2024-2025學(xué)年西安市鄠邑區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中質(zhì)量檢測卷（附答案解析）

2024-2025學(xué)年西安市鄂邑區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中質(zhì)量檢測卷

注意事項：

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.

4.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，涂寫在本試卷上無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

,則網(wǎng)=（）

已知點A（一2，1，3）關(guān)于x軸的對稱點為B

1.

A.V5B.V10C.V13D.V14

2.直線/：瓜+了+1=0的傾斜角為（)

A30°B.60°C.120°D.150°

3.已知點M在平面48C內(nèi)，并且對空間任一點。，OM=xOA+-OB+-OC,則X=()

32

1111

A.——B.-C.-D.——

6623

4.如圖，在正方體4BCD-中，點E是上底面481G2的中心，則異面直線ZE與5。所成角

的余弦值為（）

.V2RV2「麗?46

1\..---JJ.---K-'.---J-Z.---

4343

5.兩平行直線3x—4y—12=0和6x—8y+5=0之間的距離為()

6.下列說法正確的是（)

A.若直線/的一個方向向量的坐標為（x0,%）,則/的斜率為九

B4（1,3）,3（2,5）,C（—2,-3）三點共線

C.過（的,必）,（9，%）兩點的直線的方程為=三十

D.經(jīng)過點（1,1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

7.直線x+2y+4=0關(guān)于了軸對稱的直線方程是（）

A.x+2y-4=0B.x-2y+4=0

C.x-2y-4=0D.4x+2y-l=0

8.空間直角坐標系。-平中，經(jīng)過點z0）,且法向量為藍=（48,C）的平面方程為

A（x-x^+B[y-y^+C[z-z^^O,經(jīng)過點P人,％）/。）且一個方向向量為萬=w0）

的直線/的方程為——^二」@=一閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面a的方程為

piVCD

3x-5y+z-7=Q,經(jīng)過（0,0,0）的直線/的方程為：=；=彳，則直線/與平面。所成角的正弦值為

（）

AVToRV10「麗n石

------o.------L.------\-J.

103557

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對

的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分.

9.已知點P是V48。所在平面外一點，若方=（—2,1,4）,而=（1,—2,1）,正=（4,2,0）,下列結(jié)論正確

的有（）

A.AP1ABB.5C=（6,l,-4）

C.BC=453D.APUBC

10.設(shè)。為坐標原點，直線x+加了一加一2=0過圓M:（x-4y+（y+3）2=25的圓心且交圓于P,。兩點,

則（)

2

A.\PQ\=5B.掰=5

C.△OPQ的面積為5指D.OMLPQ

11.對于直線4：ax+2y+3。=0和直線4：3x+(a—l)y+3—a=0,以下說法正確的有()

A.直線4過定點(—3,0)

2

B.若4_L4，則a=1

C./"/，2的充要條件是a=3

D.點尸(1,3)到直線4距離的最大值為5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知兩點4(4,9)和8(6,3)則以48為直徑的圓的標準方程是.

13.過點？(—1,4)作圓(》-1)2+(了-2)2=4的切線，切線方程為.

14.在空間直角坐標系中，點P(l,2,3)在工你,工。修了。2上的射影分別為4民。，則四面體P48C

的體積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知三角形的三個頂點是2(4,0),8(6,7),C(0,3).

(1)求邊ZC所在的直線方程；

(2)求邊48上的高所在直線的方程.

16.如圖所示，四棱錐P-NBCO的底面48CD是矩形，尸5,底面48CD,

AB^BC=3,BP=3,CF=-CP,DE=-DA.

33

P

(1)證明：直線EE//平面45P；

3

(2)求點尸到平面2。9的距離.

17.已知直線/:丘-J+1+2后=0(左eR).

(1)若直線/不經(jīng)過第四象限，求左的取值范圍；

(2)若直線/交x軸負半軸于點A,交了軸正半軸于點8,求V/。面積的最小值.

