR連接ER過點2作8GL所，垂足為點G,連接CG,則CG的最小值為fj-1.

【分析】連接8。，取OC中點連接MC,MG,過點M作于X,則MC,MG為定長，利

用兩點之間線段最短解決問題即可.

【解答】解：連接交EF于O,

"."AD//BC,AD=BC,

：.NED0=ZFBO,NDE0=ZBFO,

,JAE^CF,

：.ED=BF,

:ADEO出ABFO(ASA),

：.0D=0B,

；.。是矩形形的中心，

'：AB=2,AZ)=BC=2V3>

，BD=VAB2+AD2=4，

：.OB=2,

取08中點M,連接MC,MG,過點M作MHLBC于H,則MH//CD,

;MB=LBD,

4

?1

,?而■%C=BD7

：.BH=^BC=^~,MH=^CD=1,

4242

:.CH=2M-近=3依,,

22

由勾股定理可得MC=+CH^~，

在Rt/XGOB中，M是08的中點，則MG=/OB=L

\UCG^CM-MG=yfl-1,

當C,M,G三點共線時，CG最小值為救-1,

故答案為：V7-1-

A----------Er--------------3D

BHFC

2.（2023秋?關(guān)嶺縣期末）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=20,BC=24,點O為線段8c上一動

點.以CO為OO直徑，作A。交。。于點E,連BE,則BE的最小值為16.

A

0TD

【分析】連接CE,可得/CEO=/CEA=90°,從而知點E在以AC為直徑的。。上，繼而知點。、E、

8共線時BE最小，根據(jù)勾股定理求得的長，即可得答案.

【解答】解：如圖，連接CE,

v\0/D

：.ZCED=ZCEA=90°,

...點E在以AC為直徑的O。上,

：AC=20,

：.QC=QE=IO,

當點。、E、3共線時BE最小，

：8C=24,

QB=VBC2-H3C2=26，

：.BE=QB-QE=16,

...BE的最小值為16,

故答案為：16.

3.（2023秋?黔東南州期末）在矩形ABC。中，A2=3,BC=4,點M是平面內(nèi)一動點，且滿足BM=2,N

為的中點，點M運動過程中線段CN長度的取值范圍是—狂CN<^_-

【分析】連接BO,取8。的中點O,連接。M可知ON為的中位線，貝1J可得0N="BM=1，進而

可知點N在以。為圓心，以1為半徑的圓上運動，在矩形ABCQ中，根據(jù)oc,AC進而得出答案?

【解答】解：連接8D,取8。的中點O,連接ON,OC,

為Affl的中點，

ON為ADMB的中位線，

ON=yBM=l>

...點N在以。為圓心，以1為半徑的圓上運動，

在矩形ABCD中，OC^-AC=^-VAB2+BC2=y7s2+42年

;.CN的取值范圍為導KCNU+I，

切線的判定與性質(zhì)

1.(2023秋?靈寶市期中)如圖，以四邊形ABCD的對角線8。為直徑作圓，圓心為O,過點A作AELCD

的延長線于點E,已知平分N3DE.

(1)求證：AE是OO切線；

(2)若4E=4,CD=6,求。。的半徑和AO的長.

ED

【分析】(1)連接OA,根據(jù)已知條件證明OALAE即可解決問題；

(2)取CO中點孔連接OR根據(jù)垂徑定理可得OR!CD,所以四邊形AEF。是矩形，利用勾股定理

即可求出結(jié)果.

【解答】(1)證明：如圖，連接。A,

\'AE±CD,

：.ZDAE+ZADE=90°.

,：DA平分/BDE,

：.ZADE=ZADO,

又：OA=O。，

：.ZOAD=ZADO,

：.ZDAE+ZOAD=90°,

：.OALAE,

；.AE是O。切線；

(2)解：如圖，取CO中點凡連接OF

.,.OP_LCD于點F.

四邊形AEFO是矩形，

,:CD=6,

：.DF=FC=3.

在RtaOFZ）中，OF=AE=4,

OD=VOF2+DF2=V42+32=5>

在RtAAED中，AE=4,ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2,

2

：.AD=^+2=V20=245,

的長是小.

2.（2023秋?紅花崗區(qū)校級期中）如圖，在Rt^ABC中，/C=90°,點。，E,尸分別是邊AB,BC,AC

上的點，以為直徑的半圓O經(jīng)過點E,F,且施=標.

（1）求證：BC是半圓。的切線；

（2）若/8=30°,AB=12,求CP的長.

【分析】（1）連接AE,OE,