高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題05概率與統(tǒng)計綜合問題（解析版）

《2020年數(shù)學(xué)（文）概率統(tǒng)計二輪專項提升》專題05概率與統(tǒng)計綜合問題高考題型特點(diǎn)：這部分屬于高考必考內(nèi)容，一般以大題形式出現(xiàn)，是以統(tǒng)計材料為情景的概率綜合問題。難度中等偏上。二、重難點(diǎn)：試題以現(xiàn)實(shí)生活中常見問題為背景，精心編制與設(shè)問，不僅考查了考生運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計與概率知識和方法解決問題的能力，而且使考生領(lǐng)會統(tǒng)計與概率思想方法在現(xiàn)實(shí)生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域的應(yīng)用，形成自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)知識指導(dǎo)社會實(shí)踐的意識，提高解決問題的能力.易錯注意點(diǎn)：從統(tǒng)計數(shù)據(jù)中分析題意；理解概率的本質(zhì)；分清概率與頻率四、典型例題：例1（2018天津）已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用，，，，，，表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；(ii)設(shè)為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件發(fā)生的概率．【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)(i)從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．(ii)由(1)，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事件發(fā)生的概率為．例2．(2017山東)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家，，和3個歐洲國家，，中選擇2個國家去旅游．(Ⅰ)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(Ⅱ)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括但不包括的概率．【解析】(Ⅰ)由題意知，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15個．所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：，，，共3個．則所求事件的概率為：．(Ⅱ)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：，共個，包含但不包括的事件所包含的基本事件有：，共個，所以所求事件的概率為．例3.（2016年全國II卷）某險種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234頻數(shù)605030302010(Ⅰ)記為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”。求的估計值；(Ⅱ)記為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”．求的估計值；（III）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)估計值.【解析】(Ⅰ)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)險次數(shù)小于2的頻率為，故P(A)的估計值為0.55.（Ⅱ）事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4．由是給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為，故P(B)的估計值為0.3.(Ⅲ)由題所求分布列為：保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為，因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)估計值為1.1925a.例4.（2015北京）某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（Ⅰ）估計顧客同時購買乙和丙的概率；（Ⅱ）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；（Ⅲ）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？【解析】（Ⅰ）從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為．（Ⅱ）從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為．（Ⅲ）與（Ⅰ）同理，可得：顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為，顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為，顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為．所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大．五、強(qiáng)化提升訓(xùn)練：1.(2019·豫北名校調(diào)研)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在[40，60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評分都在[40，50)的概率．【解析】(1)因為(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4.所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4.(3)受訪職工中評分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2，從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因為所抽取2人的評分都在[40，50)的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為p＝eq\f(1,10).2．(2019·石家莊調(diào)研)某出租車公司響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，已陸續(xù)購買了140輛純電動汽車作為運(yùn)營車輛．目前我國主流純電動汽車按續(xù)航里程數(shù)R(單位：千米)分為3類，即A類：80≤R＜150，B類：150≤R＜250，C類：R≥250.