18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓4x=0及點2(—1,0)乃。,2).

(1)若直線/過點B,與圓C相交于M、N兩點，且|〃乂|=2百，求直線/的方程；

(2)圓。上是否存在點尸，使得|尸/『+|依『=12成立？若存在，求點9的個數(shù)；若不存在，請說明理由.

19.如圖，已知三棱柱NBC—48cl的側(cè)棱與底面垂直，AA}=AB=AC=1,AB1AC,M和N分

別是cq和的中點，點尸在直線44上，且4P=244.

(1)證明：無論幾取何值，總有WJ_PN；

(2)是否存在點尸，使得平面PAW與平面48。所成的角為30°?若存在，試確定點P的位置；若不存在,

請說明理

4

鄂邑區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測

高二數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.

4.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，涂寫在本試卷上無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.已知點"J2』，3)關(guān)于x軸的對稱點為8,則卜()

A.V5B.V10C.V13D.714

【答案】D

【解析】

【分析】利用空間向量的坐標表示求解.

【詳解】點/(—2,1,3)關(guān)于x軸的對稱點為3(-2,-1,-3),

所以礪=(—2,—1,—3)，所以|礪|=14+1+9=Jli,

故選:D.

2.直線/：瓜+y+l=0的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】利用傾斜角與斜率的關(guān)系計算即可.

【詳解】根據(jù)題意可知該直線的斜率為比=-g,所以其傾斜角為120°.

故選：C

3.已知點/在平面N8C內(nèi)，并且對空間任一點。，OM=xOA+-OB+-OC,則》=()

32

5

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)共面向量的推論得到x+-+-=1,解方程即可.

32

【詳解】因為點M在平面4BC內(nèi)，所以點M,A,B,C四點共面，所以x+-+-=1,解得x=‘.

326

故選：B.

4.如圖，在正方體4BCD-481G3中，點E是上底面44G2的中心，則異面直線ZE與5。所成角

的余弦值為（）

AV2RV2rVwn46

4343

【答案】B

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量夾角求解.

【詳解】以。為原點，萬N,灰,西為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系如圖所示，設(shè)正方體棱長為2,

4（2,0,0）,￡（1,1,2）,口（0,0,2）,8（2,2,0）

所以ZE=(—1,1,2),。力=(2,2,-2),

uuruuir

AED}B—4旦

U.UU1I|UUUL

.斗V6xV12~T

6

所以異面直線AE與BD［所成角的余弦值為注.

3

故選：B

5.兩平行直線3x—4y—12=0和6x—8y+5=0之間的距離為（）

292917

A.—B.—C.—

1055

【答案】A

【解析】

【分析】利用兩條平行線之間的距離公式即可求解.

【詳解】將直線3x—4y—12=0變形為6x—8y—24=0,

|-24-5|29

所以兩平行線間的距離為dJ=r-,——r=—.

V62+8210

故選：A.

6.下列說法正確的是（）

A.若直線/的一個方向向量的坐標為（%,%）,則/的斜率為九

xo

B.Z（1,3）,3（2,5）,C（—2,—3）三點共線

C.過（西,必）,（%,%）兩點的直線的方程為?于=三十

D.經(jīng)過點（1,1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直線的斜率公式以及截距式方程和兩點式方程一一判斷求解.

【詳解】對A,當(dāng)天=0時，/的斜率不存在，當(dāng)天片0時，/的斜率為叢，A錯誤;

xo

對B,因為⑥8=^=2,舄。==7=2,

，一1一幺-1

且48,/C共點A,所以4（1,3）,5（2,5）,C（—2,—3）三點共線，B正確;

V—，x-x,

對C,當(dāng)西=/或%=%時，不能用兩點式方程上遼=一上表示，C錯誤;

