數(shù)學(xué)課堂探究：古典概型

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究1．古典概型的概率公式與頻率計(jì)算公式的異同剖析:古典概型的概率公式與頻率計(jì)算公式的共同點(diǎn)有：（1）形式上都是eq\f（m,n)；（2)范圍都是0≤eq\f(m,n）≤1.但是，這兩者有著本質(zhì)的區(qū)別,其中P(A）＝eq\f(m,n)是一個(gè)定值，且對(duì)同一個(gè)試驗(yàn)的同一事件，不管什么人做，什么時(shí)間做，m，n都應(yīng)該是一樣的,而頻率計(jì)算公式中的m，n總是隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的，不同的人，不同的時(shí)間得到的結(jié)果不一定相同．2．無(wú)放回抽取與有放回抽取的區(qū)別剖析：在進(jìn)行古典概型試驗(yàn)時(shí)常有兩種抽取的方式，一種是無(wú)放回地抽取，另一種是有放回地抽?。櫭剂x，無(wú)放回地抽取是指前一次抽取的元素，不再放回原處，即前一次抽取時(shí)有n個(gè)元素，那么緊接著的下一次只有n－1個(gè)元素;有放回地抽取是指前一次抽取的元素，放回原處,攪拌均勻后，再一次抽取,即前一次抽取時(shí)有n個(gè)元素，那么緊接著的下一次抽取時(shí)還有n個(gè)元素．顯然，有放回抽取是依次進(jìn)行的，是有順序的,即我們?cè)谟?jì)算基本事件的個(gè)數(shù)時(shí),順序不同的基本事件應(yīng)該看作是不同的基本事件；而無(wú)放回抽取有時(shí)可不計(jì)順序．3．抽簽先后不影響游戲的公平性剖析：在生活中，我們有時(shí)要用抽簽的方法來(lái)決定一件事情．例如，在5張票中有1張獎(jiǎng)票，5個(gè)人按照排定的順序從中各抽1張以決定誰(shuí)得到其中的獎(jiǎng)票．下面我們來(lái)分析這5個(gè)人中的每個(gè)人得到獎(jiǎng)票的概率相等與否．第1個(gè)抽票者得到獎(jiǎng)票的概率顯然是P1＝eq\f（1,5）;前兩個(gè)人抽票的情況總共有5×4種，而第2個(gè)人抽到獎(jiǎng)票的情況有4×1種，故P2＝eq\f(4×1，5×4)＝eq\f(1，5)；前三個(gè)人抽票的情況總共有5×4×3種，而第3個(gè)人抽到獎(jiǎng)票的情況總共有4×3×1種,故P3＝eq\f(4×3×1，5×4×3)＝eq\f(1，5)；依次類推，P4＝eq\f（1,5)，P5＝eq\f(1,5），由此可見(jiàn),這5個(gè)抽票者中的任何一個(gè)人抽到獎(jiǎng)票的概率都相等且為eq\f(1,5）.通過(guò)對(duì)上述簡(jiǎn)單問(wèn)題的分析，我們看到在抽簽時(shí)順序雖然有先有后，但只要不讓后抽人知道先抽人抽出的結(jié)果,那么各個(gè)抽簽者中獎(jiǎng)的概率是相等的，也就是，并不會(huì)因?yàn)槌楹灥捻樞虿煌绊懙接螒虻墓叫裕}型一古典概型的定義【例1】判斷下列命題是否正確．(1)擲兩枚硬幣,基本事件為“兩個(gè)正面”“兩個(gè)反面"“一正一反”；（2）某袋中裝有大小均勻的三個(gè)紅球、兩個(gè)黑球、一個(gè)白球,任取一球，那么每種顏色的球被摸到的可能性相同；（3)從－4,－3，－2，－1，0，1，2中任取一數(shù),取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同；（4)分別從3名男同學(xué)、4名女同學(xué)中各選一名代表，男、女同學(xué)當(dāng)選的可能性相同;（5）5人抽簽，甲先抽，乙后抽，那么乙與甲抽到中獎(jiǎng)簽的可能性肯定不同．解：（1)應(yīng)有4個(gè)基本事件，還有一個(gè)是“一反一正”；(2)摸到紅球的概率為eq\f（1，2），摸到黑球的概率為eq\f（1，3)，摸到白球的概率為eq\f（1,6)；(3)取到小于0的數(shù)字的概率為eq\f（4，7），取到不小于0的數(shù)字的概率為eq\f(3，7)；（4)男同學(xué)當(dāng)選的概率為eq\f(1，3），女同學(xué)當(dāng)選的概率為eq\f（1,4)；（5)抽簽有先后，但每人抽到中獎(jiǎng)簽的概率是相同的．所以以上命題都不正確．判斷一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是否為古典概型，主要看以下兩個(gè)方面：（1)基本事件的個(gè)數(shù)是否有限；(2)每個(gè)基本事件發(fā)生的概率是否相等。