該公司對這140輛車的行駛總里程進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：類型A類B類C類已行駛總里程不超過10萬千米的車輛數(shù)104030已行駛總里程超過10萬千米的車輛數(shù)202020(1)從這140輛汽車中任取一輛，求該車行駛總里程超過10萬千米的概率；(2)公司為了了解這些車的工作狀況，決定抽取14輛車進(jìn)行車況分析，按表中描述的六種情況進(jìn)行分層抽樣，設(shè)從C類車中抽取了n輛車．①求n的值；②如果從這n輛車中隨機(jī)選取兩輛車，求恰有一輛車行駛總里程超過10萬千米的概率．【解析】(1)從這140輛汽車中任取一輛，則該車行駛總里程超過10萬千米的概率為p1＝eq\f(20＋20＋20,140)＝eq\f(3,7).(2)①依題意n＝eq\f(30＋20,140)×14＝5.②5輛車中已行駛總里程不超過10萬千米的車有3輛，記為a，b，c；5輛車中已行駛總里程超過10萬千米的車有2輛，記為m，n.“從5輛車中隨機(jī)選取兩輛車”的所有選法共10種：ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn.“從5輛車中隨機(jī)選取兩輛車，恰有一輛車行駛里程超過10萬千米”的選法共6種：am，an，bm，bn，cm，cn，則選取兩輛車中恰有一輛車行駛里程超過10萬千米的概率p2＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).3．某校為了了解A，B兩班學(xué)生寒假期間觀看《中國詩詞大會》的時長，分別從這兩個班中隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將他們觀看的時長(單位：小時)作為樣本，繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字)．(1)分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計哪個班的學(xué)生平均觀看的時間較長；(2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為b，求a>b的概率．【解析】(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為eq\f(1,5)(9＋11＋14＋20＋31)＝17.由此估計A班學(xué)生平均觀看時間大約為17小時；B班數(shù)據(jù)的平均值為eq\f(1,5)(11＋12＋21＋25＋26)＝19.由此估計B班學(xué)生平均觀看時間大約為19小時；則19>17.由此估計B班學(xué)生平均觀看時間較長．(2)A班的樣本數(shù)據(jù)不超過19的數(shù)據(jù)a有3個，分別為9，11，14.B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b也有3個，分別為11，12，21，從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個共有9種不同情況，分別為(9，11)，(9，12)，(9，21)，(11，11)，(11，12)，(11，21)，(14，11)，(14，12)，(14，21)，其中a>b的情況有(14，11)，(14，12)兩種，故a>b的概率p＝eq\f(2,9).4．(2019·江西九校聯(lián)考)某校為了解學(xué)生對正在進(jìn)行的一項教學(xué)改革的態(tài)度，從500名高一學(xué)生和400名高二學(xué)生中按分層抽樣的方式抽取了45名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，結(jié)果可以分成以下三類：支持、反對、無所謂，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下：支持無所謂反對高一年級18x2高二年級106y(1)①求出表中的x，y的值；②從反對的同學(xué)中隨機(jī)選取2人進(jìn)一步了解情況，求恰好高一、高二各1人的概率；(2)根據(jù)表格統(tǒng)計的數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為持支持態(tài)度與就讀年級有關(guān)(不支持包括無所謂和反對)．高一年級高二年級總計支持不支持總計附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.01k02.7063.8416.635【解析】(1)①由題意x＝eq\f(45,900)×500－(18＋2)＝5，y＝eq\f(45,900)×400－(10＋6)＝4.②假設(shè)高一反對的同學(xué)編號為A1，A2，高二反對的同學(xué)編號為B1，B2，B3，B4，則選取兩人的所有結(jié)果為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15種情況．可得恰好高一、高二各一人包含(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)共8種情況．所以所求概率p＝eq\f(8,15).(2)如圖2×2列聯(lián)表：高一年級高二年級總計支持181028不支持71017總計252045K2的觀測值為k＝eq\f(45×（180－70）2,28×17×25×20)＝2.288<2.706，所以沒有90%的把握認(rèn)為持支持態(tài)度與就讀年級有關(guān)．5．NBA球員的比賽得分是反映球員能力和水平的重要數(shù)據(jù)之一，以下是2017～2018賽季NBA常規(guī)賽中，球員J和H在某15場常規(guī)賽中，每場比賽得分的莖葉圖：(1)根據(jù)莖葉圖估計球員J在本賽季的場均得分以及球員H在本賽季參加的75場常規(guī)賽中，得分超過32分的場數(shù)；(2)效率值是更能反映球員能力和水平的一項指標(biāo)，現(xiàn)統(tǒng)計了球員J在上述15場比賽中部分場次的得分與效率值如下表：場次12345得分x1821273031效率值y1920.526.528.830.2若球員J每場比賽的效率值y與得分x具有線性相關(guān)關(guān)系，試用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并由此估計在上述15場比賽中，球員J的效率值超過31的場數(shù)(精確到0.001)．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝3288.2，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝3355.【解析】(1)由莖葉圖可得球員J在15場比賽中的場均得分為eq\f(1,15)(15＋18＋21＋22＋22＋24＋27＋30＋32＋33＋36＋37＋38＋39＋41)＝29(分)．故估計球員J在本賽季的場均得分為29分．由莖葉圖可得球員H在15場比賽中，得分超過32分的有6場，以頻率作為概率，故估計球員H在本賽季參加的75場常規(guī)賽中，得分超過32分的場數(shù)約為eq\f(6,15)×75＝30.