%一乂X2~再

7

對D,當(dāng)在x軸和〉軸上截距都相等且不為零時，設(shè)方程為工+上=1,

aa

因為直線經(jīng)過點（1,1）,所以,+'=1,解得。=2,則直線方程為x+y—2=0,

aa

當(dāng)在x軸和V軸上截距都相等且為零時，設(shè)方程為丁=京，

因為直線經(jīng)過點。,1）,所以左=1,直線方程為y=x,

所以滿足條件的直線方程為x+y-2=0或了=》，D錯誤；

故選：B

7.直線x+2y+4=0關(guān)于了軸對稱的直線方程是（）

A,x+2y-4=0B,x-2y+4=0

C.x-2y-4=0D.4x+2y-l=0

【答案】C

【解析】

【分析】在所求直線上任取一點尸（x,y）,得到關(guān)于y軸的對稱點尸'（-x,y）,代入直線x+2y+4=0上

求解.

【詳解】解：在所求直線上任取一點P（xj）,關(guān)于y軸的對稱點為P'（-x/）,

由題意點尸'（—X,y）在直線X+2.V+4=0上，

將點P'（~x,y）代入直線方程x+2y+4=0,

得—X+2y+4=0,即x—2y—4=0,

故選：C

8.空間直角坐標系。-平中，經(jīng)過點z0）,且法向量為蘇=（48,C）的平面方程為

/（x—Xo）+5（y—%）+C（z—Zo）=O,經(jīng)過點P（Xo，%,Z0）且一個方向向量為萬=wO）

x-xy-yz-z

的直線/的方程為——nn二一閱n讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面a的方程為

piVCD

3x-5y+z-7=0,經(jīng)過（0,0,0）的直線/的方程為:=］，則直線/與平面。所成角的正弦值為

8

()

口Vio

D.------------

35

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題設(shè)給出的材料可得平面的法向量和直線的方向向量，利用公式可求直線/與平面。所成角的正弦值.

【詳解】因為平面a的方程為3x—5y+z—7=0,故其法向量為3=（3,—5,1）,

因為直線I的方程為-=^=—,故其方向向量為m=（3,2,-l）,

32-1v7

9-10-1

故直線I與平面a所成角的正弦值為

V14xV35-7孤—35'

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題為材料題，需從給定的材料中提煉出平面的法向量和直線的方向向量的求法,

這是解決此題的關(guān)鍵.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對

的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得。分.

9.已知點尸是V48C所在平面外一點，若方=（—2,1,4）,2,1）,就=（4,2,0）,下列結(jié)論正確

的有（）

A.AP1ABB.5C=(6,l,-4)

C.BC=453D.AP//BC

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用空間向量的線性運算可判斷BD的正誤，利用向量垂直的坐標形式可判斷A的正誤，求出

后可判斷C的正誤.

【詳解】因為益.7A=—2—2+4=0，故故A正確;

而5C=ZC—N8=(4+2,2—1,—4)=(6,1,—4),故B正確;

9

|5c|=V36+16+1=A/53,故C正確；

6=2

若元=如?，則(6』,-4)=2(1,-2,1),故<1=-2X,此方程組無解；

-4=2

故死,Q不共線，故4P〃8C不成立，故D錯誤；

故選：ABC.

10.設(shè)。為坐標原點，直線X+7即—加—2=0過圓M：(x—4/+(了+3)2=25的圓心且交圓于P,。兩點,

則()

A.\PQ\=5B.m=~

C.△OP。的面積為5君D.OMLPQ

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)易得加=；、忸。|=10,再結(jié)合點線距離公式、三角形面積公式判斷各項正誤.

【詳解】由題設(shè)，圓心M(4,—3),半徑為5,又x+/孫—加一2=0過圓心，

所以4一3加一〃［一2=0=>加=g,且|P@=10,A錯，B對；

顯然(0—盯+(0+3/=25,即原點在圓上，

5

由。到x+'y—°=0的距離逐，故△OPQ的面積為Lxdx|PQ|=5&",C對;

22g2

7Q

若(WLP。，則|<W|=3aOPO=出,與|(W|=5矛盾，D錯.

