2024-2025學年高中數(shù)學第二章推理與證明單元評估卷習題含解析新人教A版選修1-2

其次章單元評估卷eq\o(\s\up7(限時：120分鐘滿分：150分),\s\do5())第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的)1．下面幾種推理是合情推理的是()①由正三角形的性質(zhì)類比出正三棱錐的有關(guān)性質(zhì)；②由正方形、矩形的內(nèi)角和是360°，歸納出全部四邊形的內(nèi)角和都是360°；③三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸n邊形內(nèi)角和是(n－2)·180°；④小李某次數(shù)學模塊考試成果是90分，由此推出小李的全班同學這次數(shù)學模塊考試的成果都是90分．A．①② B．①②③C．①②④ D．②③④2．用反證法證明命題“若關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c∈Z)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是奇數(shù)”時，下列假設正確的是()A．假設a，b，c都是奇數(shù)B．假設a，b，c都不是奇數(shù)C．假設a，b，c至多有一個奇數(shù)D．假設a，b，c至多有兩個奇數(shù)3．因為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱(大前提)，而函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋1，x>0,0，x＝0,xx－1，x<0))是奇函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱(結(jié)論)．上面的推理有錯誤，其錯誤的緣由是()A．大前提錯導致結(jié)論錯B．小前提錯導致結(jié)論錯C．推理形式錯導致結(jié)論錯D．大前提和小前提都錯導致結(jié)論錯4．已知函數(shù)f(x)＝5x，則f(2015)的末四位數(shù)字為()A．3125 B．5625C．0625 D．81255．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))，計算f(0)＋f(1)，f(2)＋f(－1)的值，可歸納其一般性的結(jié)論是()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))＝eq\f(1,2)B．f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(1,2)C．f(－x)＋f(x－1)＝eq\f(\r(2),2)D．f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(\r(2),2)6．由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”，可類比猜想出正四面體的內(nèi)切球切于四個側(cè)面()A．各正三角形內(nèi)任一點B．各正三角形的某高線上的點C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某點7．數(shù)列{an}滿意a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，則a2015等于()A.eq\f(1,2) B．－1C．2 D．38．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于()A．f(1)＋2f(1)＋…＋nfB．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))C.eq\f(nn＋1,2)D.eq\f(nn＋1,2)f(1)9．對于奇數(shù)列1,3,5,7,9，…，現(xiàn)在進行如下分組：第一組有1個數(shù){1}，其次組有2個數(shù){3,5}，第三組有3個數(shù){7,9,11}，……，依此類推，則每組內(nèi)奇數(shù)之和Sn與其組的編號數(shù)n的關(guān)系是()A．Sn＝n2 B．Sn＝n3C．Sn＝n4 D．Sn＝n(n＋1)答案1．B本題主要考查對合情推理(歸納推理、類比推理)的推斷．①是類比推理，②③是歸納推理．故選B.2．B本題主要考查反證法的應用．命題“a，b，c中至少有一個是奇數(shù)”的否定是“a，b，c都不是奇數(shù)”，故選B.3．B本題主要考查演繹推理的三段論與分段函數(shù)的綜合應用．因為f(1)＝f(－1)＝2，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函數(shù)，故推理錯誤的緣由是小前提錯導致結(jié)論錯，故選B.4．D本題主要考查歸納推理的應用．因為f(5)＝55＝3125的末四位數(shù)字為3125，f(6)＝56＝15625的末四位數(shù)字為5625，f(7)＝57＝78125的末四位數(shù)字為8125，f(8)＝58＝390625的末四位數(shù)字為0625，f(9)＝59＝1953125的末四位數(shù)字為3125，故周期T＝4.又由于2015＝502×4＋7，因此f(2015)的末四位數(shù)字與f(7)的末四位數(shù)字相同，即f(2015)的末四位數(shù)字是8125.故選D.5．D本題主要考查歸納推理等學問．∵f(x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))，∴f(0)＋f(1)＝eq\f(1,1＋\r(2))＋eq\f(1,2＋\r(2))＝eq\r(2)－1＋eq\f(2－\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)，f(－1)＋f(2)＝eq\f(2,1＋2\r(2))＋eq\f(1,4＋\r(2))＝eq\f(4\r(2)－2,7)＋eq\f(4－\r(2),14)＝eq\f(\r(2),2)，可歸納：f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(\r(2),2).