(2)由表格可得eq\o(x,\s\up6(－))＝25.4，eq\o(y,\s\up6(－))＝25，又eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝3288.2，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝3355，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(3288.2－5×25.4×25,3355－5×25.42)≈0.876，于是eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))≈25－0.876×25.4≈2.750，故回歸直線方程為y＝0.876x＋2.750.由于y與x正相關(guān)，且當(dāng)x＝32時，y＝0.876×32＋2.750＝30.782<31，當(dāng)x＝33時，y＝0.876×33＋2.750＝31.658>31，所以估計在這15場比賽中，當(dāng)球員J得分為33分，36分，37分，38分，39分，41分時，效率值超過31，共6場．6．2018年非洲豬瘟在東北三省出現(xiàn)，為了進(jìn)行防控，某地生物醫(yī)藥公司派出技術(shù)人員對當(dāng)?shù)丶住⒁覂蓚€養(yǎng)殖場提供技術(shù)服務(wù)，方案和收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：方案一，公司每天收取養(yǎng)殖場技術(shù)服務(wù)費(fèi)40元，對于需要用藥的每頭豬收取藥費(fèi)2元，不需要用藥的不收費(fèi)；方案二，公司每天收取養(yǎng)殖場技術(shù)服務(wù)費(fèi)120元，若需要用藥的豬不超過45頭，不另外收費(fèi)，若需要用藥的豬超過45頭，超過部分每頭收取藥費(fèi)8元．(1)設(shè)日收費(fèi)為y(單位：元)，每天需要用藥的豬的數(shù)量為n(單位：頭)，n∈N，試寫出兩種方案中y與n的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該生物醫(yī)藥公司從10月1日起對甲養(yǎng)殖場提供技術(shù)服務(wù)，10月31日該養(yǎng)殖場對其中一個豬舍9月份和10月份豬的發(fā)病數(shù)量進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下2×2列聯(lián)表．9月份10月份合計未發(fā)病4085125發(fā)病652085合計105105210根據(jù)以上列聯(lián)表，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為豬未發(fā)病與該生物醫(yī)藥公司提供技術(shù)服務(wù)有關(guān)．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828(3)當(dāng)?shù)氐谋B(yǎng)殖場對過去100天豬的發(fā)病情況進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖．依據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，從節(jié)約養(yǎng)殖成本的角度去考慮，若丙養(yǎng)殖場計劃結(jié)合以往經(jīng)驗從兩個方案中選擇一個，那么選擇哪個方案更合適，并說明理由．【解析】(1)由題意得，方案一中的日收費(fèi)y(單位：元)與需要用藥的豬的數(shù)量n(單位：頭)的函數(shù)關(guān)系式為y＝40＋2n，n∈N，方案二中的日收費(fèi)y(單位：元)與需要用藥的豬的數(shù)量n(單位：頭)的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(120，n≤45，n∈N，,8n－240，n>45，n∈N.))(2)由列聯(lián)表可得K2＝eq\f(210×（40×20－85×65）2,125×85×105×105)≈40.02，因為40.02>10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為豬未發(fā)病與醫(yī)藥公司提供技術(shù)服務(wù)有關(guān)．(3)若采用方案一，則這100天的總費(fèi)用為40×100＋2×(42×20＋44×40＋46×20＋48×10＋50×10)＝13000(元)，若采用方案二，則這100天的總費(fèi)用為120×100＋(46－45)×20×8＋(48－45)×10×8＋(50－45)×10×8＝12800(元)，所以從節(jié)約養(yǎng)殖成本的角度去考慮，丙養(yǎng)殖場應(yīng)該選擇方案二．7.2019年，在慶祝中華人民共和國成立70周年之際，又迎來了以“創(chuàng)軍人榮耀，筑世界和平”為口號的第七屆世界軍人運(yùn)動會(以下簡稱“軍運(yùn)會”)．據(jù)悉，這次軍運(yùn)會將于2019年10月18日至27日在美麗的江城武漢舉行，屆時將有來自100多個國家的近萬名軍人運(yùn)動員參賽．相對于奧運(yùn)會、亞運(yùn)會等大型綜合賽事，軍運(yùn)會或許對很多人來說還很陌生，所以武漢某高校為了在學(xué)生中更廣泛地推介普及軍運(yùn)會相關(guān)知識內(nèi)容，特在網(wǎng)絡(luò)上組織了一次“我所知曉的武漢軍運(yùn)會”知識問答比賽．為便于對答卷進(jìn)行對比研究，組委會抽取了1000名男生和1000名女生的答卷，他們的成績(單位：分)頻率分布直方圖如下：(注：答卷滿分為100分，成績≥80的答卷為“優(yōu)秀”等級)(1)從現(xiàn)有1000名男生和1000名女生的答卷中各取一份，分別求答卷成績?yōu)椤皟?yōu)秀”等級的概率；(2)求下面列聯(lián)表中a，b，c，d的值，并根據(jù)列聯(lián)表回答：能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“答卷成績?yōu)椤畠?yōu)秀’等級與性別有關(guān)”？男女總計優(yōu)秀aba＋b非優(yōu)秀cdc＋d總計100010002000(3)根據(jù)男、女生成績頻率分布直方圖，對他們的成績的優(yōu)劣進(jìn)行比較．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.0250.010k03.8415.0246.635【解析】(1)男生答卷成績?yōu)椤皟?yōu)秀”等級的概率P1＝(0.058＋0.034＋0.014＋0.010)×5＝0.58，女生答卷成績?yōu)椤皟?yōu)秀”等級的概率P2＝(0.046＋0.034＋0.016＋0.010)×5＝0.53.(2)男女總計優(yōu)秀5805301110非優(yōu)秀420470890總計100010002000∴a＝580，b＝530，c＝420，d＝470.由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得，K2＝eq\f(2000×580×470－530×4202,1110×890×1000×1000)≈5.061＞5.024，∴在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“答卷成績?yōu)椤畠?yōu)秀’等級與性別有關(guān)”．(3)根據(jù)男、女生成績頻率分布直方圖可得，男、女生成績的中位數(shù)均在80到85之間，但男生的成績分布集中程度較女生成績分布集中程