\PQ\

10

故選：BC

11.對于直線4：ax+2y+3。=0和直線，2：3x+(aT)y+3—a=0,以下說法正確的有()

A.直線4過定點(—3,0)

2

B.若4_1_乙，則a=m

C./"/4的充要條件是a=3

D.點尸(1,3)到直線4距離的最大值為5

【答案】ABD

【解析】

【分析】A直線化為4:a(x+3)+2y=0確定定點判斷；B、C應(yīng)用直線平行、垂直的判定求參數(shù)判斷；D

由P(l,3)到4所過定點距離為最大距離，即可判斷.

【詳解】A：由/1：a(x+3)+2y=0,即直線恒過定點(—3,0),對；

2

B：/j1/2,則3。+2(。-1)=0,可得4二1，對；

C：4//6，則—1)—6=0,可得力—a—6=(a—3)(a+2)=0,即a=—2或a=3,

a=—2時，/］：x—y+3=0,Z23x—3y+5=0,滿足；

Q=3時，4:3x+2y+9=0,l2:3x-h2y=0,滿足，

綜上，a=—2或。=3,錯；

D：點p(l,3)到直線4距離的最大值，是P。,3)到定點(-3,0)的距離，即為5,對.

故選：ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知兩點4(4,9)和8(6,3)則以48為直徑的圓的標準方程是.

【答案】(x—5『+(y—6/=10

【解析】

【分析】根據(jù)的中點是圓心，網(wǎng)是半徑，即可寫出圓的標準方程.

2

11

【詳解】因為/(4,9)和8(6,3),故可得4B中點為(5,6),

又|48|=J(6-4),(3-9『=2V10，故所求圓的半徑為V10，

則所求圓的標準方程是：(x—5/+(y—6)2=10.

故答案為：(X-5)2+(J-6)2=10.

13.過點P(—1,4)作圓(x—Ip+(y—2)2=4的切線，切線方程為.

【答案】x=—1或y=4

【解析】

【分析】根據(jù)切線斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時設(shè)直線方程，由圓心到切線距離等于半徑求解.

【詳解】由(x—Ip+Qv—2)2=4,可得圓的圓心C(l,2),半徑為外=2,

當(dāng)過P(-1,4)的直線斜率不存在時，直線方程為x=-1,易得直線與圓相切，

當(dāng)過P(—1,4)的切線斜率存在時，設(shè)切線方程為＞-4=稔+1),即區(qū)一＞+左+4=0,

\k-2+k+4\\

由^—'=2,解得后=0,切線方程為歹=4,

所以切線方程為x=—l或＞=4.

故答案為：x=—1或＞=4.

14.在空間直角坐標系。町z中，點—1,2,3)在工仍/作//上的射影分別為/㈤。，則四面體/)48。

的體積為.

【答案】1

【解析】

【分析】利用錐體的體積公式計算可得四面體P45C的體積.

【詳解】由P(l,2,3),可得點p在上的射影分別為Z(l,0,3),8(l,2,0),C(0,2,3),

所以尸5,平面R4C,且三角形PZC是直角三角形，

所以VB-FAC=^義SPACxPB=—x—x2xlx3=1.

故答案為：1.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知三角形的三個頂點是2(4,0),8(6,7),。(0,3).

12

(1)求邊ZC所在的直線方程；

(2)求邊48上的高所在直線的方程.

3

【答案】(1)=——x+3

2

(2)y=—x+3

■7

【解析】

【分析】(1)根據(jù)兩點斜率公式求解斜率，進而由斜截式即可求解方程,

(2)根據(jù)斜率公式以及垂直關(guān)系得高所在直線斜率，即可求解.

【小問1詳解】

3-03

由題意可得3c=鼠7=一1，

3

由斜截式可得ZC直線方程為y=——x+3；

-4

【小問2詳解】

7—072

k=——=—，所以48邊上的高所在直線的斜率為一，

AB6-427

2

由點C(0,3)，所以48邊上的高所在直線方程為y=--x+3.