事實上，f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(1,2－x＋\r(2))＋eq\f(1,2x＋1＋\r(2))＝eq\f(2x,1＋\r(2)×2x)＋eq\f(1,2x＋1＋\r(2))＝eq\f(\r(2)×2x,\r(2)＋2x＋1)＋eq\f(1,2x＋1＋\r(2))＝eq\f(\r(2)×2x＋1,\r(2)1＋\r(2)×2x)＝eq\f(\r(2),2).故選D.6．C正三角形的邊對應正四面體的面，即正三角形所在的正四面體的側(cè)面，所以邊的中點對應的就是正四面體各正三角形的中心．7．B∵a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，∴a2＝1－eq\f(1,a1)＝－1，a3＝1－eq\f(1,a2)＝2，a4＝1－eq\f(1,a3)＝eq\f(1,2)，a5＝1－eq\f(1,a4)＝－1，a6＝1－eq\f(1,a5)＝2，∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)．∴a2015＝a2＋3×671＝a2＝－1.8．Cf(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y(tǒng)＝1，得f(2)＝2f令x＝1，y＝2，f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f?f(n)＝nf(1)，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)＝eq\f(nn＋1,2)f(1)．所以A，D正確．又f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋…＋n)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))，所以B也正確．故選C.9．B∵當n＝1時，S1＝1；當n＝2時，S2＝8＝23；當n＝3時，S3＝27＝33；∴歸納猜想Sn＝n3，故選B.————————————————————————————10.在等差數(shù)列{an}中，若an>0，公差d>0，則有a4a6>a3a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，公比q>1，則b4，b5，b7，bA．b4＋b8>b5＋b7 B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8 D．b4＋b7<b5＋b811．將石子擺成如圖的梯形形態(tài)．稱數(shù)列5,9,14,20，…為“梯形數(shù)”．依據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2012項與5的差，即a2012－5＝()A．2018×2012 B．2018×2011C．1009×2012 D．1009×201112．視察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填寫在題中橫線上)13．在△ABC中，D為BC的中點，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，將命題類比到三棱錐中得到的命題為________．14．f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)，經(jīng)計算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，推想當n≥2時，有________．15．已知兩個圓：(x＋1)2＋(y－2)2＝4①與(x＋2)2＋(y－3)2＝4②，則由①式減去②式可得兩圓的對稱軸方程．將上述命題在曲線仍為圓的狀況下加以推廣，可得到一般性的命題為________．16．甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市．由此可推斷乙去過的城市為________．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：eq\f(\r(b2－ac),a)<eq\r(3).18．(12分)已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))n(n∈N*)，若Tn＝a1＋5a2＋52a3＋…＋5n－1an，bn＝6Tn－5nan，類比課本中推導等比數(shù)列前n項和公式的方法，求數(shù)列{bn}的通項公式．答案10.Ab5＋b7－b4－b8＝b4(q＋q3－1－q4)＝b4(q－1)(1－q3)＝－b4(q－1)2(1＋q＋q2)＝－b4(q－1)2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q＋\f(1,2)))2＋\f(3,4))).∵bn>0，q>1，∴－b4(q－1)2·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q＋\f(1,2)))2＋\f(3,4)))<0，∴b4＋b8>b5＋b7.11．D由已知可得a2－a1＝4a3－a2＝5a4－a3＝6……a2012－a2011＝2014.以上各式相加得a2012－a1＝eq\f(4＋2014×2011,2)＝1009×2011.∵a1＝5，∴a2012－5＝1009×2011.12．C記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過視察不難發(fā)覺f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.13．在三棱錐A－BCD中，G為△BCD的重心，則eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))14．f(2n)>eq\f(2＋n,2)解析：觀測f(n)中n的規(guī)律為2k(k＝1,2，…)，不等式右側(cè)分別為eq\f(2＋k,2)，k＝1,2，…，所以f(2n)>eq\f(2＋n,2)(n≥2)．15．兩個圓的方程分別為：(x－a)2＋(y－b)2＝r2①和(x－c)2＋(y－d)2＝r2②，其中a≠c或b≠d，r>0，則①式減去②式可得兩圓的對稱軸方程解析：本題主要考查歸納推理的應用．視察到已知兩個圓的半徑相等，且兩圓的圓心位置不同，故可歸納出其一般性的命題．16．A解析：依據(jù)甲、乙、丙說的可列表得ABC甲√×√乙√××丙√17.