題型二古典概型的概率求法【例2】(2013山東高考，文17）某小組共有A,B，C，D，E五位同學(xué),他們的身高（單位：米)及體重指標(biāo)（單位：千克/米2)如下表所示:ABCDE身高1.691。731。751。791.82體重指標(biāo)19.225。118.523。320.9(1）從該小組身高低于1。80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率；（2）從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在［18.5，23.9)中的概率．分析：（1)注意身高的限制，先列出基本事件空間，再求概率;（2)5選2問(wèn)題,先列出基本事件空間,再求概率,且要注意所求事件的雙重要求．解:（1)從身高低于1.80的同學(xué)中任選2人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A,B），（A,C)，（A，D)，（B,C），(B，D),（C，D）,共6個(gè)．由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．選到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B），（A，C),(B，C），共3個(gè)．因此選到的2人身高都在1.78以下的概率為P＝eq\f(3，6）＝eq\f（1，2)。（2）從該小組同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：（A，B）,（A,C)，(A,D)，（A，E），(B，C），(B，D)，(B,E)，(C，D)，（C，E），（D，E)，共10個(gè)．由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．選到的2人身高都在1。70以上且體重指標(biāo)都在[18。5,23。9)中的事件有：(C，D），(C，E），（D,E)，共3個(gè)．因此選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在［18.5,23.9)中的概率為P＝eq\f(3，10)。利用古典概率公式首先要判斷試驗(yàn)是否為古典概型，其次求出公式P（A）＝eq\f(m,n)中m與n的值是關(guān)鍵;再者要將基本事件盡量全部列出，這樣避免重復(fù)和遺漏,并且能有效地解決所求事件的概率.題型三概率的一般加法公式（選學(xué)）【例3】從1,2,3，…，10中任選一個(gè)數(shù),求下列事件的概率．(1）它是偶數(shù);（2）它能被3整除；(3)它是偶數(shù)且能被3整除；（4）它是偶數(shù)或能被3整除．分析：解答本題可先由古典概型求得(1）（2）(3)問(wèn)，再由概率的一般加法公式解決第（4)問(wèn)．解:基本事件空間Ω＝｛1,2，3,4，…，10},總基本事件個(gè)數(shù)n＝10。(1)設(shè)“是偶數(shù)”為事件A,即A＝｛2，4，6，8，10｝，∴P(A)＝eq\f(5，10）＝eq\f(1，2）。(2）設(shè)“能被3整除”為事件B，即B＝｛3，6，9｝，∴P(B)＝eq\f（3，10)。（3）設(shè)“是偶數(shù)且能被3整除”為事件C，即C＝｛6｝,∴P(C）＝eq\f(1,10)。(4）設(shè)“是偶數(shù)或能被3整除"為事件D，則D＝A∪B,根據(jù)概率的加法公式得P(A∪B）＝P(A)＋P(B）－P(A∩B）＝P（A)＋P（B）－P(C)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3，10)－eq\f(1，10)＝eq\f(7,10）。概率的一般加法公式同概率的加法公式在限制條件上的區(qū)別：①在公式P（A∪B)＝P(A)＋P（B)中,事件A，B是互斥事件．②在公式P(A∪B）＝P(A)＋P(B）－P(A∩B）中,事件A,B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.題型四易錯(cuò)辨析【例4】有1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)3個(gè)信箱和A，B，C，D4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完為止,其中A信恰好投入1號(hào)或2號(hào)信箱的概率是多少？錯(cuò)解:每封信投入1號(hào)信箱的機(jī)會(huì)均等，而且所有結(jié)果數(shù)為4，故A信投入1號(hào)或2號(hào)信箱的概率為e