16.如圖所示，四棱錐尸—/8S的底面/BCD是矩形，尸5,底面Z8CD,

ABBC=3,BP=3,CF=^CP,DE=^DA.

P

(1)證明：直線EE//平面48尸；

(2)求點尸到平面4D尸的距離.

【答案】(1)證明見解析；

⑵3所

5

【解析】

13

【分析】（1）根據(jù)題設(shè)建立合適的空間直角坐標系，應(yīng)用向量法證明而與面48尸的一個法向量垂直,

即可證結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）所得坐標系，應(yīng)用向量法求點面距離.

【小問1詳解】

由必，平面Z8CD，且四邊形/BCD為矩形，可建立如圖所示空間直角坐標系,

則5（0,0,0）,/（3,0,0）,。（0,3,0）,。（3,3,0）,「（0,0,3）

由CR=；CP,得方=；而，解得尸（0,2,1）,同理￡（3,2,0）,

EF=（-3,0,1）,顯然面ABP的一個法向量為萬=（0』,0）,

顯然正?方=0且石尸①面45尸，故EE//面4s尸

【小問2詳解】

設(shè)面ZDE的一個法向量為瓦=（X//），且而=（0,3,0）,麗=（-3,-1,1）,

AD±nxf3y=0

由1—?_中二八，

DF_1_%〔一3x-y+z=0

取x=1,則y=0,z=3,

所以瓦=。,0,3）為平面ADF的一個法向量,

又舒=（—3,0,3）,

|"P司3A/10

點P到平面ADF的距離為d==-----.

M同5

17.已知直線/:去一〉+1+2左=0（左ER）.

（1）若直線/不經(jīng)過第四象限，求左的取值范圍；

（2）若直線/交工軸負半軸于點A,交〉軸正半軸于點5,求V4QB面積的最小值.

14

【答案】(1)k>Q

(2)V405面積的最小值為4

【解析】

【分析】(1)判斷出直線/過定點(-2,1),在根據(jù)直線/不經(jīng)過第四象限求得左的取值范圍.

(2)求得48兩點的坐標，從而求得V408面積的表達式，利用利用基本不等式求得其最小值.

【小問1詳解】

直線/:fcr-y+l+2左=0(左eR),即左(x+2)—y+1=0,

所以直線/過定點(—2,1),左是直線/的斜率，所以左之0.

【小問2詳解】

因為直線/交x軸負半軸于點/,交y軸正半軸于點8,所以左>0

1+2”

取y=0,x=----------；取x=o,y=l+2左；

k

所以二產(chǎn),0),5(0,1+2人),

所以S“OB=；|ONHO8|=；X^X(1+〃)=〃+U+2

NAKJLK

>2J2A;—+2=4,

\2k

當(dāng)且僅當(dāng)24=2,左=工時等號成立.

2k2

18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓4x=0及點4-1,0)乃(1,2).

(1)若直線/過點2,與圓C相交于M、N兩點，且|〃乂|=26,求直線/的方程;

(2)圓。上是否存在點尸，使得|尸川2+|依『=12成立？若存在，求點2的個數(shù)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)x=l或3x+4y—11=0(2)存在，兩個

【解析】

15

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理可得圓心到直線/的距離為1,然后利用點到直線的距離即可求解；

⑵假設(shè)圓C上存在點尸，設(shè)尸(X/),貝!I(X-2?+/=4,利用題干條件得到點尸也滿足

x2+(y-l)2=4,根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)果.

【小問1詳解】

圓C:-4x=0可化為(x-2)2+/=4,圓心為(2,0),r=2,

若/的斜率不存在時，/：x=l,止匕時|上加|=26符合要求.

當(dāng)/的斜率存在時，設(shè)/的斜率為左，則令/:y—2=《(x—1),

因為|“乂|=26，由垂徑定理可得，圓心到直線的距離d