證明：因為a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0.要證明原不等式成立，只需證明eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a，即證b2－ac<3a2，從而只需證明(a＋c)2－ac<3a2，即(a－c)(2a＋c因為a－c>0,2a＋c＝a＋c＋a＝a－b所以(a－c)(2a＋c18．解：因為Tn＝a1＋5a2＋52a3＋…＋5n－1a所以5Tn＝5a1＋52a2＋53a3＋…＋5n－1an－1＋5①＋②，得6Tn＝a1＋5(a1＋a2)＋52(a2＋a3)＋…＋5n－1(an－1＋an)＋5nan＝1＋5×eq\f(1,5)＋52×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＋…＋5n－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))n－1＋5nan＝n＋5nan，所以6Tn－5nan＝n，所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝n.————————————————————————————19.(12分)已知實數(shù)x，且有a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，求證：a，b，c中至少有一個不小于1.20．(12分)先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：已知a1，a2∈R，且a1＋a2＝1，求證：aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)≥eq\f(1,2).證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2).因為對一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2))≤0，從而得aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)≥eq\f(1,2).(1)若a1，a2，…，an∈R，且a1＋a2＋…＋an＝1，請寫出上述結(jié)論的推廣式；(2)參考上述證法，對你推廣的結(jié)論加以證明．答案19．證明：假設a，b，c都小于1，即a<1，b<1，c<1，則a＋b＋c<3.∵a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋eq\f(7,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋3，且x為實數(shù)，∴2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋3≥3，即a＋b＋c≥3，這與a＋b＋c<3沖突．∴假設不成立，原命題成立．∴a，b，c中至少有一個不小于1.20．(1)解：若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，則aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)≥eq\f(1,n).(2)證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝nx2－2x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n).因為對一切x∈R，都有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))≤0，從而證得aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)≥eq\f(1,n).————————————————————————————21.(12分)已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且其中隨意兩邊長均不相等，若eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列．(1)比較eq\r(\f(b,a))與eq\r(\f(c,b))的大小，并證明你的結(jié)論；(2)求證：角B不行能是鈍角．22．(12分)將數(shù)列{an}中的全部項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，b1＝a1＝1.Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，且滿意eq\f(2bn,bnSn－S\o\al(2,n))＝1(n≥2)．(1)證明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))成等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)上面數(shù)表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的依次均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)．當a81＝－eq\f(4,91)時，求上表中第k(k≥3)行全部項的和．答案21.解：(1)eq\r(\f(b,a))<eq\r(\f(c,b)).證明如下：要證eq\r(\f(b,a))<eq\r(\f(c,b))，只需證eq\f(b,a)<eq\f(c,b).∵a，b，c>0，∴只需證b2<ac.∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,ac))，∴b2≤ac.又a，b，c均不相等，∴b2<ac.故所得大小關(guān)系正確．(2)證明：法1：假設角B是鈍角，則cosB<0.由余弦定理得，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)≥eq\f(2ac－b2,2ac)>eq\f(ac－b2,2ac)>0，這與cosB<0沖突，故假設不成立．所以角B不行能是鈍角．法2：假設角B是鈍角，則角B的對邊b為最大邊，即b>a，b>c，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>